小波34--向量空间.ppt

小波34--向量空间.ppt

《小波34--向量空间.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小波34--向量空间.ppt（19页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

小波分析,第二章向量空间,2023/5/1,2,基本内容,基本内容：

1.向量空间。

2.度量空间。

3.范数。

4.内积。

5.正交性。

2023/5/1,3,1.向量空间,定义1.一个向量空间是一个集合V=vi,加上一个数集A=ai,在该集合上定义了两种运算以及7条性质。

1.两个向量可以相加得到第三个向量；2.一个数可以与一个向量相乘得到第三个向量；此两种运算满足如下性质：

1）v1+v2=v2+v12）v1+（v2+v3）=（v1+v2）+v33）a（v1+v2）=av1+av24）（a1+a2）vi=a1vi+a2vi5）（a1a2）vi=a1（a2vi）,2023/5/1,4,1.向量空间,6）1*vi=vi7）存在唯一的向量v0称为零向量，对所有向量vi,满足0*vi=v0.例2.1考虑所有三角波v（t）=at,0t1的集合。

问下面哪一个是向量空间。

1）a是区间-1,1内的任意实数。

2）a为任意复数。

3）a为任意实数。

2023/5/1,5,1.向量空间,例2.2令X是所有可能的波形集合，下面X的子集那一个是向量空间？

1）由方波，正弦波、三角波和随机波形构成的子集。

2）所有方波构成的子集。

2023/5/1,6,1.向量空间,例2.3设X是所有31的矩阵构成的集合，问下面那一个子集构成向量空间？

a）所有形如x=a,b,0的矩阵，其中a,b为任意实数。

b）所有形如x=a,b,2的矩阵，其中a,b为任意实数。

c）所有满足Ax=0,0,0的矩阵x，其中A为33矩阵。

2.度量空间,定义2.2一个度量空间（X,d）是在其上定义了函数d:

XXR的集合X，该函数将每一对元素a和b，映射到一个数d（a,b）0上，并具有如下性质：

i）d（a,b）=0当且仅当a=bii）d（a,b）=d（b,a）（对称性）iii）d（a,b）d（a,c）+d（c,b）（三角不等式）,2.度量空间,例2.4对任意非空集合X，定义a）判断它是否是一个度量b）令X=R,求a=1,b=1.5,c=1.5之间的距离。

2.度量空间,例2.5在区间a,b上定义如下四种度量：

试求v1（t）=0.5t,v2（t）=-t之间的四种距离（p=3）,2.度量空间,例2.6对于离散时间波形，类似定义四种度量：

并求v1（n）=4,v2（n）=n+1的度量，0n3,p=3。

3.范数,定义2.3设v=vi是一个向量空间，定义v的长度|v|是一个满足下列三个条件的映射，|：

XR，并称之为范数。

1）|v|=0，当且仅当v=v0（零向量）2）|av|=|a|v|对所有vV，aA成立。

3）|v1+v2|v1|+|v2|,3.范数,例2.7由所有定义在a,b上连续波形vi（t）构成集合的四种范数定义如下：

求v1（t）=0.5t和v2（t）=-t的范数，0t1,p=3,3.范数,例2.8由所有定义在0nN-1上的离散波形vi（n）构成集合的四种范数如下：

并求v1（n）=4,v2（n）=n+1的范数，0n3,p=3。

4.内积,定义2.4符号表示内积或点积运算，对所有aiC和向量viV,该运算满足如下4个性质：

i）=*ii）=+iii）=a*iv）0,当且仅当v1=v0时等号成立。

特别:

|v|=,v1和v2夹角a满足：

4.内积,若V中向量,v1=a1,a2,an,v2=b1,b2,bn则标准内积为：

例2.10求下面两个向量的内积，长度和距离,4.内积,例2.11求下面两个向量x与y的内积，长度和它们的距离。

4.内积,四类信号内积：

1.连续时间能量信号：

2.连续时间功率信号：

周期信号：

3.离散时间能量信号：

4.内积,4.离散时间功率信号周期信号：

例2.12求两个复指数信号的内积，范数和它们的距离。

v1（t）=ejwt,v2（t）=ej2wt,5.正交性,若两个向量内积为0，则称它们是正交的，柯西不等式例2.13说明柯西不等式对例2.10中两个矩阵成立。