四个重要定理梅涅劳斯塞瓦托勒密西姆松.docx

1、四个重要定理梅涅劳斯塞瓦托勒密西姆松平面几何中的四个重要定理梅涅劳斯（Menelaus） 定理（梅氏线） ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点 P、Q、R,贝U P、Q、R共线的充塞瓦（Ceva）定理（塞瓦点） ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R,贝U AP、BQ、CR共点的充要条件西姆松（Simson）定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。例题:1、设AD是厶ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求、 AE 2AF证：ED FBAE DC BF【分析】CEF截厶ABDt 1 （梅氏定理）ED CB FA【评注】也可

2、以添加辅助线证明：过 A、B、D之一作CF的平行线。求证：BE CF1。EA FA【分析】连结并延长 AG交BC于M，贝U M为BC的中点。BE CF GM (DB DC) = GM 2MDEA FA = AG MD 2GM MD【评注】梅氏定理【评注】梅氏定理CG相交于一点。【分析】【评注】塞瓦定理【分析】过A作BC的平行线交 ABC的外接圆于D，连结BD。则CD=DA=AB , AC=BD 。 由托勒密定理， AC BD=AD BC+CD AB。【评注】托勒密定理6、已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7。【分析】【评注】托勒密定理1. ABC的BC边上的高 AD的延长线交外接圆于 P

3、,作PE丄AB于E,延长ED交AC延长线于F。求证： BC EF=BF CE+BE CF。【分析】【评注】西姆松定理(西姆松线)【分析】【评注】面积法3.以Ra、O ABC内一点，分别以 da、db、de表示O至U BC、CA、AB的距离,Rb、Re表示O到A、B、C的距离。求证：(1) a -aR b -d+e -d;(2)a a逊c - d + b c；(3)R a+R b+R c2(d a+d b+d c) o【分析】【评注】面积法4. ABC中，H、G、O分别为垂心、重心、外心。求证：H、G、O三点共线，且 HG=2G0 。（欧拉线）【分析】【评注】同一法N，延长CM交AB于E。【分析

4、】【评注】对称变换6.G是厶ABC的重心，以AG为弦作圆切BG于G,延长CG交圆于D。求证:AG2=GC GD。【分析】B【评注】平移变换7. C是直径 AB=2的O O上一点，P在厶ABC内，若PA+PB+PC 的最小值是、门,求此时 ABC的面积S。【分析】【评注】旋转变换费马点：已知 0是厶ABC内一点，/ AOB= / BOC= / COA=120 ;P是厶ABC内CR(B, 60) R(B, 60) R(B, 60)【分析】将C C, O O , P P,连结OO、PP。则厶B OO、AB PP都是正三角形。 OO=OB ，PP =PB。显然 BOC 空 BOC , BPC 经 BP

5、C。由于/ BOC= / BOC=120 =180- BOO , A、O、O、C四点共线。 AP+PP+PC AC=AO+OO+OC ，即 PA+PB+PC OA+OB+OC。14 .菱形ABCD的内切圆O与各边分别交于 E、F、G、H，在弧EF和弧GH上分别作O O的切线交 AB、BC、CD、DA分别于 M、N、P、Q。求证：MQ/NP 。D【分析】由 AB / CD知：要证 MQ / NP，只需证/ AMQ= / CPN ,结合/ A= / C知，只需证 AMQ CPNAM CPJ , AM- CN=AQ- CP。AQ CN连结AC、BD，其交点为内切圆心 O。设MN 与O O切于K，连结

6、OE、OM、OK、ON、OF。记/ ABO= $，/ MOK=a ，/ KON= 3 ，则/ EOM=a ，/ FON= 3 ，/ EOF=2 a +2 3 =180 2 $ 。 / BON=9O - / NOF- / COF=9O 3 - $ = a / CNO= / NBO+ / NOB= $ + a = / AOE+ / MOE= / AOM又/ OCN= / MAO , OCN MAO，于是AMCoAO CN， AM - CN=AO - CO同理， AQ - CP=AO - CO。【评注】E、F、G、H 为切点，EG、FH 的15 . O Oi和O O2与 ABC的三边所在直线都相切,

7、延长线交于 P。求证：PA丄BC。【分析】【评注】16.如图，在四边形 ABCD中，对角线在CD上取一点E, BE与AC相交于F,G。求证：/ GAC= / EAC。因此， ACI ACJ，从而/ IAC= / JAC,即/ GAC= / EAC。17.已知 AB=AD , BC=DC , AC 与BD交于O ,过O的任意两条直线 EF和GH与四边形 ABCD的四边交于 E、F、G、H。连结GF、EH,分别交BD于M、N。求证：OM=ON 。（ 5 届 CMO）证明：作 EOHs（ac） eoh,则只需证E、M、H共线，即EH、BO、GF三线共点。记/ BOG= a,/ GOE= 3。连结EF

8、交BO于K。只需证EGGBBH FK=1 （CevaHF KE逆定理）。EGBHFK S OEGS OBH S OFK OEsinOB sinOF=1OEGBHFKE =S OGBS OHFS OKE OBsi nOFsi n注：筝形：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形。对应于99联赛2 :/ EOB= / FOB，且EH、GF、BO三线共点。求证：/ GOB= / HOB。事实上，上述条件是充要条件， 且M在OB延长线上时结论仍然成立。证明方法为：同一法。蝴蝶定理：P是O O的弦AB的中点，过 P点引O O的两弦CD、EF,连结DE交又 FF丄 GH , AN 丄 GH FF / AB。二 / FPM+ / MDF= / FPN+ / EDF=/ EFF+ / EDF=180 , P、M、D、F四点共圆。二 / PFM= / PDE= / PFN。 PFN PFM , PN=PM。【评注】一般结论为：已知半径为 R的O O内一弦AB上的一点P,过P作两条相交弦CD、EF,连CF、ED交AB于M、N，已知 0P= r, P至U AB中点的距离为 a,则1 1PM PN2aR2 r2。