四个重要定理梅涅劳斯塞瓦托勒密西姆松.docx
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四个重要定理梅涅劳斯塞瓦托勒密西姆松
平面几何中的四个重要定理
梅涅劳斯（Menelaus）定理（梅氏线）
△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R,贝UP、Q、R共线的充
塞瓦（Ceva）定理（塞瓦点）
△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R,贝UAP、BQ、CR共点的充要条件
西姆松（Simson）定理（西姆松线）
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接
圆上。
例题:
1、设AD是厶ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。
求
、AE2AF
证：
——
EDFB
AEDCBF
【分析】CEF截厶ABDt1（梅氏定理）
EDCBFA
【评注】也可以添加辅助线证明：
过A、B、D之一作CF的平
行线。
求证：
BECF
1。
EAFA
【分析】连结并延长AG交BC于M，贝UM为BC的中点。
BECFGM（DBDC）=GM2MD
EAFA=AGMD2GMMD
【评注】梅氏定理
【评注】梅氏定理
CG相交于一点。
【分析】
【评注】塞瓦定理
【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。
则CD=DA=AB,AC=BD。
由托勒密定理，AC•BD=AD•BC+CD•AB。
【评注】托勒密定理
6、已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。
【分析】
【评注】托勒密定理
1.△ABC的BC边上的高AD的延长线交外接圆于P,作
PE丄AB于E,延长ED交AC延长线于F。
求证：
BC•EF=BF•CE+BE•CF。
【分析】
【评注】西姆松定理（西姆松线）
【分析】
【评注】面积法
3.
以Ra、
OABC内一点，分别以da、db、de表示O至UBC、CA、AB的距离,
Rb、Re表示O到A、B、C的距离。
求证：
（1）a-aRb-d+e-d;
（2）aa逊c-d+b・c；
（3）Ra+Rb+Rc》2（da+db+dc）o
【分析】
【评注】面积法
4.△ABC中，H、G、O分别为垂心、重心、外心。
求证：
H、G、O三点共线，且HG=2G0。
（欧拉线）
【分析】
【评注】同一法
N，延长CM交AB于E。
【分析】
【评注】对称变换
6.
G是厶ABC的重心，以
AG为弦作圆切
BG于G,延长CG交圆于D。
求证:
AG2=GC•GD。
【分析】
B'
【评注】平移变换
7.C是直径AB=2的OO上一点，P在厶ABC内，若PA+PB+PC的最小值是、门,
求此时△ABC的面积S。
【分析】
【评注】旋转变换
费马点：
已知0是厶ABC内一点，/AOB=/BOC=/COA=120°;P是厶ABC内
C'
R（B,60°）R（B,60°）R（B,60°）
【分析】将CC',OO',PP',连结OO'、PP'。
则厶BOO'、ABPP'都是正三角形。
•••OO'=OB，PP'=PB。
显然△BO'C'空BOC,△BPC经BPC。
由于/BOC=/BOC=120°=180-°BO'O,•A、O、O'、C'四点共线。
•AP+PP'+PCAC'=AO+OO'+O'C'，即PA+PB+PC>OA+OB+OC。
14.菱形ABCD的内切圆O与各边分别交于E、F、G、H，在弧EF和弧GH上分别作
OO的切线交AB、BC、CD、DA分别于M、N、P、Q。
求证：
MQ//NP。
D
【分析】由AB//CD知：
要证MQ//NP，只需证/AMQ=/CPN,
结合/A=/C知，只需证
△AMQ^△CPN
AMCP
J,AM-CN=AQ-CP。
AQCN
连结AC、BD，其交点为内切圆心O。
设MN与OO切于K，连结OE、OM、OK、
ON、OF。
记/ABO=$，/MOK=a，/KON=3，则
/EOM=a，/FON=3，/EOF=2a+23=180°2$。
•••/BON=9O°-/NOF-/COF=9O°3-$=a
•••/CNO=/NBO+/NOB=$+a=/AOE+/MOE=/AOM
又/OCN=/MAO,•△OCNMAO，于是
AM
Co
AOCN，
•AM-CN=AO-CO
同理，AQ-CP=AO-CO。
【评注】
E、F、G、H为切点，EG、FH的
15.OOi和OO2与△ABC的三边所在直线都相切,
延长线交于P。
求证：
PA丄BC。
【分析】
【评注】
16.如图，在四边形ABCD中，对角线
在CD上取一点E,BE与AC相交于F,
G。
求证：
/GAC=/EAC。
因此，△ACI◎△ACJ，从而/IAC=/JAC,即/GAC=/EAC。
17.已知AB=AD,BC=DC,AC与
BD交于O,过O的任意两条直线EF和
GH与四边形ABCD的四边交于E、F、G、
H。
连结GF、EH,分别交BD于M、N。
求证：
OM=ON。
（5届CMO）
证明：
作△EOH
s（ac）△e'oh',
则只需证
E'、M、H'共线，即
E'H'、BO、GF
三线共点。
记/BOG=a
/GOE'=3。
连结E'F交BO于K。
只需证
E'G
GB
BH'FK
=1（Ceva
H'FKE'
逆定理）。
E'G
BH'
FK
SOE'G
SOBH'
SOFK
OE'sin
OBsin
OF=1
OE'
GB
H'F
KE'=
SOGB
SOH'F
SOKE'
OBsin
OFsin
注：
筝形：
一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形。
对应于99联赛2:
/E'OB=/FOB，且E'H'、GF、BO三线共
点。
求证：
/GOB=/H'OB。
事实上，上述条件是充要条件，且M在OB延长线上时结论仍
然成立。
证明方法为：
同一法。
蝴蝶定理：
P是OO的弦AB的中点，过P点引OO的两弦CD、EF,连结DE交
又FF'丄GH,AN丄GHFF'//AB。
二/F'PM+/MDF'=/FPN+/EDF'
=/EFF'+/EDF'=180°,P、M、D、F'四点共圆。
二/PF'M=/PDE=/PFN。
•••△PFN◎△PF'M,PN=PM。
【评注】一般结论为：
已知半径为R的OO内一弦AB上的一点P,过P作两条相
交弦CD、EF,连CF、ED交AB于M、N，已知0P=r,P至UAB中点的距离为a,则
11
PMPN
2a
R2r2。
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