三角函数一轮复习教案.docx

1、三角函数一轮复习教案第三章三角函数 1第一节角的概念与任意角的三角函数 2第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式 9第三节三角函数的图象与性质 16第四节函数y(x)的图象及三角函数模型的应用 24第五节和角公式 37第六节倍角公式与半角公式 45第七节正弦定理和余弦定理 53第八节正弦定理、余弦定理的应用举例 61第三章三角函数知识网络：学习重点：三角函数是高考命题的重点，分值约占10%15%，一般是一个小题和一个大题，以中低档题为主1主要考查三角函数的图象与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目常考常新2客观题主要涉及三角函数的求值，函数的图象及性质，解答题主要以三角变换

2、为工具，综合考查函数的图象与性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考查解三角形的有关知识3高考命题中，本章常与平面向量相结合，既可以考查平面向量的运算，又可以考查三角函数式的化简和三角函数的性质，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求.学法指导：1.立足基础，着眼于提高立足课本，牢固掌握三角函数的概念、图象和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背2突出数学思想方法应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一不体现等价转化思想在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能3抓住关键，三角函数

3、的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意已知与待求中角的关系，力争整体处理4注意三角函数与向量等内容的交汇渗透，这也是命题的热点之一.第一节角的概念与任意角的三角函数学习目标：1.了解任意角的概念，了解弧度制的概念2能进行弧度与角度的互化3理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义考点梳理：1角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角(2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角(3)若与是终边相同的角，则用表示为2k(kZ)2弧度与角度的互化(1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角(2)角的弧度数在半径为r的圆中，弧长为l

4、的弧所对圆心角为，则.(3)角度与弧度的换算n； ().(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为()，半径为r，则lr，扇形的面积为Sr2.3任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y， x， .(2)三角函数在各象限的符号一全正，二正弦，三正切，四余弦4单位圆与三角函数线(1)单位圆：半径为1的圆叫做单位圆(2)三角函数线(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)思考：1“角为锐角”是“角为第一象限角”的什么条件？【提示】充分不必要条件2终边在直

5、线yx上的角的正弦值相等吗？【提示】当角的终边一个在第一象限，一个在第三象限时，正弦值不相等学情自测：1已知锐角终边上一点A的坐标是(2 ，2 )，则弧度数是()A2【解析】点A的坐标为(，1) ，又为锐角，.【答案】C2(2012江西高考)下列函数中，与函数y定义域相同的函数为()Ay ByCy Dy【解析】函数y的定义域为0，选项A中由 x0xk，kZ，故A不对；选项B中x0，故B不对；选项C中，xR，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为0，故选D.【答案】D3若 0且 0，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角【解析】由 0，得在第三

6、、四象限或y轴非正半轴上，又 0，在第三象限【答案】C4弧长为3，圆心角为135的扇形半径为，面积为【解析】l3，135，r4，S346.【答案】465已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴若P(4，y)是角终边上一点，且 ，则y.【解析】由三角函数的定义， ，又 0，y0且，解之得y8.【答案】8典例探究：例1（角的集合表示）(1)写出终边在直线yx上的角的集合；(2)已知是第三象限角，求所在的象限【思路】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解(2)把写成集合的形式，从而的集合形式也确定【解答】(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为|2k，kZ，当角的终边在第三象限时，角的集合为|2k

7、，kZ，故所求角的集合为|2k，kZ|2k，kZ|k，kZ(2)2k2k(kZ)，kk(kZ)当k2n(nZ)时，2n2n，是第二象限角，当k2n1(nZ)时，2n2n，是第四象限角，综上知，当是第三象限角时，是第二或第四象限角, 变式训练1：若角的终边与角的终边相同，则在0,2)内终边与角的终边相同的角为【解析】2k(kZ)，k(kZ)，当k0,1,2时，.【答案】，例2（弧度制的应用）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 ，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20 ，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若，R2 ，求扇形的弧所在的弓形的面积【思路】

8、(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制；(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角；(3)利用S弓S扇S，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积【解答】(1)l10()(2)由已知得：l2R20，所以S(202R)R10RR2(R5)225，所以R5时，S取得最大值25，此时l10，2 .(3)设弓形面积为S弓由题知l，S弓S扇S222 ()(2)变式训练2：已知半径为10的圆O中，弦的长为10，(1)求弦所对的圆心角的大小；(2)求所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.【解】(1)在中，10，为等边三角形因此弦所对的圆心角.(2)由扇形的弧长与扇形面

9、积公式，得lR10，S扇形RlR2.又S 25.弓形的面积SS扇形S50().例3（三角函数的定义）(1)已知角的终边经过点P(m，3)，且 ，则m等于()AC4D4(2)已知角的终边在直线3x4y0上，求 ， ， 的值【思路】(1)求出点P到原点O的距离，根据三角函数的定义求解(2)在直线上设一点P(4t，3t)，求出点P到原点O的距离，根据三角函数的定义求解，由于点P可在不同的象限内，所以需分类讨论【解答】(1)点P到原点O距离， ，m4.【答案】C(2)在直线3x4y0上任取一点P(4t，3t)(t0)，则x4t，y3t，r5，当t0时，r5t， ， ， ；当t0时，r5t， ， ， .

10、综上可知，当t0时， ， ， .当t0时， ， ， .变式训练3：设90180，角的终边上一点为P(x，)，且 x，求4 3 的值【解】r， ，从而x，解得x0或x.90180，x0，因此x.则r2， ， .故4 3 .小结：一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦两个技巧1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点2利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧三点注意1.第一象限角、锐角、小于90的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角2角度制与弧度制可利用180 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须

11、一致，不可混用3注意熟记0360间特殊角的弧度表示，以方便解题课后作业(十六)角的概念与任意角的三角函数一、选择题图3121(2013宁波模拟)如图312，在直角坐标系中，射线交单位圆O于点P，若，则点P的坐标是()A( ， )B( ， )C( ， )D( ， )【解析】设P(x，y)，由三角函数定义知 y， x，故点P的坐标为( ， )【答案】A2已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()A2 B 2 D2 1【解析】由题设，圆弧的半径r，圆心角所对的弧长l2r.【答案】C3(2013海淀模拟)若k360，m360(k，mZ)，则角与的终边的位置关系是()A重合 B关于原

12、点对称C关于x轴对称 D关于y轴对称【解析】由题意知角与角的终边相同，角与角的终边相同，又角与角的终边关于x轴对称，故选C.【答案】C4若角的终边在直线y2x上，且 0，则 和 的值分别为()，2 B，C，2 D，2【解析】由题意知，角的终边在第二象限，在角的终边上取点P(1,2)，则r，从而 ， 2，故选D.【答案】D5(2013昆明模拟)设是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且 x，则 () C D【解析】由题意知x0，r， x，x29，x3， .【答案】D6已知点P( ， )在角的终边上，且0,2)，则的值为() 【解析】由已知得P(，)， 1且是第四象限角，.【答案】D二、填空

13、题7(2013潍坊模拟)若角120的终边上有一点(4，a)，则a的值是【解析】由题意知 120，a4.【答案】48已知角的终边落在直线y3x(x0)上，则.【解析】因为角的终边落在直线y3x(x0)上，所以角是第二象限角，因此 0， 0，故112.【答案】29点P从(1,0)出发，沿单位圆x2y21逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为【解析】由题意知点Q是角的终边与单位圆的交点，设Q(x，y)，则y ，x ，故Q(，)【答案】(，)三、解答题10已知角的终边上有一点P(x，1)(x0)，且 x，求 的值【解】的终边过点(x，1)(x0)， ，又 x，x21，x1.当x1时， ， ，因此

14、0；当x1时， ， ，因此 .11已知扇形的圆心角为120，半径长为6，(1)求的长；(2)求所在弓形的面积【解】(1)120，r6，的长l64.(2)S扇形4612，Sr2 629，S弓形S扇形S129.12角终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a0)，角终边上的点Q与A关于直线yx对称，求 的值【解】由题意得，点P的坐标为(a，2a)，点Q的坐标为(2a，a)所以， ， ， 2， ， ， ，故有 (2)1.第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式学习目标：1.理解同角三角函数的基本关系式：2x2x1， x.2能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式.考点梳理：1

15、同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：221.(2)商数关系： (k，kZ)2诱导公式组数一二三四五角2k(kZ)(2k1)(kZ)正弦 余弦 正切 口诀函数名不变符号看象限思考：1有人说(k)() (kZ)，你认为正确吗？【提示】不正确当k2n(nZ)时，(k)(2n) ；当k2n1(nZ)时，(k)(2n)() .2()如何使用诱导公式变形？【提示】()() .学情自测：1已知()，且是第四象限角，则 ()AD【解析】()() ， ，又是第四象限角， 0，则 .【答案】A2已知()(2)，|，则等于()A B 【解析】由()(2)得 ， ，又|，故选D.【答案】D3 585的值为()A

16、C 【解析】 585(360225) 225(18045) 45.【答案】A4若 且(，)，则 () C D【解析】 ，且(，)， ， .【答案】B5(2012辽宁高考)已知 ，(0，)，则 2()A1 B D1【解析】因为 ，所以12 2，即 21.【答案】A典例探究：例1（同角三角函数关系式的应用）(1)(2013潍坊模拟)已知5，则2 的值是()BC2D2(2)(2013银川模拟)已知(，)， 2，则 .【思路】(1)先根据已知条件求得 ，再把所求式变为用 表示的式子求解；(2)切化弦，结合221求解【解答】(1)由5，得5，即 2.所以2 .(2)依题意得由此解得2；又(，)，因此 .

17、【答案】(1)A(2),变式训练1：(2012大纲全国卷)已知为第二象限角， ，则 2()AB【解析】为第二象限角且 ， ， 22 2().【答案】A例2（诱导公式的应用）(1)已知 2， 0，则.(2)已知为第三象限角，f()，化简f()；若()，求f()的值【思路】(1)先利用诱导公式对原式进行化简，再根据 2，结合的范围和同角三角函数关系式求解；(2)直接利用诱导公式化简约分利用在第三象限及同角三角函数关系的变形式得f()【解答】(1)原式 ， 20，为第一象限角或第三象限角又 0，为第三象限角，由 2，得 2 代入221，解得 .【答案】(2)f() .()， ，从而 .又为第三象限角

18、， ，f().变式训练2：(1)(2013烟台模拟) 600 240的值等于()A(2)(2013台州模拟)已知f(x)(x)(x)4(a，b，为非零实数)，若f(2 012)5，则f(2 013)()A3 B5 C1 D不能确定【解析】(1) 600 240(360240)(18060)(18060) 60 60 60.(2)f(2 012)(2 012)(2 012)4 45， 1，f(2 013)(2 013)(2 013)4 4( )4143.【答案】(1)B(2)A例3（ 与 的关系）(2013扬州模拟)已知x0， x x.(1)求 x x的值； (2)求的值【思路】(1)利用平方关

19、系，设法沟通 x x与 x x的关系；(2)先利用倍角公式、商数关系式化为角x的弦函数，再设法将所求式子用已知表示出来【解答】(1)由 x x，平方得2x2 x2x，整理得2 x.( x x)212 x.又x0， x0，又 x x0， x0， x x0，故 x x.(2).变式训练3：已知x0， x x.(1)求 x x的值；(2)求 x的值【解】(1)由 x x，平方得2x2 x2x，即2 x，( x x)212 x.又x0， x0， x0， x x0，故 x x.(2)由(1)得 x x，故由，得 x， x， x.小结：一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限两个防范1.利用诱

20、导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定2在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式 进行弦、切互化(2)和积转换法：利用( )212 的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1222(12) 等课后作业(十七)同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、选择题1(2013郑州模拟)记(80)k，那么 100() B D【解析】由(80)k，得 80k， 80， 100(18080) 80.【答案】B2(2013温州模拟)若()，且|，则 ()A C 【解析】()， ，即 ，|， ().【答案】A3

21、(2013济南模拟)已知(，0)，()则()() C D【解析】()() ，且(，0)， ，()() .【答案】D4(2013保定模拟)已知 2，则2 22()A C 【解析】2 22.【答案】D5(2013普宁模拟)若2，则的值为()A D【解析】2， 3 ，由得2，.【答案】C6若 是5x27x60的根，则() 【解析】方程5x27x60的两根为x1，x22，则 .原式.【答案】B二、填空题7已知()，则()的值为【解析】()()().【答案】8(2013青岛模拟)已知 2，则7232.【解析】7232.【答案】9已知(x)，则(x)2(x).【解析】原式(x)2(x)(1).【答案】三、

22、解答题10已知函数f(x).(1)求函数yf(x)的定义域；(2)设 ，求f()的值【解】(1)由 x0，得xk，kZ，所以函数的定义域是k，kZ(2) ，f()1 .11已知()a.求证：.【证明】由已知得左边右边，所以原等式成立12在中，若(2A)(B)， A(B)，求的三个内角【解】由已知得22得22A1，即 A或 A.(1)当 A时， B，又A、B是三角形的内角，A，B，C(AB).(2)当 A时， B.又A、B是三角形的内角，A，B，不合题意综上知，A，B，C.第三节三角函数的图象与性质学习目标：1.能画出y x，y x，y x的图象，了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间(，)内的单调性.考点梳理：1周期函数和最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期若在所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y xy xy x图象定义域RRk，kZ值域1,11,1R