三角函数一轮复习教案.docx
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三角函数一轮复习教案
第三章 三角函数1
第一节 角的概念与任意角的三角函数2
第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式9
第三节 三角函数的图象与性质16
第四节 函数y＝（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的应用24
第五节 和角公式37
第六节 倍角公式与半角公式45
第七节 正弦定理和余弦定理53
第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例61
第三章 三角函数
知识网络：
学习重点：
三角函数是高考命题的重点，分值约占10%～15%，一般是一个小题和一个大题，以中低档题为主．
1．主要考查三角函数的图象与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目常考常新．
2．客观题主要涉及三角函数的求值，函数的图象及性质，解答题主要以三角变换为工具，综合考查函数的图象与性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考查解三角形的有关知识．
3．高考命题中，本章常与平面向量相结合，既可以考查平面向量的运算，又可以考查三角函数式的化简和三角函数的性质，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求.
学法指导：
1.立足基础，着眼于提高．立足课本，牢固掌握三角函数的概念、图象和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等．要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背．
2．突出数学思想方法．应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一不体现等价转化思想．在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能．
3．抓住关键，三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意已知与待求中角的关系，力争整体处理．
4．注意三角函数与向量等内容的交汇渗透，这也是命题的热点之一.
第一节 角的概念与任意角的三角函数
学习目标：
1.了解任意角的概念，了解弧度制的概念．
2．能进行弧度与角度的互化．
3．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义
考点梳理：
1．角的有关概念
（1）从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．
（2）从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．
（3）若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α（k∈Z）．
2．弧度与角度的互化
（1）1弧度的角
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
（2）角α的弧度数
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为α，则α＝.
（3）角度与弧度的换算①n°＝；②α＝（）°.
（4）弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝＝r2α.
3．任意角的三角函数
（1）定义：
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么α＝y，α＝x，α＝.
（2）三角函数在各象限的符号
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
4．单位圆与三角函数线
（1）单位圆：
半径为1的圆叫做单位圆．
（2）三角函数线．
（3）几何表示：
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1,0）．
思考：
1．“角α为锐角”是“角α为第一象限角”的什么条件？
【提示】 充分不必要条件．
2．终边在直线y＝x上的角的正弦值相等吗？
【提示】 当角的终边一个在第一象限，一个在第三象限时，正弦值不相等．
学情自测：
1．已知锐角α终边上一点A的坐标是（2，2），则α弧度数是（ ）
A．2
【解析】 点A的坐标为（，1）．
∴α＝＝，又α为锐角，∴α＝.
【答案】 C
2．（2012·江西高考）下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为（ ）
A．y＝B．y＝
C．y＝D．y＝
【解析】 函数y＝的定义域为{≠0}，选项A中由x≠0⇒x≠kπ，k∈Z，故A不对；选项B中x>0，故B不对；选项C中，x∈R，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{≠0}，故选D.
【答案】 D
3．若α＜0且α＞0，则α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【解析】 由α＜0，得α在第三、四象限或y轴非正半轴上，又α＞0，∴α在第三象限．
【答案】 C
4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为，面积为．
【解析】 ∵l＝3π，α＝135°＝，
∴r＝＝4，S＝＝×3π×4＝6π.
【答案】 4 6π
5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P（4，y）是角θ终边上一点，且θ＝－，则y＝.
【解析】 由三角函数的定义，θ＝，
又θ＝－＜0，∴y＜0且＝－，
解之得y＝－8.
【答案】 －8
典例探究：
例1（角的集合表示）
（1）写出终边在直线y＝x上的角的集合；
（2）已知α是第三象限角，求所在的象限．
【思路】
（1）角的终边是射线，应分两种情况求解．
（2）把α写成集合的形式，从而的集合形式也确定．
【解答】
（1）当角的终边在第一象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋，k∈Z}，当角的终边在第三象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}，故所求角的集合为{α|α＝2kπ＋，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}＝{α|α＝kπ＋，k∈Z}．
（2）∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋π（k∈Z），
∴kπ＋＜＜kπ＋π（k∈Z）．
当k＝2n（n∈Z）时，2nπ＋＜＜2nπ＋π，是第二象限角，
当k＝2n＋1（n∈Z）时，2nπ＋＜＜2nπ＋π，是第四象限角，
综上知，当α是第三象限角时，是第二或第四象限角,
变式训练1：
若角θ的终边与角的终边相同，则在[0,2π）内终边与角的终边相同的角为．
【解析】 ∵θ＝＋2kπ（k∈Z），∴＝＋kπ（k∈Z），
当k＝0,1,2时，＝，，.
【答案】 ，，
例2（弧度制的应用）
已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
（1）若α＝60°，R＝10，求扇形的弧长l.
（2）若扇形的周长为20，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
（3）若α＝，R＝2，求扇形的弧所在的弓形的面积．
【思路】
（1）可直接用弧长公式，但要注意用弧度制；
（2）可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角α；
（3）利用S弓＝S扇－S△，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积．
【解答】
（1）l＝10×＝（）．
（2）由已知得：
l＋2R＝20，
所以S＝＝（20－2R）R＝10R－R2＝－（R－5）2＋25，
所以R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2.
（3）设弓形面积为S弓．
由题知l＝，S弓＝S扇－S△＝××2－×22×＝（－）
（2）
变式训练2：
已知半径为10的圆O中，弦的长为10，
（1）求弦所对的圆心角α的大小；
（2）求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
【解】
（1）在△中，＝＝＝10，
∴△为等边三角形．
因此弦所对的圆心角α＝.
（2）由扇形的弧长与扇形面积公式，得
l＝α·R＝×10＝π，S扇形＝R·l＝α·R2＝.
又S△＝···＝25.
∴弓形的面积S＝S扇形－S△＝50（－）.
例3（三角函数的定义）
（1）已知角α的终边经过点P（m，－3），且α＝－，则m等于（ ）
A．－ C．－4 D．4
（2）已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求α，α，α的值．
【思路】
（1）求出点P到原点O的距离，根据三角函数的定义求解．
（2）在直线上设一点P（4t，－3t），求出点P到原点O的距离，根据三角函数的定义求解，由于点P可在不同的象限内，所以需分类讨论．
【解答】
（1）点P到原点O距离＝，
∴α＝＝－，
∴，∴m＝－4.
【答案】 C
（2）在直线3x＋4y＝0上任取一点P（4t，－3t）（t≠0），
则x＝4t，y＝－3t，
∴r＝＝＝＝5，
当t＞0时，r＝5t，
α＝＝＝－，α＝＝＝，
α＝＝＝－；
当t＜0时，r＝－5t，α＝＝＝，
α＝＝＝－，α＝＝＝－.
综上可知，当t＞0时，α＝－，α＝，α＝－.
当t＜0时，α＝，α＝－，α＝－.
变式训练3：
设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P（x，），且α＝x，求4α－3α的值．
【解】 ∵r＝，∴α＝，
从而x＝，解得x＝0或x＝±.
∵90°＜α＜180°，
∴x＜0，因此x＝－.则r＝2，
∴α＝＝，α＝＝－.
故4α－3α＝＋.
小结：
一条规律
三角函数值在各象限的符号规律概括为：
一全正、二正弦、三正切、四余弦．
两个技巧
1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．
2．利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧．
三点注意
1.第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．
2．角度制与弧度制可利用180°＝π进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．
课后作业（十六） 角的概念与任意角的三角函数
一、选择题
图3－1－2
1．（2013·宁波模拟）如图3－1－2，在直角坐标系中，射线交单位圆O于点P，若∠＝θ，则点P的坐标是（ ）
A．（θ，θ）
B．（－θ，θ）
C．（θ，θ）
D．（－θ，θ）
【解析】 设P（x，y），由三角函数定义知θ＝y，θ＝x，故点P的坐标为（θ，θ）．
【答案】 A
2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A．2B．2D．21
【解析】 由题设，圆弧的半径r＝，
∴圆心角所对的弧长l＝2r＝.
【答案】 C
3．（2013·海淀模拟）若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ（k，m∈Z），则角α与β的终边的位置关系是（ ）
A．重合B．关于原点对称
C．关于x轴对称D．关于y轴对称
【解析】 由题意知角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，又角θ与角－θ的终边关于x轴对称，故选C.
【答案】 C
4．若角α的终边在直线y＝－2x上，且α＞0，则α和α的值分别为（ ）
，－2B．－，－
C．－，－2D．－，－2
【解析】 由题意知，角α的终边在第二象限，在角α的终边上取点P（－1,2），则r＝，从而α＝＝－，α＝＝－2，故选D.
【答案】 D
5．（2013·昆明模拟）设α是第二象限角，P（x,4）为其终边上的一点，且α＝x，则α＝（ ）
C．－D．－
【解析】 由题意知x＜0，r＝，∴α＝＝x，
∴x2＝9，∴x＝－3，∴α＝－.
【答案】 D
6．已知点P（，π）在角θ的终边上，且θ∈[0,2π），则θ的值为（ ）
【解析】 由已知得P（，－），∴θ＝－1且θ是第四象限角，∴θ＝.
【答案】 D
二、填空题
7．（2013·潍坊模拟）若角120°的终边上有一点（－4，a），则a的值是．
【解析】 由题意知－＝120°，
∴－＝－，∴a＝4.
【答案】 4
8．已知角α的终边落在直线y＝－3x（x＜0）上，则－＝.
【解析】 因为角α的终边落在直线y＝－3x（x＜0）上，
所以角α是第二象限角，因此α＞0，α＜0，
故－＝－＝1＋1＝2.
【答案】 2
9．点P从（1,0）出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为．
【解析】 由题意知点Q是角的终边与单位圆的交点，设Q（x，y），则y＝＝，x＝＝－，故Q（－，）．
【答案】 （－，）
三、解答题
10．已知角θ的终边上有一点P（x，－1）（x≠0），且θ＝－x，求θ＋θ的值．
【解】 ∵θ的终边过点（x，－1）（x≠0），
∴θ＝－，又θ＝－x，
∴x2＝1，∴x＝±1.
当x＝1时，θ＝－，θ＝，
因此θ＋θ＝0；
当x＝－1时，θ＝－，θ＝－，
因此θ＋θ＝－.
11．已知扇形的圆心角α为120°，半径长为6，
（1）求的长；
（2）求所在弓形的面积．
【解】
（1）∵α＝120°＝，r＝6，∴的长l＝×6＝4π.
（2）∵S扇形＝＝×4π×6＝12π，
S△＝r2·＝×62×＝9，
∴S弓形＝S扇形－S△＝12π－9.
12．角α终边上的点P与A（a,2a）关于x轴对称（a＞0），角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求α·α＋β·β＋α·β的值．
【解】 由题意得，点P的坐标为（a，－2a），
点Q的坐标为（2a，a）．
所以，α＝＝－，
α＝＝，
α＝＝－2，
β＝＝，
β＝＝，
β＝＝，
故有α·α＋β·β＋α·β
＝·＋·＋（－2）×＝－1.
第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
学习目标：
1.理解同角三角函数的基本关系式：
2x＋2x＝1，＝x.
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
考点梳理：
1．同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
2α＋2α＝1.
（2）商数关系：
α＝（α≠＋kπ，k∈Z）．
2．诱导公式
组数
一
二
三
四
五
角
α＋2kπ（k∈Z）
－α
α＋（2k＋1）π（k∈Z）
α＋
－α＋
正弦
α
－α
－α
α
α
余弦
α
α
－α
－α
α
正切
α
－α
α
口诀
函数名不变符号看象限
思考：
1．有人说（kπ－α）＝（π－α）＝α（k∈Z），你认为正确吗？
【提示】 不正确．当k＝2n（n∈Z）时，（kπ－α）＝（2nπ－α）＝－α；当k＝2n＋1（n∈Z）时，（kπ－α）＝（2nπ＋π－α）＝（π－α）＝α.
2．（－π－α）如何使用诱导公式变形？
【提示】 （－π－α）＝－（π＋α）＝α.
学情自测：
1．已知（α－π）＝－，且α是第四象限角，则α＝（ ）
A．－ D．±
【解析】 ∵（α－π）＝（π－α）＝－α＝－，
∴α＝，
又α是第四象限角，
∴α＜0，则α＝－＝－.
【答案】 A
2．已知（π＋θ）＝－（2π－θ），|θ|＜，则θ等于（ ）
A．－B．－
【解析】 由（π＋θ）＝－（2π－θ）得
－θ＝－θ，
∴θ＝，
又|θ|＜，∴θ＝，故选D.
【答案】 D
3．585°的值为（ ）
A．－C．－
【解析】 585°＝（360°＋225°）＝225°＝（180°＋45°）＝－45°＝－.
【答案】 A
4．若α＝－且α∈（π，），则α＝（ ）
C．－D．－
【解析】 ∵α＝－，且α∈（π，），
∴α＝－＝－＝－，
∴α＝＝.
【答案】 B
5．（2012·辽宁高考）已知α－α＝，α∈（0，π），则2α＝（ ）
A．－1B．－D．1
【解析】 因为α－α＝，所以1－2αα＝2，
即2α＝－1.
【答案】 A
典例探究：
例1（同角三角函数关系式的应用）
（1）（2013·潍坊模拟）已知＝5，则2α－αα的值是（ ）
B．－ C．－2 D．2
（2）（2013·银川模拟）已知α∈（π，），α＝2，则α＝.
【思路】
（1）先根据已知条件求得α，再把所求式变为用α表示的式子求解；
（2）切化弦，结合2α＋2α＝1求解．
【解答】
（1）由＝5，得＝5，即α＝2.
所以2α－αα＝＝＝.
（2）依题意得由此解得2α＝；
又α∈（π，），因此α＝－.
【答案】
（1）A
（2）－,
变式训练1：
（2012·大纲全国卷）已知α为第二象限角，α＝，则2α＝（ ）
A．－ B．－
【解析】 ∵α为第二象限角且α＝，
∴α＝－＝－，
∴2α＝2α·α＝2××（－）＝－.
【答案】 A
例2（诱导公式的应用）
（1）已知α＝2，α＋α＜0，则＝.
（2）已知α为第三象限角，f（α）＝，
①化简f（α）；
②若（α－）＝，求f（α）的值．
【思路】
（1）先利用诱导公式对原式进行化简，再根据α＝2，结合α的范围和同角三角函数关系式求解；
（2）①直接利用诱导公式化简约分．②利用α在第三象限及同角三角函数关系的变形式得f（α）．
【解答】
（1）原式＝＝α，
∵α＝2＞0，∴α为第一象限角或第三象限角．
又α＋α＜0，∴α为第三象限角，
由α＝＝2，得α＝2α代入2α＋2α＝1，解得α＝－.
【答案】 －
（2）①f（α）＝＝＝－α.
②∵（α－）＝，
∴－α＝，从而α＝－.
又α为第三象限角，∴α＝－＝－，
∴f（α）＝.
变式训练2：
（1）（2013·烟台模拟）600°＋240°的值等于（ ）
A．－ － ＋
（2）（2013·台州模拟）已知f（x）＝（πx＋α）＋（πx＋β）＋4（a，b，α，β为非零实数），
若f（2012）＝5，则f（2013）＝（ ）
A．3B．5C．1D．不能确定
【解析】
（1）600°＋240°＝（360°＋240°）＋（180°＋60°）
＝（180°＋60°）＋60°＝－60°＋60°＝－＋＝.
（2）∵f（2012）＝（2012π＋α）＋（2012π＋β）＋4
＝α＋β＋4＝5，
∴α＋β＝1，
∴f（2013）＝（2013π＋α）＋（2013π＋β）＋4
＝－α－β＋4＝－（α＋β）＋4＝－1＋4＝3.
【答案】
（1）B
（2）A
例3（α±α与α·α的关系）
（2013·扬州模拟）已知－π＜x＜0，x＋x＝.
（1）求x－x的值；
（2）求的值．
【思路】
（1）利用平方关系，设法沟通x－x与x＋x的关系；
（2）先利用倍角公式、商数关系式化为角x的弦函数，再设法将所求式子用已知表示出来．
【解答】
（1）由x＋x＝，平方得2x＋2x＋2x＝，
整理得2x＝－.
∵（x－x）2＝1－2x＝.
又∵－π＜x＜0，
∴x＜0，又x＋x＞0，
∴x＞0，x－x＜0，
故x－x＝－.
（2）＝
＝＝＝－.
变式训练3：
已知－＜x＜0，x＋x＝.
（1）求x－x的值；
（2）求x的值．
【解】
（1）由x＋x＝，
平方得2x＋2x＋2x＝，
即2x＝－，
∵（x－x）2＝1－2x＝.
又∵－＜x＜0，
∴x＜0，x＞0，x－x＜0，
故x－x＝－.
（2）由
（1）得x－x＝－，
故由，得x＝－，x＝，
∴x＝＝＝－.
小结：
一个口诀
诱导公式的记忆口诀为：
奇变偶不变，符号看象限．
两个防范
1.利用诱导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号．
三种方法
在求值与化简时，常用方法有：
（1）弦切互化法：
主要利用公式α＝进行弦、切互化．
（2）和积转换法：
利用（θ±θ）2＝1±2θθ的关系进行变形、转化．
（3）巧用“1”的变换：
1＝2θ＋2θ＝2θ（1＋2θ）＝等．
课后作业（十七） 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
一、选择题
1．（2013·郑州模拟）记（－80°）＝k，那么100°＝（ ）
B．－
D．－
【解析】 由（－80°）＝k，得80°＝k，
∴80°＝，
∴100°＝（180°－80°）＝－80°＝－.
【答案】 B
2．（2013·温州模拟）若（＋θ）＝，且|θ|＜，则θ＝（ ）
A．－C．－
【解析】 ∵（＋θ）＝，∴－θ＝，
即θ＝－，
∵|θ|＜，∴θ＝－，
∴θ＝（－）＝－.
【答案】 A
3．（2013·济南模拟）已知α∈（－，0），（－α－）＝则（－π－α）＝（ ）
C．－D．－
【解析】 ∵（－α－）＝－（＋α）＝α＝，且α∈（－，0），
∴α＝－＝－＝－，
∴（－π－α）＝－（π＋α）＝α＝－.
【答案】 D
4．（2013·保定模拟）已知θ＝2，则2θ＋θθ－22θ＝（ ）
A．－C．－
【解析】 2θ＋θθ－22θ
＝
＝＝＝.
【答案】 D
5．（2013·普宁模拟）若＝2，则＋的值为（ ）
A．－D．－
【解析】 ∵＝2，∴θ＝3θ，
∴＋＝＋＝
由得2θ＝，
∴＋＝.
【答案】 C
6．若α是5x2－7x－6＝0的根，
则＝（ ）
【解析】 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，则α＝－.
原式＝＝－＝.
【答案】 B
二、填空题
7．已知（＋α）＝，则（－α）的值为．
【解析】 （－α）＝[π－（＋α）]＝（＋α）＝.
【答案】
8．（2013·青岛模拟）已知α＝2，则72α＋32α＝.
【解析】 72α＋32α＝＝＝＝.
【答案】
9．已知（x＋）＝，则（＋x）＋2（－x）＝.
【解析】 原式＝－（＋x）＋2（＋x）＝－＋（1－）＝.
【答案】
三、解答题
10．已知函数f（x）＝.
（1）求函数y＝f（x）的定义域；
（2）设α＝－，求f（α）的值．
【解】
（1）由x≠0，得x≠＋kπ，k∈Z，
所以函数的定义域是{≠＋kπ，k∈Z}．
（2）∵α＝－，
∴f（α）＝
＝
＝＝－1－α＝.
11．已知（α＋π）＝a.
求证：
＝.
【证明】 由已知得
左边＝＝
＝＝＝右边，
所以原等式成立．
12．在△中，若（2π－A）＝－（π－B），A＝－（π－B），求△的三个内角．
【解】 由已知得
①2＋②2得22A＝1，
即A＝或A＝－.
（1）当A＝时，B＝，
又A、B是三角形的内角，
∴A＝，B＝，
∴C＝π－（A＋B）＝π.
（2）当A＝－时，B＝－.
又A、B是三角形的内角，
∴A＝π，B＝π，不合题意．
综上知，A＝，B＝，C＝π.
第三节 三角函数的图象与性质
学习目标：
1.能画出y＝x，y＝x，y＝x的图象，了解三角函数的周期性．
2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间（－，）内的单调性.
考点梳理：
1．周期函数和最小正周期
对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．若在所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f（x）的最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝x
y＝x
y＝x
图象
定义域
R
R
{≠＋kπ，k∈Z}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
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