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1、完整版高中数学必修一知识点总结全第一章 集合与函数概念课时一：集合有关概念1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。3.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性： 集合确定， 则一元素是否属于这个集合是确定的： 属于或不属于 例：世界上最高的山、 中国古代四大美女、 教室里面所有的人 （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。例：由 HAPPY 的字母组成的集合 H,A,P,Y（3）元素的无序性 :集合中元素的位置是可以改变的，并且

2、改变位置不影响集合例： a,b,c 和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示 ： 如： 我校的篮球队员 ，太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 （1）用大写字母表示集合： A= 我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列举法与描述法。1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 a,b,c 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。x R| x-32 ,x| x-32 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 Venn 图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。4 、集合的分类 ：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3

3、）空集：不含任何元素的集合 例： x|x 2 = 55、元素与集合的关系：（ 1）元素在集合里，则元素属于集合，即： a A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即： a A 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作： N 正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z有理数集 Q 实数集 R课时二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集（1 ）定义：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有 包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集。记作： A B （或 B ） 注意： A B有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。反之: 集合

4、A不包含于集合 B,或集合 B不包含集合 A,记作A B或B A2“相等”关系： A=B （5 5，且 55，则 5=5）实例：设 A=x|x 2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集。 A A2真子集 :如果 A B,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B（或 B A）或若集合 A B，存在 x B 且 x A ，则称集合 A 是集合 B 的真子集。3如果 A B, B C ,那么 A C4如果 A B 同时 B A 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集

5、。 有n个元素的集合，含有 2n个子集， 2n-1 个真子集课时三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合 ,叫 做 A,B 的交集 记 作 A B（读作 A 交 B）， 即 A B= x|x A ，且 x B 由所有属于集合 A 或属 于集合 B 的元素所组成 的集合，叫做 A,B 的并 集记作： A B（读作 A 并 B），即 A B =x|x A ，或 x B）全集：一般，若一个集合汉语我 们所研究问题中这几道的所有 元素，我们就称这个集合为全 集，记作： U设 S 是一个集合，A 是 S 的一个 子集，由 S 中所有不属于 A 的元 素组成的集

6、合， 叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作 CS A， CSA= x|x S,且x A韦恩图示AB图1AB图2S A性质A A=AA = A B=B AA B A AB BAUA=A AU =AAUB=BUAAUB AUB B(Cu A) (Cu B)= C u(AUB) (CuA) U (CuB)= C u (A B) AU(CuA)=UA (CuA)= 课时四：函数的有关概念1 函数的概念：设 A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使 对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f（x）和它对应， 那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B

7、的一个函数记作： y=f（x） ，xA1）其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；2）与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f（x）| x A 叫做 函数的值域2 函数的三要素：定义域、值域、对应法则3 函数的表示方法：（ 1）解析法：明确函数的定义域2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、 直线、折线、 离散的点等等。3)列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x A)中的 x为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫

8、做函数 y=f(x),(x A)的图 象C 上每一点的坐标 (x，y)均满足函数关系 y=f(x) ，反过来，以满 足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 (x， y)，均在 C 上 .(2)画法A 、描点法： B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换。(3)函数图像变换的特点：1)函数 y=f(x) 关于 X 轴对称 y=-f(x)2)函数 y=f(x) 关于 Y 轴对称 y=f(-x)3)函数 y=f(x) 关于原点对称 y=-f(-x)课时五：函数的解析表达式，及函数定义域的求法1、函数解析式子的求法(1)、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关

9、系 时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域(2)、求函数的解析式的主要方法有：1)代入法：2)待定系数法：3)换元法：4)拼凑法：2 定义域 ：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 .那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 .3、相同

10、函数的判断方法： 表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关)；定义域一致 (两点必须同时具备 )4、区间的概念 ：(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示课时六：1值域 : 先考虑其定义域(1)观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；( 2)反表示法：针对分式的类型，把 Y 关于 X 的函数关系式化成 X 关于 Y 的函数关系式，由 X的范围类似求 Y 的范围。(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。(4)代换法(换元法)：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类 型。课时七1.

11、分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 补充：复合函数如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A), 则 y=fg(x)=F(x)(x A) 称为 f、g 的复合函数。(4)常用的分段函数1)取整函数：2)符号函数：3)含绝对值的函数：2映射一般地，设 A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应， 那么就称对应 f：A B为从集合 A 到集合 B的一个映射。记作“ f(对应

12、关系)： A (原象) B(象)”对于映射 f：AB 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合 B中的每一个元素在集合 A 中都有原象。注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。 所以函数是映射，而映射不一定的函数课时八函数的单调性 (局部性质 ) 及最值1 、增减函数( 1)设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任 意两个自变量 x1，x2，当 x1x 2 时，都有 f(x 1)f(x 2)，那么就

13、说 f(x) 在 区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=f(x) 的单调增区间 .(2)如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1f(x 2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数 .区间 D 称为 y=f(x) 的 单调减区间 .注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调 不减两种2、 图象的特点如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数， 那么说函数 y=f(x) 在这一区间 上具有 (严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数 的图象从左到右是下降的 .3、函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1

14、 任取 x1，x2D ，且 x11 ，且nN*(a*b) n=a nbn当 n 是奇数时，正数的 此时，a 的 n 次方根用符号当 n 为偶数时，正数的 的正的 n 次方根用符号方根与负的 n 次方根可以合并成注意：负数没有偶次方根；nna a ，当 n 是奇数时，n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数。 表示。n 次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数 a 表示，负的 n 的次方根用符号（ a0 ）。0 的任何次方根都是 0 ，记作当 n是偶数时， n an |a|表示。正的 n 次3、式子 叫做根式，这里叫做根指数，a 叫做被开方数。n0 aa0。(a 0)(a 0)分数指

15、数幂正数的分数指数幂的mn n m *a n a （a 0,m,n N ,n0 的正分数指数幂等于1man0 ， 0 的负分数指数幂没有意义1) ， a1*(a 0,m,n N ,n nma1)4、有理数指数米的运算性质（1）r r r s a a a(a0,r,sR)；（2）r s rs (a ) a(a0,r,sR)；（3）r r s (ab) a a(a0,r,sR)5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂 aa（a0,a 是无理数）是一个确定的实数。有理数指数 幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。课时十五：指数函数的性质及其特点（ 1 ）1、指数函数的概念： 一般地，函数y ax（a 0,

16、且a 1）叫做指数函数，其中 x是自变量， 函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1 为什么？2、在同以坐标平面内画出下列函数的图像：（1） （2 ） （3） （4 ） （5）图像特征图像特征a1a10a1向、轴正负方向无限延伸函数的定义域为 R图像关于原点和 Y 轴不对称非奇非偶函数函数图像都在 X 轴的上方函数的值域为 R+函数图象都过定点（ 0， 1 ）a0=1自左向右看图像逐渐 上升。自左向右看图像逐渐 上升。增函数减函数在第一象限内图像纵 坐标都大于 1 。在第一象限内图像纵 坐标都大于 1。x0 ， ax1x0 ， ax 1在第二象限内图像纵 坐标

17、都小于 1 。在第二象限内图像纵 坐标都大于 1。x0 ， ax 1x1图像上升的趋势愈来 愈陡。图像上升的趋势愈来 愈陡。函数值开始增加较慢， 到了某一值后增长速 度极快。函数值开始减小极快， 到了某一值后减小速 度较慢。课时十六：指数函数的性质及其特点（ 1 ） 指数函数的图象和性质a10a 0值域 y0在 R 上单调递增在 R 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点( 0， 1)函数图象都过定点( 0 ，1)注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：(1)在a，b 上，值域是 f(a),f(b) 或f (b),f (a) ；(2)若 x 0，则 f(x) 1；f (x) 取

18、遍所有正数当且仅当 x R ； (3)对于指数函数 f (x) ax (a 0且a 1) ，总有 f(1) a；(4)当 a1 时，若 X1X 2 ,则有 f(X 1)10a 0定义域 x 0值域为 R值域为 R在 R 上递增在 R 上递减函数图象都过定点（0）1，函数图象都过定点（1，0）（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如 y x （a R） 的函数称为幂函数，其中 为常数 2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（ 0，+ ）都有定义并且图象都过点（ 1，1）；（2） 0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 0, ） 上是增函数特别地， 当 1 时，幂函数的图象下凸；当 0 1时，幂函数的图象上凸；（3） 0时，幂函数的图象在区间 （0, ）上是减函数在第一象限内，当 x 从右 边趋向原点时，图象在 y轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，当 x趋于 时，图 象在 x轴上方无限地逼近 x 轴正半轴