完整版高中数学必修一知识点总结全.docx

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第一章集合与函数概念

课时一：

集合有关概念

1.集合的含义：

集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

3.集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性：

集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：

属于或不属于例：

世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人⋯

（2）元素的互异性：

一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

例：

由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

（3）元素的无序性:

集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合

例：

{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：

{⋯}如：

{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

（1）用大写字母表示集合：

A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：

列举法与描述法。

1）列举法：

将集合中的元素一一列举出来{a,b,c⋯⋯}

2）描述法：

将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

{xR|x-3>2},{x|x-3>2}①语言描述法：

例：

{不是直角三角形的三角形}②Venn图:

画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类：

（1）有限集：

含有有限个元素的集合

（2）无限集：

含有无限个元素的集合

（3）空集：

不含任何元素的集合例：

{x|x2=－5}

5、元素与集合的关系：

（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：

（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：

aA注意：

常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：

N正整数集N*或N+整数集Z

有理数集Q实数集R

课时二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

（1）定义：

如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

记作：

AB（或BＡ）注意：

AB有两种可能

（1）A是B的一部分，；

（2）A与B是同一集合。

反之:

集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2．“相等”关系：

A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）

实例：

设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”

即：

①任何一个集合是它本身的子集。

2真子集:

如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）

或若集合AB，存在xB且xA，则称集合A是集合B的真子集。

3如果AB,BC,那么AC

4如果AB同时BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

课时三、集合的运算

运算类型

交集

并集

补集

定义

由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B'），即AB={x|xA，且xB}．

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：

AB（读作‘A并B'），即AB={x|xA，或xB}）．

全集：

一般，若一个集合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作CSA，CSA={x|xS,且xA}

韦恩图示

图1

图2

性质

A∩A=A

A∩Φ=Φ

A∩B=BA

A∩BAA

∩BB

AUA=AAUΦ

AUB=BUA

AUBＡ

AUBB

（CuA）∩（CuB）=Cu（AUB）（CuA）U（CuB）=Cu（A∩B）AU（CuA）=U

A∩（CuA）=Φ．

课时四：

函数的有关概念

1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：

y=f（x），x∈

A．

1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．

2．函数的三要素：

定义域、值域、对应法则

3．函数的表示方法：

（1）解析法：

明确函数的定义域

2）图想像：

确定函数图像是否连线，函数的图像可以

是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。

3）列表法：

选取的自变量要有代表性，可以反应定义

域的特征。

4、函数图象知识归纳

（1）定义：

在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（x∈A）中的x为横坐标，函数

值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数y=f（x）,（x∈A）的图象．C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上.

（2）画法

A、描点法：

B、图象变换法：

平移变换；伸缩变换；对称变换。

（3）函数图像变换的特点：

1）函数y=f（x）关于X轴对称y=-f（x）

2）函数y=f（x）关于Y轴对称y=f（-x）

3）函数y=f（x）关于原点对称y=-f（-x）

课时五：

函数的解析表达式，及函数定义域的求法

1、函数解析式子的求法

（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域

（2）、求函数的解析式的主要方法有：

1）代入法：

2）待定系数法：

3）换元法：

4）拼凑法：

2．定义域：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

（1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零；

（3）对数式的真数必须大于零；

（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是

使各部分都有意义的x的值组成的集合.

（6）指数为零底不可以等于零，

（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

3、相同函数的判断方法：

①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；

②定义域一致（两点必须同时具备）

4、区间的概念：

（1）区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示

课时六：

1．值域:

先考虑其定义域

（1）观察法：

直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；

（2）反表示法：

针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式，由X的范围类似求Y的范围。

（3）配方法：

针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值

域，注意定义域的范围。

（4）代换法（换元法）：

作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。

课时七

1.分段函数

（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（2）各部分的自变量的取值情况．

（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．补充：

复合函数

如果y=f（u）（u∈M）,u=g（x）（x∈A）,则y=f[g（x）]=F（x）（x∈A）称为f、g的复合函数。

（4）常用的分段函数

1）取整函数：

2）符号函数：

3）含绝对值的函数：

2．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使

对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

AB为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f（对应关系）：

A（原象）B（象）”

对于映射f：

A→B来说，则应满足：

（1）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

（2）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

（3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

注意：

映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。

所以函数是映射，而映射不一定的函数

课时八函数的单调性（局部性质）及最值

1、增减函数

（1）设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

（2）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数.区间D称为y=f（x）的单调减区间.

注意：

函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种

2、图象的特点

如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

3、函数单调区间与单调性的判定方法

（A）定义法：

1○任取x1，x2∈D，且x1

2○作差f（x1）－f（x2）；

3○变形（通常是因式分解和配方）；

4○定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；

5○下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）．

（B）图象法（从图象上看升降）

（C）复合函数的单调性

复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律：

“同增异减”

在一起写成其并集

课时九：

函数的奇偶性（整体性质）

（1）、偶函数一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数．

（2）、奇函数一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数．

（3）、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断；

2○确定f（－x）与f（x）的关系；

○3作出相应结论：

若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函数；若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数．

（4）利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性1）在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；

奇函数的加减仍为奇函数；

奇数个奇函数的乘除认为奇函数；

偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数；2）复合函数的奇偶性：

一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。

注意：

函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，

（1）再根据定义判定;

（2）由f（-x）±f（x）=0或f（x）／f（-x）=±1来判定;

（3）利用定理，或借助函数的图象判定.

课时十、函数最值及性质的应用

1、函数的最值

1○利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

2○利用图象求函数的最大（小）值

3○利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；

2、函数的奇偶性与单调性

奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；

偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。

3、判断含糊单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区别在于作差法是与0作比较，作商法是与1作比较。

4、绝对值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求最值。

5、在判断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用f（0）=0，但是f（0）=0并不一定可以判断函数为奇函数。

（高一阶段可以利用奇函数f（0）=0）。

课时十四

1、指数与指数幂的运算：

复习初中整数指数幂的运算性质：

m*an=a

m+n

（am）n=a

2、根式的概念：

一般地，若xna，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*

（a*b）n=anbn

当n是奇数时，正数的此时，a的n次方根用符号

当n为偶数时，正数的的正的n次方根用符号

方根与负的n次方根可以合并成

注意：

负数没有偶次方根；

aa，

当n是奇数时，

n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。

表示。

n次方根有两个，这两个数互为相反数。

此时正数a表示，负的n的次方根用符号

（a>0）。

0的任何次方根都是0，记作

当n是偶数时，nan|a|

表示。

正的n次

3、

式子叫做根式，这里

叫做根指数，

a叫做被开方数。

n0a

0。

（a0）

分数指数幂

正数的分数指数幂的

nnm*

ana（a0,m,nN,n

0的正分数指数幂等于

0，0的负分数指数幂没有意义

1），a

（a0,m,nN,nnm

1）

4、

有理数指数米的运算性质

（1）

rrrsa·aa

（a

0,r,s

R）；

（2）

rsrs（a）a

（a

0,r,s

R）；

（3）

rrs（ab）aa

（a

0,r,s

R）．

5、无理数指数幂

一般的，无理数指数幂aa（a>0,a是无理数）是一个确定的实数。

有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。

课时十五：

指数函数的性质及其特点

（1）

1、指数函数的概念：

一般地，函数yax（a0,且a1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：

指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？

2、在同以坐标平面内画出下列函数的图像：

（1）

（2）（3）（4）（5）

图像特征

a>1

向Ｘ、Ｙ轴正负方向无限延伸

函数的定义域为R

图像关于原点和Y轴不对称

非奇非偶函数

函数图像都在X轴的上方

函数的值域为R+

函数图象都过定点（0，1）

a0=1

自左向右看图像逐渐上升。

增函数

减函数

在第一象限内图像纵坐标都大于1。

x>0，ax>1

x>0，ax<1

在第二象限内图像纵坐标都小于1。

在第二象限内图像纵坐标都大于1。

x<0，ax<1

x<0，ax>1

图像上升的趋势愈来愈陡。

函数值开始增加较慢，到了某一值后增长速度极快。

函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢。

课时十六：

指数函数的性质及其特点

（1）指数函数的图象和性质

a>1

定义域R

值域y>0

在R上单调递增

在R上单调递减

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）

注意：

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是[f（a）,f（b）]或[f（b）,f（a）]；

（2）若x0，则f（x）1；f（x）取遍所有正数当且仅当xR；（3）对于指数函数f（x）ax（a0且a1），总有f

（1）a；

（4）当a>1时，若X1

、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：

一般地，如果axN（a0,a1），那么数x叫做以．a为．底．N的对数，

记作：

xlogaN（a—底数，N—真数，logaN—对数式）

0，且a1；

logaN

说明：

1○注意底数的限制a

2○axNlogaNx；

3○注意对数的书写格式．

两个重要对数：

1○常用对数：

以10为底的对数lgN；

2○自然对数：

以无理数e2.71828为底的对数的对数lnN．指数式与对数式的互化

底数

对数

指数

（二）对数的运算性质

如果a0，且a1，M0，N0，那么：

1○loga（M·N）logaM＋logaN；

2○logaMlogaM－logaN；

3○logaMnnlogaM（nR）．注意：

换底公式

logablogcb（a0，且a1；c0，且c1；b0）logca

logba

利用换底公式推导下面的结论

（1）logambnnlogab；

（2）logabm

（二）对数函数

1、对数函数的概念：

函数ylogax（a0，且a1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：

1○对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：

y2log2x，ylog5x都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

2○对数函数对底数的限制：

（a0，且a1）．

2、对数函数的性质：

a>1

2.5

0.5

0-0.51

-1.5

-2

-2.5

定义域x>0

值域为R

在R上递增

在R上递减

函数图象都过定点（

0）

1，

函数图象都过定点（

1，0）

（三）幂函数

1、幂函数定义：

一般地，形如yx（aR）的函数称为幂函数，其中为常数．2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,）上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；

（3）0时，幂函数的图象在区间（0,）上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

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