初二奥数题实数练习.docx

1、初二奥数题实数练习三、练习1 分解因式：x4+x2y2+y4 x4+4 x423x2y2+y42. 分解因式： x3+4x29 x341x+30 x3+5x218 x339x703. 分解因式：x3+3x2y+3xy2+2y3 x33x2+3x+7 x39ax2+27a2x26a3 x3+6x2+11x+6 a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+24. 分解因式：3x37x+10 x311x2+31x21 x44x+3 2x35x2+15. 分解因式：2x2xy3y26x+14y8 （x23x3）（x2+3x+4）8（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)48 （2x7）(2x+5)(x

2、29)916分解因式： x2y2+1x2y2+4xy x2y2+2x4y3x4+x22ax a+1 （x+y）4+x4+y4 （a+b+c）3（a3+b3+c3）7. 己知：n是大于1的自然数 求证：4n2+1是合数8己知：f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5 且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式求：当x=1时，f(x)的值练习题参考答案1. 添项，配成完全平方式(仿例3) 2.拆中项，仿例13. 拆项，配成两数和的立方原式=(x+y)3+y3原式=(x-3a)3+a3 原式=(a+1)3+(b+1)34. 用因式定理，待

3、定系数法，仿例5，6 x=时，原式=0，有因式2x15. 看着是某代数式的二次三项式，仿例7 原式=（2x-7）(x+3)(2x-5)(x-3)-91=(2x2-x-8)(2x2-x-28)=6. 分组配方原式=(x2+1)2-(x+a)2 把原式用乘法展开，合并，再分解以a=b代入原式0，故有因式a+b7. 可分解为两个非1的正整数的积8. 提示g(x),p(x)的和，差，倍仍有f(x)的因式， 3g(x)-p(x)=14(x2-2x-5)与f(x)比较系数，f(1)=4一、内容提要1 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。2 根

4、据被除式除式商式余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，那么 式的整除的意义可以表示为： 若f(x)p(x)q(x)， 则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除 例如x23x4（x4）（x +1）,x23x4能被（x4）和（x +1）整除。显然当 x=4或x=1时x23x40，3 一般地，若整式f(x)含有x a的因式，则f(a)=0反过来也成立，若f(a)=0,则xa能整除f(x)。4 在二次三项式中若x2+px+q=(x+a)(x+b)x2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab 在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。二、例题例1己知 x25x+m

5、能被x2整除，求m 的值。 x3解法一：列竖式做除法 （如右） x2 x25x+m 由 余式m60 得m=6 x22x 解法二： x25x+m 含有x2 的因式 3x+m 以x=2代入 x25x+m 得 3x+6 2252 m=0 得m=6 m6解法三：设x25x+m 除以x2 的商是x+a (a为待定系数) 那么 x25x+m(x+a)(x2) x2+(a-2)x2a 根据左右两边同类项的系数相等，得 解得 （本题解法叫待定系数法）例2 己知:x45x3+11x2+mx+n能被x22x+1整除求：m、n 的值及商式 解：被除式除式商式 （整除时余式为0）商式可设为x2+ax+b 得x45x3

6、+11x2+mx+n（x22x+1）（x2+ax+b）x4+(a-2)x3+(b+1-2a)x2+(a-2b)x+b 根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得 解得 m=11, n=4, 商式是x23x+4 例3 m取什么值时，x3+y3+z3+mxyz (xyz0)能被x+y+z整除? 解：当 x3+y3+z3+mxyz 能被x+y+z整除时，它含有x+y+z 因式 令x+y+z0，得x=（y+z），代入原式其值必为0 即（y+z）3+y3+z3myz(y+z)=0 把左边因式分解，得 yz(y+z)(m+3)=0, yz0, 当y+z=0或m+3=0时等式成立 当x,y（或y,z或x,z

7、）互为相反数时，m可取任何值 ，当m=3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除。例4 分解因式x3x+6 分析：为获得一次因式，可用x=1，2，3，6（常数项6的约数）代入原式求值，只有x=2时值为0，可知有因式x2，（以下可仿例1） 解：x3x+6（x2）（x22x+3）三、练习1 若x3+2x2+mx+10=x3+nx24x+10, 则m=_, n=_2 x34x2+3x+32除以x+2的余式是，x4x2+1除以x2x2的余式是3 己知x3+mx+4能被x+1整除，求m4 己知x4+ax3+bx16含有两个因式x1和x 2,求a和b的值5 己知13x3+mx2+11x+n能被

8、13x26x+5整除,求m、n及商式6 己知ab0,m取什么值时，a36a2b+mab2-8b3有因式a2b.7 分解因式：x3-7x+6, x3-3x2+4, x3-10x-3 8.选择题 x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是（ ） (A)(x+y)(y-z)(x-z) (B) (x+y)(y+z)(x-z) (c) (x-y)(y-z)(x+z) (D) (x-y)(y+z)(x+z)n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整数)，对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是（ ）（A） p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=5

9、0,q=12, (D) p=300,q=15.练习题参考答案1. 4，2 2. 2；4x+5 3. 3 4. 5. 商式x-16. 12 7.(x-1)(x-2)(x+3), (x-2)2(x+1) , (x+3)(x2-3x-1)8. (A) (D)例2 化简： 分析 两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁我们可以先将分母因式分解后，再化简 解法1 配方法 配方法是要设法找到两个正数x，y(xy)，使x+y=a，xy=b，则 解法2 待定系数法 例4 化简： (2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简 分析 被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以

10、看成 解 设 两边平方得 得 (xyz)2=5735=352 因为x，y，z均非负，所以xyz0，所以xyz=35 ，有z=7同理有x=5，y=1所求x，y，z显然满足，所以 解 设原式=x，则 解法1 利用(ab)3a3b33ab(ab)来解 将方程左端因式分解有 (x-4)(x24x10)0 因为 x24x10(x2)260， 所以x-40，x4所以原式4 解法2 说明 解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法 例8 化简： 解(1) 本小题也可用换元法来化简 解 用换元法 解 直接代入较繁，观察x，y的特征有 所以 3x2-5xy3y23x26xy3y2-11xy 3(xy)2-11xy 3102-111289 例11 求 分析 本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算 解 设根号内的式子为A，注意到1(2-1)，及平方差公式(ab)(a-b)a2-b2，所以 A(2-1)(21)(221)(241)(22561)1 (22-1)(221)(241)(281)(22561)1 (24-1)(241)(281)(2161)(22561)1 (2256-1)(22561)1 22256-1122256， 的值 分析与解 先计算几层，看一看有无规律可循