初二奥数题实数练习.docx

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初二奥数题实数练习

三、练习

1．分解因式：

①x4+x2y2+y4②x4+4③x4－23x2y2+y4

2.分解因式：

①x3+4x2－9②x3－41x+30

③x3+5x2－18④x3－39x－70

3.分解因式：

①x3+3x2y+3xy2+2y3②x3－3x2+3x+7

③x3－9ax2+27a2x－26a3④x3+6x2+11x+6

⑤a3+b3+3（a2+b2）+3（a+b）+2

4.分解因式：

①3x3－7x+10②x3－11x2+31x－21

③x4－4x+3④2x3－5x2+1

5.分解因式：

①2x2－xy－3y2－6x+14y－8②（x2－3x－3）（x2+3x+4）－8

③（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）－48④（2x－7）（2x+5）（x2－9）－91

6．分解因式：

①x2y2+1－x2－y2+4xy②x2－y2+2x－4y－3

③x4+x2－2ax－a+1④（x+y）4+x4+y4

⑤（a+b+c）3－（a3+b3+c3）

7.己知：

n是大于1的自然数求证：

4n2+1是合数

8．己知：

f（x）=x2+bx+c,g（x）=x4+6x2+25,p（x）=3x4+4x2+28x+5

且知f（x）是g（x）的因式，也是p（x）的因式

求：

当x=1时，f（x）的值

练习题参考答案

1.添项，配成完全平方式（仿例3）2.拆中项，仿例1

3.拆项，配成两数和的立方

①原式=（x+y）3+y3……③原式=（x-3a）3+a3

⑤原式=（a+1）3+（b+1）3

4.用因式定理，待定系数法，仿例5，6

④x=

时，原式=0，有因式2x－1

5.看着是某代数式的二次三项式，仿例7

④原式=（2x-7）（x+3）（2x-5）（x-3）-91=（2x2-x-8）（2x2-x-28）=……

6.分组配方

③原式=（x2+1）2-（x+a）2……④把原式用乘法展开，合并，再分解

⑤以a=－b代入原式＝0，故有因式a+b

7.可分解为两个非1的正整数的积

8.提示g（x）,p（x）的和，差，倍仍有f（x）的因式，

3g（x）-p（x）=14（x2-2x-5）与f（x）比较系数……，f

（1）=4

一、内容提要

1．定义：

如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。

2．根据被除式＝除式×商式＋余式，设f（x）,p（x）,q（x）都是含x的整式，

那么式的整除的意义可以表示为：

若f（x）＝p（x）×q（x），则称f（x）能被p（x）和q（x）整除

例如∵x2－3x－4＝（x－4）（x+1）,

∴x2－3x－4能被（x－4）和（x+1）整除。

显然当x=4或x=－1时x2－3x－4＝0，

3．一般地，若整式f（x）含有x–a的因式，则f（a）=0

反过来也成立，若f（a）=0,则x－a能整除f（x）。

4．在二次三项式中

若x2+px+q=（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab则p=a+b,q=ab

在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。

这可以推广到任意多项式。

二、例题

例1己知x2－5x+m能被x－2整除，求m的值。

x－3

解法一：

列竖式做除法（如右）x－2x2－5x+m

由余式m－6＝0得m=6x2－2x

解法二：

∵x2－5x+m含有x－2的因式－3x+m

∴以x=2代入x2－5x+m得－3x+6

22－5×2＋m=0得m=6m－6

解法三：

设x2－5x+m除以x－2的商是x+a（a为待定系数）

那么x2－5x+m＝（x+a）（x－2）＝x2+（a-2）x－2a

根据左右两边同类项的系数相等，得

解得

（本题解法叫待定系数法）

例2己知:

x4－5x3+11x2+mx+n能被x2－2x+1整除

求：

m、n的值及商式

解：

∵被除式＝除式×商式（整除时余式为0）

∴商式可设为x2+ax+b

得x4－5x3+11x2+mx+n＝（x2－2x+1）（x2+ax+b）

＝x4+（a-2）x3+（b+1-2a）x2+（a-2b）x+b

根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得

解得

∴m=－11,n=4,商式是x2－3x+4

例3m取什么值时，x3+y3+z3+mxyz（xyz≠0）能被x+y+z整除?

解：

当x3+y3+z3+mxyz能被x+y+z整除时，它含有x+y+z因式

令x+y+z＝0，得x=－（y+z），代入原式其值必为0

即［－（y+z）］3+y3+z3－myz（y+z）=0

把左边因式分解，得－yz（y+z）（m+3）=0,

∵yz≠0,∴当y+z=0或m+3=0时等式成立

∴当x,y（或y,z或x,z）互为相反数时，m可取任何值，

当m=－3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除。

例4分解因式x3－x+6

分析：

为获得一次因式，可用x=±1，±2，±3，±6（常数项6的约数）代入原式求值，只有x=－2时值为0，可知有因式x＋2，（以下可仿例1）

解：

x3－x+6＝（x＋2）（x2－2x+3）

三、练习

1．若x3+2x2+mx+10=x3+nx2－4x+10,则m=___,n=___

2．x3－4x2+3x+32除以x+2的余式是＿＿＿，

x4－x2+1除以x2－x－2的余式是＿＿＿

3．己知x3+mx+4能被x+1整除，求m

4．己知x4+ax3+bx－16含有两个因式x－1和x–2,求a和b的值

5．己知13x3+mx2+11x+n能被13x2－6x+5整除,求m、n及商式

6．己知ab≠0,m取什么值时，a3－6a2b+mab2-8b3有因式a－2b.

7．分解因式：

①x3-7x+6,②x3-3x2+4,③x3-10x-3

8.选择题

①x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是（）

（A）（x+y）（y-z）（x-z）（B）（x+y）（y+z）（x-z）

（c）（x-y）（y-z）（x+z）（D）（x-y）（y+z）（x+z）

②n3+p能被n+q整除（n,p,q都是正整数），对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是（）

（A）p=100,q=10（B）p=5000,q=20（C）p=50,q=12,（D）p=300,q=15.

练习题参考答案

1.–4，2

2.2；4x+53.3

4.

5.

商式x-1

6.127.①（x-1）（x-2）（x+3）,②（x-2）2（x+1）,③（x+3）（x2-3x-1）

8.①（A）②（D）

例2化简：

分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．

解法1配方法．

配方法是要设法找到两个正数x，y（x＞y），使x+y=a，xy=b，则

解法2待定系数法．

例4化简：

（2）这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．

分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成

解设

两边平方得

②×③×④得

（xyz）2=5×7×35=352．

因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以

xyz=35．⑤

⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以

解设原式=x，则

解法1利用（a＋b）3＝a3＋b3＋3ab（a＋b）来解．

将方程左端因式分解有

（x-4）（x2＋4x＋10）＝0．

因为

x2＋4x＋10＝（x＋2）2＋6＞0，

所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．

解法2

说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．

例8化简：

解

（1）

本小题也可用换元法来化简．

解用换元法．

解直接代入较繁，观察x，y的特征有

所以

3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy

＝3（x＋y）2-11xy

＝3×102-11×1＝289．

例11求

分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．

解设根号内的式子为A，注意到1＝（2-1），及平方差公式（a＋b）（a-b）＝a2-b2，所以

A＝（2-1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）…（2256＋1）＋1

＝（22-1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（2256＋1）＋1

＝（24-1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）…（2256＋1）＋1

＝…＝（2256-1）（2256＋1）＋1

＝22×256-1＋1＝22×256，

的值．

分析与解先计算几层，看一看有无规律可循．