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1、微积分第三版课后习题答案微积分第三版课后习题答案【篇一：微积分下册练习题(含答案)】 n?1 ? n 的部分和数列?sn?的极限存在是级数 ?u n?1 ? n 收敛的 充要条件。 2、判断级数 ? n?1 ? nsin3 2n n 的敛散性。 nsin3 解： nn?1 ?n，而limn?1?1，故收敛。 n?n22n2n n2 3、级数n?1 ? ? ?xn 的收敛半径为r?2。 2n 4、幂级数 ?n?1 ?1?x? 3 n 的收敛区间为?1。 ? 5、将函数f?x?ln?1?x?展开成x的幂级数是 ?x? 121314x?x?x?234 ,x?1,1?。6、微分方程 dy ?y?sin

2、?x2?c?。 dx x 7、求微分方程y?y?e的通解。 解：y?e? dx ?exe?dxdx?c?exx?c ? x4 ?c1x2?c2x?c3。 8、微分方程y?sinx?6x的通解是y?cosx?4 9、微分方程y?y?2y?e的通解。 2 解：特征方程为r?r?2?0，解得r,r2?2，另外特解是y?1?1 ? x 1x e， 2 从而通解为y?c1e ?x 1 ?c2e2x?ex 2 x 10、微分方程y?y?e ? ?x?1?的特解可设为y?ex?ax?b?。 n? 11. 级数?un收敛的必要条件是limun?0 . n?112. 交换二次积分的次序?0dy?0f(x,y)d

3、x=?0dx?xf(x,y)dy 13. 微分方程y?4y?4y?2xe2x的特解可以设为y*?x2(ax?b)e2x. 14. 在极坐标系下的面积元素d?rdrd?. 15. 级数?(?1) n?1? n?1 1y11 1n 32 为（ a ）. a.绝对收敛; b. 条件收敛; c.发散; d. 收敛性不确定. 16.幂级数?(?1) n?1? n?nn1 的收敛半径为( r? ). 3xy 17. 设z?sin(x?y)?e,求dz. (?y?)xe解：zx?cosx(?y?)yexy zy?cosx dz?cosx(?y?)ye ? xy xy d?xcos?x(y?x)yxe dy

4、(?1)n (x?1)n的收敛域. 18.求幂级数?nn?1 解 r?1 当x?2时收敛 当x?0时发散 收敛域为(0,2. 1 19.将f(x)?展开为麦克劳林级数. 2 2?x?x? 11?11? ?解： ?2 2?x?x3?1?x?x? 2?1?2? 2分 ? 11? 31?x6(1?x) 2 n 3分 1?n1?x?x?(?1)n?3n?06n?0?2? 5分1?1?1?(?1)nn?1?xn3n?0?2? 6分 x?1 7分 20. 求微分方程y?2xy?4x在初始条件yx?0?3下的特解. 解y?e ?2xdx ? c?4xexdx x2 2 ? 5分 3分 4分 ?e?ce ?x

5、2 c?2?ed(x2) ?x2 ?2 将yx?0?3代入上式得 c?1 所求特解为y?e ?x2 6分 ?2 7分【篇二：微积分3习题答案】?3?x)?f(x0) ?3a ?x?0?x 2函数f?x?xx在点x?0处的导数f?0? 0 1设f(x0)?a，则lim 3根据导数定义，函数f?x?xx?在点x?1处的导数f?1? 不存在 4函数f?x?sinx在点x?0处的导数f?0?不存在 5设函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)?(x?n)（其中n为正整数），则f(0)? 1 ?kk?12 7设f?x?x2，则f?f?x? 2x f(x0)?f(x0?2h) ?3，则dy|x?x0?

6、9dx 8设y?f(x)，且lim h?06h 9y?x2?e?x，则y(0)? 3 6曲线y?1?x?e在点x?0处的切线方程为y? 2x?1 n! x n d2y?1 ?10设x?a(t?sint)，y?a(1?cost)，则 dx2a(1?cost)2 11arcsinx?)dx 11设0?x?1，则d(xarcsinx)? (2x2?x ?x?1?t2 12求曲线?在t?2处的切线方程y?8?3(x?5) 3 ?y?t 1 13设y?2x?1，则其反函数x?x(y)的导数x?(y)? 2 dy12 arctan4 14设y?x?1)?arctan2x，则导数在点x?4处的值为 ? dx

7、417 1 15设需求函数q?a?bp，则边际收益r?q?a?2q? b 5 16某商品的需求量q与价格p的关系为q?p，则需求量q对价格p的弹性是17设某商品的需求函数为q?1000?2p，其中p为价格，q为需求量，则该商品的收 er1000?2q ?益弹性 1000?qeq 18某商品的需求函数为q?1000?2p，其中p为价格，q为需求量，则销售该商品的 a?2bp 边际收益为r?q? 500?q a?bp er ?19某商品的需求量q与价格p之间的关系为q?a?bp，则该商品的收益弹性ep 二、单项选择题 f(x0?h)?f(x0) ?1，则f(x0)为 1设f(x)是可导函数，且li

8、m h?02h 1 212 2设f(x)在x?1处可导，且f(1)?2，则lim f(1?x)?f(1?x) ? x?0x 1 2 4 33函数f?x?x在x?0处满足下列哪个结论 3 极限不存在 极限存在，不连续 连续，不可导可导 4函数f?x?在区间?a,b?内连续是f?x?在?a,b?内可导的 充分但非必要条件 必要但非充分条件充分必要条件 既非充分又非必要条件 5设f(x)为奇函数，则其导数f?(x)的奇偶性为 奇函数 偶函数 非奇非偶奇偶性不定 6设函数f(x)可导，记g(x)?f(x)?f(?x)，则导数g?x?为奇函数 偶函数 非奇非偶奇偶性不定 1 与?x等价的无穷小 与?x同

9、阶的无穷小，但不等价 与?x低阶的无穷小 与?x高阶的无穷小 ?x x?0? 8函数f(x)?1?e1，在x?0处 x ?x?0?0 不连续 连续但不可导 可导，且f(0)?0 可导，且f(0)?1 9设f(x)?xlnx在x0处可导，且f?(x0)?2，则f(x0)? 7设函数y?f(x)有f(x0)? 0 e 1e 10设ee 2x 2x 2 为f(x)的导函数，则f?(x)? 2e2x4e2x 0 11设f?(0)?2，则当x?0时，f(x)?f(0)是x的 低阶无穷小量同阶无穷小量 高阶无穷小量 等价无穷小量 三、求下列导数或微分 dy 1设y?x?x?x，求 （ dx 2设y? ?1

10、?2x?1? 2x?x?x?2x?x 1?） ? xsin dy11111，求（） sin?cos dxxx2xx2x 3y?ex?sinx?cosx?，求 4y?x?sinlnx?coslnx?，求dy（2coslnxdx） 5y?x2，求dy(6设y?3?x?x x 3 sin3x yx?0（=2） xdxx?x 2 ) sin3x? ?） x? 112 7设y?x?arctan?ln?x，求y （arctan） xx ?11?x?1?x?1 8设y?（x?1），求dy（(x?1?x?1)? ?dx） x?1?x?1?2x?12x?1? 9设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?100)

11、，求f?(0)（=100！） ，求y? （y?3xln3?3x2?xsin3x?3cos3xlnx? ? ?xsinxsinx?xcosx?x2cosx 10设y?，求dy （dx） 2 1?x(1?x)dyxexexx2?ex 11y?，求 （） x2dxx?exx?e ? ? x?13x21 12设y?arctan(（|x|?1），求y?（） x?2)?ln? x?11?(x3?2)2x2?1 6x2?6 13设y?x6(x2?1)3(x?2)2，求y?（x6(x2?1)3(x?2)?2?） xx?2x?1? 3 14设y? (x?1)2x?2 (x?2)2 (x?1)2x?2?212?

12、，求y? （?x?14(x?2)3(x?2)?） 2?(x?2) 1 x 1?lnx ） 2 x2xsinx?2sinx?22sinx 16设y?(1?x)，求dy （(1?x)cosxln(1?x)?dx） 2?1?x? 2x?y(x2?y2)exy22xy 17由ln(x?y)?e?1确定y是x的函数y(x)，求y?(x)y? 22xy 2y?x(x?y)e 15设y?x（x?0），求y? （x? 1 x yex?ey 18已知ye?xe，求y(y) xe?ex y?y?xlny?xy 19已知y?x，求y（） xx?ylnx2 20已知y?cot(x?y)，求y （sec(x?y)） 1

13、 21已知y?ln?y?x?0，求y （） y?x?1 x y 22由ex 2 ?y 2 ?sin(xy)?5确定y是x的函数y(x)，求y(x)y? 2xex2ye 2 ?y2 ?ycos(xy)?xcos(xy) x2?y2 23设函数y?y(x)由方程ln(y?x2)?x3y?sinx确定，求 dy （=1） dxx?0 dy1?y2 24设方程x?y?arctany?0确定了y?y(x)，求 （y?） 2 dxy ay?x2 25求由方程x?y?3axy?0（a?0）确定的隐函数y?y(x)的微分dy2dx y?ax y 26已知y(x)是由方程siny?xe?0所确家的隐函数，求y?

14、，以及该方程所表示的曲线 3 3 ey 在点(0,0)处切线的斜率。（?，?1） cosy?xey f? 27设y?y(x)由方程y?fx?g(y)所确定，其中f和g均可导，求y?（） 1?f?g? d2y 28函数y?y(x)由方程e?e?xy?0确定，求 dx2 x y x y x?0 解 对方程两边关于x求导，得e?ey?y?xy?0，两边关于x再求导，得ex?eyy?2?eyy?y?y?xy?0 d2y 又当x?0时，y?0，于是y?(0)?1，故 dx2 ?2 x?0 ?x?e2tcos2tdysin2t?sint?cost29设?，求 （） 22t2 dxy?esintcost?s

15、int?cost? 30设y?y(x)由x?(1?s) 2 1 2和 ?s2dy ） y?(1?s)所确定，试求（? 2dx?s 1 22 ?x?ecos2tdy31设?，求（=1） 2 dxy?esint? ?x?etcost2dyet(2sint?cost)32设?，求 （） 222t dxy?esintcost?2tsint?x?e2tdy3 t?033若参数方程为?，求在时的值。 （） 2 dx2?y?t?3t?2 ?x?2sin3td2yet(cos3t?3sin3t)34设?，求 （） t32 36cos3tdx?y?e?ln2 ?x?e?td2y35设?，求（3?2t)e3t）

16、t2 dx?y?te?x?e2t1?4t3?5td2y ?e?e） 36设?，求（?t2 24dx?y?t?e ?x?t?sint?2d2y 37设曲线方程为?，求此曲线在点x?2处的切线方程，及 2 dx?y?t?cost 解 当x?2时，t?0，y?1， dy1?sintdy1 ?，?， dx1?costdxt?02 1d2yd?dy?1sint?cost?1 ? 切线方程：y?1?(x?2)； ? 2dx2dt?dx?dx(1?cost)3 dt 38设y?(1?x)(2?3x)2(4?5x)3，求y(5)(0) （=63900） 四、应用题 1 设生产某商品的固定成本为20000元，每

17、生产一个单位产品，成本增加100元，总收益 12 x（假设产销平衡），试求边际成本、边际收益及边际利润。 2 （c?(x)?100，r?(x)?400?x，l?(x)?300?x） 4 2 一人以2m/秒的速度通过一座高20m的桥，此人的正下方有一小船以m/秒的速度与桥 3 函数为r(x)?400x? 垂直的方向前进，求第5秒末人与船相离的速率。 解 设在时刻t人与船的距离为s，则 1?4? s?202?(2t)2?t?3600?52t2， 3?3? 2ds52tds26 （m/s） ?2dt33600?5tdtt?521 26 答：第5秒末人与船相离的速率为（m/s） 21 五、分析题 1

18、设曲线f(x)在0,1上可导，且y?f(sin2x)?f(cos2x)，求（y?f?(sin2x)?f?(cos2x)sin2x） 2 设曲线方程为x3?y3?(x?1)cos(?y)?9?0，试求此曲线在横坐标为x?1的点 处的切线方程和法线方程。（y?2?(x?1)，y?2?3(x?1)） 3 设f(x)?3|a?x|，求f?(x) dy dx 13 ?3a?xln3x?a （f?(x)?x?a，且f(x)在点x?a处不可导） ?3ln3x?a ?sinxx?0 4 讨论函数f(x)?在x?0处的可导性。 x?1x?0? （f(x)在x?0处不连续，不可导） ?k?ln(1?x)x?0 5

19、 设f(x)?，当k为何值时，点x?0处可导；此时求出f?(x)。 sinx x?0?e 1? x?0? （当k?1时，f(x)在点x?0处可导；此时f?(x)?1?x） sinx?ecosxx?0 f(x) 6 若y?f(x)是奇函数且在点x?0处可导，则点x?0是函数f(x)?什么类型的 x 间断点？说明理由。 解 由f(x)是奇函数，且在点x?0处可导，知f(x)在点x?0处连续，f(0)?f(0)， 则f(0)?0，于是limf(x)?lim x?0 x?0 f(x)?f(0) ?f?(0)存在， x?0 故点x?0是函数f(x)第一类间断点（可去）。 ?2ex?ax?07 试确定常数

20、a,b的值，使得函数f(x)?2处处可导。 ?x?bx?1x?0f(x)?limf(x)?f(0)，即 解 为使f(x)在点x?0处连续，必须lim? x?0 x?0 x?0? limf(x)?2?a，limf(x)?f(0)?1，所以a?1， ? x?0 ?(0)?f?(0)，即 为使f(x)在点x?0处可导，必须f? f(x)?f(0)2(ex?1) f?(0)?lim?lim?2， ? x?0?x?0x?0x f(x)?f(0)x2?bx f?(0)?lim?lim?b，所以b?2 x?0?x?0?x?0x 2 ?x?t3dy?2?0 8 验证?（?1?t?1），满足方程y2 dx?y?

21、t【篇三：微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第三章习题详解】/p 1 设s= 1dsgt，求2dt t?2 1 2 1 g解： dst? g?4dt?lims(t)?s(2) 2t?2 ?limt?2t?t?2t?2 ?lim 1 t?2 2 g(t?2)?2g 2 设f(x)= 1 x ，求f?(x0) (x00) 解：f?(x)?(1x)?(x?1 )?1x 2 f?(x0)? 1 x2(x0?0) 0 3（1）求曲线y?x2上点（2，4）处的切线方程和法线方程； （2）求过点（3，8）且与曲线y?x2相切的直线方程； （3）求y?ex上点（2，e2 ）处的切线方程和法线方程； （4）求

22、过点（2，0）且与y?ex相切的直线方程。 解：略。 4 下列各题中均假定f(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出a表示什么： (1) f(x0?x)?f(x0) ?lim x?0 ?x =a; (2) f(x0)=0, xlim f(x) ?x0 x?x a； 0(3) lim f(x0?h)?f(x0?h) h?0h =a 解：(1)?f(x0?x)?f(x0)fx0?(?lim x?0?x?lim?x)?f(x0) ?x?0?x ?f?(x0) ?a?f?(x0) (2)?lim f(x) x?limf(x)?f(x0)x?x0 0?xx?x?f?(x0x?x0) 1 ?a?f?(

23、x0) f(x0?h)?f(x0?h) h?0h f(x0?h)?f(x0)?f(x0?h)?f(x0) ?lim h?0h f(x0?h)?f(x0)fx0?(?h)?f(x0) ?lim?lim h?0?h?0h?h (3)?lim ?f?(x0)?f?(x0)?2f?(x0) ?a?2f?(x0) 5 求下列函数的导数： (1) y(2) y ；(3) y1 2 解：(1)?y?x12 1?1 ?y?(x)?x2?2 (2)?y?x ?2 3 23 5 ?1?2?22 ?y?(x)?x3?x3? 33?2 3 ?52 16 (3)?y?x?x?x 16 2 ?x1?5?y?(x)?x6?

24、 66 讨论函数yx=0点处的连续性和可导性解：?0?f(0) x?f(x)?f(0)0 lim?lim? x?0x?0x?0x?0x ?函数y在x?0点处连续但不可导。 7 试由倒数定义，证明：若f(x)为可导的奇（偶）函数，则f(x)是偶（奇）函数。 证：?f(x)为偶函数?f(?x)?f(x) 2f(x)?f(0)f(?x)?f(0) ?f?(0)?limx?0x?0?limx?0x?0 ?lim f(?x)?f(0) x?0?x?0 ?f?(0)，即2f?(0)?0故f?(0)?0 8 求下列函数在x0处的左、右导数，从而证明函数在x0处不可导： (1) y? ?sinx,x?0,?x

25、3 ,x?0,x0?0； (2) y=x?1, ?x?x2,x?1, 0?1 解：(1)?ff(x)?f(0)3 ?(0)?limx?0?x?0?limx?0x?0?x ?lim2 x?0? x?0 f?(0)?limf(x)?f(0)sinx?x?0 ? x?0?lim0 x?0?x ?1?f?(0)?f?(0)?函数在x?0处不可导。 (2) ?ff(x)?f(1)2 ?(1)?limx?1?x?1?limx?1 x?1?x?1 ?lim(x?1? x?1)?2 f?(1)?limf(x)?f(1)x?1?lim11 x?1 ? x?1?x?1?x?1? 2 ?f?(1)?f?(1) ?函

26、数在x?1处不可导。 9 设函数 f(x)= ?x2,x?1,x?1. ?ax?b,为了使函数f(x)在x=1点处连续且可导，a，b应取什么值? 解：为使f(x)在x?1处连续，必须f(1?0)?f(1?0)?f(1)， f(1?0)?limx?1 ?f(x)?lim(x?1 ? ax?b)?a?b f(1?0)?limf(x)?limx2 x?1 ?x?1 ? ?1，f(1)?1 ?a?b?1?b?1?a (1) 为了使f(x)在x?1处可导，必须f?(1)?f?(1) ff(x)?f(1)?(1)?limx?1 ? x?1?limax?b?1x?1?x?1?limax?a x?1? x?1

27、 ?a 3 2 f(x)?f(1)x?1 ?lim?lim(x?1)?2 f?(1)?lim x?1?x?1?x?1x?1?x?1 ?a?2，代入（1）式得b?1 ?当a?2，b?1时f(x)在x?1处连续且可导。 10 证明： 双曲线xya上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2 2a 证：设p(x0,y0)是双曲线xy?a2上任一点，则x0y0?a2，该双曲线在p(x0,y0) 处切线的斜率 k?y? ? x?x0 xyya2 ?2?020?0该双曲线在p(x0,y0) x0x0x0 y0 (x?x0) x0 处切线的方程为：y?y0? 令x?0得该切线在y轴上的截距为2y0， 令y?0得该切线在x轴上的截距为2x0，于是，它与两坐标轴构成的三角形 的面积s? 1 2y02x0?2x0y0?2a2?2a2。 2 1 gt(m)，求： 2 11 垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t的关系式为h(t)10t (1) 物体从t=1(s)到t=12(s)的平均速度； (2) 速度函数v(t)； (3) 物体何时到达最高点 11 (10?1.2?9.8?1.22)?(10?1?9.8?12) h(1.2)?h(1)解：(1)v? ?1.2?10.2 ?0.78(m/s) (2)v(t)?h?(t)?10?gt (3)当v(t)?0时，物体到达最高点。 由v(t)?0