微积分第三版课后习题答案.docx
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微积分第三版课后习题答案
微积分第三版课后习题答案
【篇一：
微积分下册练习题（含答案）】
>n?
1
?
n
的部分和数列?
sn?
的极限存在是级数
?
u
n?
1
?
n
收敛的充要条件。
2、判断级数
?
n?
1
?
nsin3
2n
n
的敛散性。
nsin3
解：
nn?
1
?
n，而limn?
1?
1，故收敛。
n?
?
n22n2n
n2
3、级数
n?
1
?
?
?
xn
的收敛半径为r?
2。
2n
4、幂级数
?
n?
1
?
1?
x?
3
n
的收敛区间为?
1。
?
5、将函数f?
x?
?
ln?
1?
x?
展开成x的幂级数是
?
x?
121314x?
x?
x?
234
x?
?
?
1,1?
。
6、微分方程
dy
?
y?
sin?
x2?
c?
。
dx
x
7、求微分方程y?
?
y?
e的通解。
解：
y?
e?
dx
?
exe?
?
dxdx?
c?
?
exx?
c
?
?
?
?
?
?
?
x4
?
c1x2?
c2x?
c3。
8、微分方程y?
?
?
?
sinx?
6x的通解是y?
?
cosx?
4
9、微分方程y?
?
?
y?
?
2y?
e的通解。
2
解：
特征方程为r?
r?
2?
0，解得r,r2?
2，另外特解是y?
1?
?
1
?
x
1x
e，2
从而通解为y?
c1e
?
x
1
?
c2e2x?
ex
2
x
10、微分方程y?
?
?
y?
e
?
?
x?
1?
的特解可设为y?
?
ex?
ax?
b?
。
n?
?
11.级数?
un收敛的必要条件是limun?
0.
n?
1
12.交换二次积分的次序?
0dy?
0f（x,y）dx=?
0dx?
xf（x,y）dy13.微分方程y?
?
?
4y?
?
4y?
2xe2x的特解可以设为y*?
x2（ax?
b）e2x.14.在极坐标系下的面积元素d?
?
rdrd?
.15.级数?
（?
1）
n?
1?
n?
1
1y11
1n
32
为（a）.
a.绝对收敛;b.条件收敛;c.发散;d.收敛性不确定.16.
幂级数?
（?
1）
n?
1?
n?
nn1
的收敛半径为（r?
）.
3xy
17.设z?
sin（x?
y）?
e,求dz.
（?
y?
）xe解：
zx?
cosx（?
y?
）yexyzy?
cosx
dz?
[cosx（?
y?
）ye
?
xy
xy
]d?
x[cos?
x（y?
x）yxe
dy
（?
1）n
（x?
1）n的收敛域.18.求幂级数?
nn?
1
解r?
1
当x?
2时收敛当x?
0时发散
收敛域为（0,2].
1
19.将f（x）?
展开为麦克劳林级数.2
2?
x?
x?
?
11?
11?
?
解：
?
?
2
2?
x?
x3?
1?
x?
x?
?
2?
1?
?
?
?
2?
?
?
?
2分
?
11?
31?
x6（1?
x）
2
n
3分
1?
n1?
?
x?
?
?
x?
?
（?
1）n?
?
3n?
06n?
0?
2?
5分
1?
?
1?
?
?
?
1?
（?
1）nn?
1?
xn3n?
0?
2?
6分
x?
1
7分
20.求微分方程y?
?
2xy?
4x在初始条件yx?
0?
3下的特解.
解y?
e
?
?
2xdx
?
c?
?
4xexdx
x2
2
?
5分
3分4分
?
e?
ce
?
x2
[c?
2?
ed（x2）]
?
x2
?
2
将yx?
0?
3代入上式得c?
1
所求特解为y?
e
?
x2
6分
?
2
7分
【篇二：
微积分3习题答案】
?
3?
x）?
f（x0）
?
?
3a
?
x?
0?
x
2．函数f?
x?
?
xx在点x?
0处的导数f?
0?
?
0
1．设f（x0）?
a，则lim
3．根据导数定义，函数f?
x?
?
xx?
在点x?
1处的导数f?
1?
?
不存在4．函数f?
x?
?
sinx在点x?
0处的导数f?
0?
?
不存在5．设函数f（x）?
（x?
1）（x?
2）（x?
3）?
（x?
n）（其中n为正整数），则f（0）?
1
↑?
kk?
12
7．设f?
x?
?
x2，则f?
f?
x?
?
?
2x
f（x0）?
f（x0?
2h）
?
3，则dy|x?
x0?
?
9dx8．设y?
f（x），且lim
h?
06h
9．y?
x2?
e?
x，则y（0）?
3
6．曲线y?
?
1?
x?
e在点x?
0处的切线方程为y?
2x?
1n!
x
n
d2y?
1
?
10．设x?
a（t?
sint），y?
a（1?
cost），则dx2a（1?
cost）2
11arcsinx?
）dx11．设0?
x?
1，则d（xarcsinx）?
（2x2?
x
?
x?
1?
t2
12．求曲线?
在t?
2处的切线方程y?
8?
3（x?
5）3
?
y?
t
1
13．设y?
2x?
1，则其反函数x?
x（y）的导数x?
（y）?
2
dy12
arctan414．设y?
x?
1）?
arctan2x，则导数在点x?
4处的值为?
dx417
1
15．设需求函数q?
a?
bp，则边际收益r?
q?
?
?
a?
2q?
b
5
16．某商品的需求量q与价格p的关系为q?
p，则需求量q对价格p的弹性是17．设某商品的需求函数为q?
1000?
2p，其中p为价格，q为需求量，则该商品的收
er1000?
2q
?
益弹性
1000?
qeq
18．某商品的需求函数为q?
1000?
2p，其中p为价格，q为需求量，则销售该商品的
a?
2bp
边际收益为r?
q?
?
500?
q
a?
bp
er
?
19．某商品的需求量q与价格p之间的关系为q?
a?
bp，则该商品的收益弹性ep
二、单项选择题
f（x0?
h）?
f（x0）
?
1，则f（x0）为④1．设f（x）是可导函数，且lim
h?
02h
①1②2③－1④－22．设f（x）在x?
1处可导，且f
（1）?
2，则lim
f（1?
x）?
f（1?
x）
?
③
x?
0x
①1②2③4④3
3．函数f?
x?
?
x在x?
0处满足下列哪个结论④
3
①极限不存在②极限存在，不连续③连续，不可导④可导
4．函数f?
x?
在区间?
a,b?
内连续是f?
x?
在?
a,b?
内可导的②①充分但非必要条件②必要但非充分条件③充分必要条件④既非充分又非必要条件
5．设f（x）为奇函数，则其导数f?
（x）的奇偶性为②①奇函数②偶函数③非奇非偶④奇偶性不定
6．设函数f（x）可导，记g（x）?
f（x）?
f（?
x），则导数g?
x?
为①①奇函数②偶函数③非奇非偶④奇偶性不定
1
①与?
x等价的无穷小②与?
x同阶的无穷小，但不等价③与?
x低阶的无穷小④与?
x高阶的无穷小
?
x
x?
0?
8．函数f（x）?
?
1?
e1，在x?
0处②x
?
x?
0?
0
①不连续②连续但不可导③可导，且f（0）?
0④可导，且f（0）?
19．设f（x）?
xlnx在x0处可导，且f?
（x0）?
2，则f（x0）?
②
7．设函数y?
f（x）有f（x0）?
①0②e③1④e10．设e①e
2x
2x
2
为f（x）的导函数，则f?
?
（x）?
②
②2e2x③4e2x④0
11．设f?
（0）?
2，则当x?
0时，f（x）?
f（0）是x的②①低阶无穷小量②同阶无穷小量③高阶无穷小量④等价无穷小量
三、求下列导数或微分
dy
1．设y?
x?
x?
x，求（
dx
2．设y?
?
1?
2x?
?
1?
?
2x?
x?
x?
2x?
x
1?
?
）?
?
xsin
dy11111，求（）sin?
cos
dxxx2xx2x
3．y?
ex?
sinx?
cosx?
，求
4．y?
x?
sinlnx?
coslnx?
，求dy（2coslnxdx）5．y?
?
x2，求dy（6．设y?
3?
x?
x
x
3
sin3x
yx?
0（=2）
xdxx?
x
2
）
sin3x?
?
）x?
112
7．设y?
x?
arctan?
ln?
x，求y（arctan）
xx
?
11?
x?
1?
x?
1
8．设y?
（x?
1），求dy（（x?
1?
x?
1）?
?
?
?
?
dx）
x?
1?
x?
1?
2x?
12x?
1?
9．设f（x）?
x（x?
1）（x?
2）?
（x?
100），求f?
（0）（=100！
）
，求y?
（y?
?
3xln3?
3x2?
xsin3x?
3cos3xlnx?
?
?
xsinxsinx?
xcosx?
x2cosx
10．设y?
，求dy（dx）2
1?
x（1?
x）dyxexexx2?
ex
11．y?
，求（）
x2dxx?
exx?
e
?
?
x?
13x21
12．设y?
arctan（（|x|?
1），求y?
（）x?
2）?
ln?
x?
11?
（x3?
2）2x2?
1
6x2?
?
6
13．设y?
x6（x2?
1）3（x?
2）2，求y?
（x6（x2?
1）3（x?
2）?
?
2?
?
）
xx?
2x?
1?
?
3
14．设y?
（x?
1）2x?
2
（x?
2）2
（x?
1）2x?
2?
212?
，求y?
（?
?
?
x?
14（x?
2）3（x?
2）?
）2?
?
（x?
2）
1
x
1?
lnx
）2
x2xsinx?
2sinx?
22sinx
16．设y?
（1?
x），求dy（（1?
x）cosxln（1?
x）?
dx）2?
?
1?
x?
?
2x?
y（x2?
y2）exy22xy
17．由ln（x?
y）?
e?
1确定y是x的函数y（x），求y?
（x）y?
?
?
22xy
2y?
x（x?
y）e
15．设y?
x（x?
0），求y?
（x?
1
x
yex?
ey
18．已知ye?
xe，求y（y）
xe?
ex
y?
y?
xlny?
xy
19．已知y?
x，求y（）
xx?
ylnx2
20．已知y?
cot（x?
y），求y（sec（x?
y））
1
21．已知y?
ln?
y?
x?
?
0，求y（）
y?
x?
1
x
y
22．由ex
2
?
y
2
?
sin（xy）?
5确定y是x的函数y（x），求y（x）y?
?
2xex2ye
2
?
y2
?
ycos（xy）?
xcos（xy）
x2?
y2
23．设函数y?
y（x）由方程ln（y?
x2）?
x3y?
sinx确定，求
dy
（=1）dxx?
0
dy1?
y2
24．设方程x?
y?
arctany?
0确定了y?
y（x），求（y?
?
）2
dxy
ay?
x2
25．求由方程x?
y?
3axy?
0（a?
0）确定的隐函数y?
y（x）的微分dy2dx
y?
ax
y
26．已知y（x）是由方程siny?
xe?
0所确家的隐函数，求y?
，以及该方程所表示的曲线
3
3
ey
在点（0,0）处切线的斜率。
（?
，?
1）
cosy?
xey
f?
27．设y?
y（x）由方程y?
f[x?
g（y）]所确定，其中f和g均可导，求y?
（）
1?
f?
?
g?
d2y
28．函数y?
y（x）由方程e?
e?
xy?
0确定，求
dx2
x
y
x
y
x?
0
[解]对方程两边关于x求导，得e?
ey?
?
y?
xy?
?
0，两边关于x再求导，得
ex?
eyy?
2?
eyy?
?
?
y?
?
y?
?
xy?
?
?
0
d2y
又当x?
0时，y?
0，于是y?
（0）?
1，故
dx2
?
?
2
x?
0
?
x?
e2tcos2tdysin2t?
sint?
cost29．设?
，求（）22t2
dxy?
esintcost?
sint?
cost?
30．设y?
y（x）由x?
（1?
s）
2
1
2和
?
s2dy
）y?
（1?
s）所确定，试求（?
2dx?
s
1
22
?
x?
ecos2tdy31．设?
，求（=－1）2
dxy?
esint?
?
x?
etcost2dyet（2sint?
cost）32．设?
，求（）222t
dxy?
esintcost?
2tsint?
?
x?
e2tdy3
t?
033．若参数方程为?
，求在时的值。
（）2
dx2?
y?
t?
3t?
2
?
x?
2sin3td2yet（cos3t?
3sin3t）34．设?
，求（）t32
36cos3tdx?
y?
e?
ln2
?
x?
e?
td2y35．设?
，求（（3?
2t）e3t）t2
dx?
y?
te?
x?
e2t1?
4t3?
5td2y
?
e?
e）36．设?
，求（?
t2
24dx?
y?
t?
e
?
x?
t?
sint?
2d2y
37．设曲线方程为?
，求此曲线在点x?
2处的切线方程，及2
dx?
y?
t?
cost
[解]当x?
2时，t?
0，y?
1，
dy1?
sintdy1
?
，?
，dx1?
costdxt?
02
1d2yd?
dy?
1sint?
cost?
1
?
?
?
切线方程：
y?
1?
（x?
2）；?
?
2dx2dt?
dx?
dx（1?
cost）3
dt
38．设y?
（1?
x）（2?
3x）2（4?
5x）3，求y（5）（0）（=63900）四、应用题
1．设生产某商品的固定成本为20000元，每生产一个单位产品，成本增加100元，总收益
12
x（假设产销平衡），试求边际成本、边际收益及边际利润。
2
（c?
（x）?
100，r?
（x）?
400?
x，l?
（x）?
300?
x）
4
2．一人以2m/秒的速度通过一座高20m的桥，此人的正下方有一小船以m/秒的速度与桥
3
函数为r（x）?
400x?
垂直的方向前进，求第5秒末人与船相离的速率。
[解]设在时刻t人与船的距离为s，则
1?
4?
s?
202?
（2t）2?
?
t?
?
3600?
52t2，
3?
3?
2
ds52tds26
（m/s）?
?
2dt33600?
5tdtt?
521
26
答：
第5秒末人与船相离的速率为（m/s）
21
五、分析题
1．设曲线f（x）在[0,1]上可导，且y?
f（sin2x）?
f（cos2x），求（y?
?
[f?
（sin2x）?
f?
（cos2x）]sin2x）
2．设曲线方程为x3?
y3?
（x?
1）cos（?
y）?
9?
0，试求此曲线在横坐标为x?
?
1的点
处的切线方程和法线方程。
（y?
2?
?
（x?
1），y?
2?
3（x?
1））3．设f（x）?
3|a?
x|，求f?
（x）
dydx
13
?
?
3a?
xln3x?
a
（f?
（x）?
?
x?
a，且f（x）在点x?
a处不可导）
?
3ln3x?
a
?
sinxx?
0
4．讨论函数f（x）?
?
在x?
0处的可导性。
x?
1x?
0?
（f（x）在x?
0处不连续，不可导）
?
k?
ln（1?
x）x?
0
5．设f（x）?
?
，当k为何值时，点x?
0处可导；此时求出f?
（x）。
sinx
x?
0?
e
1?
x?
0?
（当k?
1时，f（x）在点x?
0处可导；此时f?
（x）?
?
1?
x）
sinx?
?
ecosxx?
0
f（x）
6．若y?
f（x）是奇函数且在点x?
0处可导，则点x?
0是函数f（x）?
什么类型的
x
间断点？
说明理由。
[解]由f（x）是奇函数，且在点x?
0处可导，知f（x）在点x?
0处连续，f（0）?
?
f（0），
则f（0）?
0，于是limf（x）?
lim
x?
0
x?
0
f（x）?
f（0）
?
f?
（0）存在，
x?
0
故点x?
0是函数f（x）第一类间断点（可去）。
?
2ex?
ax?
07．试确定常数a,b的值，使得函数f（x）?
?
2处处可导。
?
x?
bx?
1x?
0f（x）?
limf（x）?
f（0），即[解]为使f（x）在点x?
0处连续，必须lim?
?
x?
0
x?
0
x?
0?
limf（x）?
2?
a，limf（x）?
f（0）?
1，所以a?
?
1，?
x?
0
?
（0）?
f?
?
（0），即为使f（x）在点x?
0处可导，必须f?
f（x）?
f（0）2（ex?
1）
f?
?
（0）?
lim?
lim?
2，?
x?
0?
x?
0x?
0x
f（x）?
f（0）x2?
bx
f?
?
（0）?
lim?
lim?
b，所以b?
2
x?
0?
x?
0?
x?
0x
2
?
x?
?
t3dy?
2?
08．验证?
（?
1?
t?
1），满足方程y2
dx?
y?
?
t
【篇三：
微积分（曹定华）（修订版）课后题答案第三章习题详解】
/p>1．设s=
1２dsgt，求2dt
t?
2
．
1
2
1
g解：
dst?
g?
4dt?
lims（t）?
s
（2）
2t?
2
?
limt?
2t?
t?
2t?
2
?
lim
1
t?
2
2
g（t?
2）?
2g2．设f（x）=
1
x
，求f?
（x0）（x0≠0）．解：
f?
（x）?
（1x）?
?
（x?
1
）?
?
?
1x
2
f?
（x0）?
?
1
x2（x0?
0）0
3．
（1）求曲线y?
x2上点（2，4）处的切线方程和法线方程；
（2）求过点（3，8）且与曲线y?
x2相切的直线方程；（3）求y?
ex上点（2，e2
）处的切线方程和法线方程；（4）求过点（2，0）且与y?
ex相切的直线方程。
解：
略。
4．下列各题中均假定f′（x0）存在，按照导数定义观察下列极限，指出a表示什么：
（1）f（x0?
?
x）?
f（x0）
?
lim
x?
0
?
x
=a;
（2）f（x0）=0,xlim
f（x）
?
x0
x?
x
＝a；0（3）lim
f（x0?
h）?
f（x0?
h）
h?
0h
=a．
解：
（1）?
f（x0?
?
x）?
f（x0）f[x0?
（?
?
lim
x?
0?
x?
?
?
lim?
x）]?
f（x0）
?
x?
0?
?
x
?
?
f?
（x0）?
a?
?
f?
（x0）
（2）?
lim
f（x）
x?
?
limf（x）?
f（x0）x?
x0
0?
xx?
x?
?
f?
（x0x?
x0）
1
?
a?
?
f?
（x0）
f（x0?
h）?
f（x0?
h）
h?
0h
[f（x0?
h）?
f（x0）]?
[f（x0?
h）?
f（x0）]
?
lim
h?
0h
f（x0?
h）?
f（x0）f[x0?
（?
h）]?
f（x0）
?
lim?
lim
h?
0?
h?
0h?
h
（3）?
lim
?
f?
（x0）?
f?
（x0）?
2f?
（x0）?
a?
2f?
（x0）5．求下列函数的导数：
（1）y
（2）y
；（3）y
1
2
．
解：
（1）?
y?
?
x
12
1?
1?
y?
?
（x）?
?
x2?
2
（2）?
y?
x
?
2
3
23
5
?
1?
2?
22?
y?
?
（x）?
?
?
x3?
?
x3?
33?
2
3
?
52
16
（3）?
y?
x?
x?
x
16
2
?
x
1?
5?
y?
?
（x）?
?
x6?
66．讨论函数y
x=0点处的连续性和可导性．
解：
?
?
0?
f（0）
x?
f（x）?
f（0）0lim?
lim?
?
?
x?
0x?
0x?
0x?
0x?
函数y在x?
0点处连续但不可导。
7．试由倒数定义，证明：
若f（x）为可导的奇（偶）函数，则f′（x）是偶（奇）函数。
证：
?
f（x）为偶函数?
f（?
x）?
f（x）
2
f（x）?
f（0）f（?
x）?
f（0）
?
f?
（0）?
limx?
0x?
0?
limx?
0x?
0
?
?
lim
f（?
x）?
f（0）
x?
0?
x?
0
?
?
f?
（0），即2f?
（0）?
0故f?
（0）?
0
8．求下列函数在x0处的左、右导数，从而证明函数在x0处不可导：
（1）y＝?
?
sinx,x?
0,?
x3
x?
0,x0?
0；
（2）y
=x?
1,
?
x?
x2,x?
1,
0?
1．解：
（1）?
ff（x）?
f（0）3
?
?
（0）?
limx?
0?
x?
0?
limx?
0x?
0?
x
?
lim2
x?
0?
x?
0f?
?
（0）?
limf（x）?
f（0）sinx?
x?
0
?
x?
0?
lim0
x?
0?
x
?
1?
f?
?
（0）?
f?
?
（0）?
函数在x?
0处不可导。
（2）?
ff（x）?
f
（1）2
?
?
（1）?
limx?
1?
x?
1?
limx?
1
x?
1?
x?
1
?
lim（x?
1?
x?
1）?
2
f?
?
（1）?
limf（x）?
f
（1）x?
1?
lim11
x?
1
?
x?
1?
x?
1?
x?
1?
?
2?
f?
?
（1）?
f?
?
（1）
?
函数在x?
1处不可导。
9．设函数
f（x）=?
?
x2,x?
1,x?
1.
?
ax?
b,为了使函数f（x）在x=1点处连续且可导，a，b应取什么值?
解：
为使f（x）在x?
1处连续，必须f（1?
0）?
f（1?
0）?
f
（1），f（1?
0）?
limx?
1
?
f（x）?
lim（x?
1
?
ax?
b）?
a?
bf（1?
0）?
limf（x）?
limx2
x?
1
?
x?
1
?
?
1，f
（1）?
1?
a?
b?
1?
b?
1?
a
（1）为了使f（x）在x?
1处可导，必须f?
?
（1）?
f?
?
（1）ff（x）?
f
（1）?
?
（1）?
limx?
1
?
x?
1?
limax?
b?
1x?
1?
x?
1?
limax?
a
x?
1?
x?
1
?
a3
2
f（x）?
f
（1）x?
1
?
lim?
lim（x?
1）?
2f?
?
（1）?
lim
x?
1?
x?
1?
x?
1x?
1?
x?
1
?
a?
2，代入
（1）式得b?
?
1
?
当a?
2，b?
?
1时f（x）在x?
1处连续且可导。
10．证明：
双曲线xy＝a上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于
2
2a．
证：
设p（x0,y0）是双曲线xy?
a2上任一点，则x0y0?
a2，该双曲线在p（x0,y0）
处切线的斜率k?
y?
?
２
x?
x0
xyya2
?
?
2?
?
020?
?
0该双曲线在p（x0,y0）
x0x0x0
y0
（x?
x0）x0
处切线的方程为：
y?
y0?
?
令x?
0得该切线在y轴上的截距为2y0，
令y?
0得该切线在x轴上的截距为2x0，于是，它与两坐标轴构成的三角形
的面积s?
1
2y02x0?
2x0y0?
2a2?
2a2。
2
1２
gt（m），求：
2
11．垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t的关系式为h（t）＝10t－
（1）物体从t=1（s）到t=1．2（s）的平均速度；
（2）速度函数v（t）；
（3）物体何时到达最高点．
11
（10?
1.2?
?
9.8?
1.22）?
（10?
1?
?
9.8?
12）
h（1.2）?
h
（1）解：
（1）v?
?
1.2?
10.2
?
?
0.78（m/s）
（2）v（t）?
h?
（t）?
10?
gt
（3）当v（t）?
0时，物体到达最高点。
由v（t）?
0
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