84多元复合函数的微分法及偏导数的几何应用.docx

1、84多元复合函数的微分法及偏导数的几何应用8.4多元复合函数的微分法在一元函数微分学中, 复合函数的链式求导法则是最重要的求导法则之一, 它解决了很 多比较复杂的函数的求导问题.对于多元函数,也有类似的求导法则 .8.4.1多元复合函数的求导法则1. 二元复合函数求导法则与一元复合函数求导相比,二元复合函数的求导问题要复杂的多 . 对于二元函数, (v u f z =,中间变量 u 和 v 都可以是 x 和 y 的二元函数; 也可以只是某一个变量 t 的函数, 还可能中间变量 u 和 v 分别是不同个数自变量的函数,譬如 u 是 y x , 的函数,而 v 只是 x 的 函数; 等等。 下面讨

2、论二元复合函数的求导法则, 对二元以上的多元函数的求导法则可类似 推出.定 理 8.4.1设 函 数 , (v u f z =是 v u , 的 函 数 , , (, , (y x v y x u =. 若 , (, , (y x y x 在点 , (y x 处偏导数都存在, , (v u f z =在对应点 , (v u 处可微, 则复合函 数 , (, , (y x y x f z =在点 , (y x 处关于 y x , 的两个偏导数都存在,且 yv v z y u u z y z x v v z x u u z x z +=+=, (8-1 我们借 助于复合函数的函数结 构图对复合函数

3、求偏导 数的过程进行分析 . 函数 , (, , (y x y x f z =的结构图,如图 8-4所示 . 从函数结构图可以看出, z 和 x 的函数关系可以由两条路径得到 . 一条是经中间变量 u 到达自变量 x ,还有一条是经中间变量 v 到达自变量 x 的 . 从公式 (1的第一式可以看出, z 和 x 的函数关系有两条路径, 对应公式中就有两项, 其中每一项由两个因子的乘积表示, 两 个因子的乘积都是函数关于中间变量的偏导数和中间变量关于自变量的偏导数的乘积构成 .例 8.4.1设 sin(y x e z xy +=,求 x z 和 yz . 解:令 y x v xy u +=, ,

4、则 v e z u sin = 函数结构图,如图 8-5所示 . x z =u z u +v z v =sin cos u u e v y e v + =sin( cos( xy xye x y y e x y +,y z =u z y u +v z y v =sin cos u u e v x e v +=sin( cos( xy xy e x y x e x y +.例 8.4.2设 2(2y x y x z -+=,求 z 和 y z . 解:令 22, y x v y x u -=+=,则 v u z =,函数结构图,如图 8-5所示 .x z =u z x u +v z xv =1l

5、n v v vu u u -+ =2222122( ( ln( x y x y x y x y x y x y -+-, y z =u z y u +z yv =12ln (2 v v vu y u u y -+- =22221222( 2( ln( x y x y y x y x y y x y x y -+-+-. 2. 二元复合函数求导法则的推广和变形多元复合函数的中间变量可能是一个, 也可能多于一个, 同样, 自变量的个数可能只有 一个,也可能是两个或者更多 . 我们可以对定理 1进行推广和变形,分以下几种情形讨论:(1 当 函 数 z 有 两 个 中 间 变 量 , 而 自 变 量

6、只 有 一 个 , 即(, (, , (t v v t u u v u f z =.函数结构图,如图 8-6所示 . 因此 (8-1变形成为 dtdv v z dt du u z dt dz +=. 因为复合结果和中间变量都是 t 的一元函数,应该使用一元函数的导数记号;为了与一 元函数的导数相区别,我们称复合后一元函数的导数 dtdz 为 全导数 . 当函数 z 有三个中间变量,而自变量只有一个,即(, (, (, , , (t w w t v v t u u w v u f z =.函数结构图,如图 8-7所 示 .因此公式 (8-1可以推广成为 dtdw w z dt dv v z dt

7、 du u z dt dz +=. (2当函数 z 有一个中间变量,而自变量有两个 . 例如, (, , (y x u x u f z =. 函数结构图,如图 8-8所示 . 此时 (8-1变形成为 . yu u f y z x f x u u f x z =+=, 在上面第一个式中, xz 表示在复合函数 , , (x y x f z =中,把 y看作常量,求得的z 对 x 的偏导数;x f 表示在复合函数 , x u f z =中,把 u 看作常量,求得的 z 对 x 的偏导 数,因此 x z 和 xf 表示的含义不同,在求偏导数是一定要注意,记号上不能混淆 . 例如 , (, (y x

8、u u f z =,函数结构图,如图 8-9所示 . 此时 (8-1变形成为 . yu du dz y z x u du dz x z =,(3当 函 数 z 有 两 个 中 间 变 量 , 而 自 变 量 有 三 个 , 即, , (, , , (, , (w v u y y w v u x x y x f z =. 函数结构图, 如图 8-10所示。 . 公式 (8-1推广成为 . wy y z w x x z w z vy y z v x x z v z uy y z u x x z u z +=+=+=, ,(4 当函数 z 有三个中间变量,而自变量有两个,例如, (, , (, ,

9、(, , , (y x w w y x v v y x u u w v u f z = 函数结构图,如图 8-11所示。公式 (8-1推广成为 . yw w z y v v z y u u z y z w z v z u z z +=+=, 例 8.4.3设 22, sin , t y t x e z y x =+, 求 dtdz . 解 :dzz dx z dy dt x dt y dt=+=2222cos 22cos 4x y x y x y x y e t e t e t te +=+. 例 8.4.4y x y x y z -+= (, 求 yz . 解 : 设中间变量 v yu v

10、u y f z y x v y x u =-=+= , , (, , 则 。函数结构图,如图 8-12所示。 =y z y f +11ln (1 v v v f u f v u y v y u yvu yu u -+=+-= ln( ( ( (1y x y x y y x y x y y x y x y x y x +-+-+-.例 8.4.5若函数 (22y x z +=,证明 yz x x z y=. 证明:令 22y x u +=,则 (u z =, (22 (u x x u xu du dz x z =, (22 (u y y u yu du dz y z =, 从而有 yz x u

11、xy x z y = (2. 复合函数求偏导数时要注意:函数关系要明确, 复合层次要清晰, 最好画出函数结构图; 在求偏导数的过程中, 要注意求导数 dt dz 与偏导数 t z 的区别, 要注意记号 x z 与 xf 的区别 . 一般情况下,如果复合函数的层次只有两层,那么中间变量有几个,则其偏导数(全导 数 在形式上必由几项的和构成, 其中每一项由两个因子的乘积表示, 两个因子的乘积都是 函数关于中间变量的偏导数(导数和中间变量关于自变量的偏导数(导数的乘积构成 .8.4.2二元隐函数的求导公式在一元函数微分学中,求由方程 0 , (=y x F 确定的隐函数 (x f y =的导数,是通

12、过 方程 0 , (=y x F 两边同时对 x 求导,并注意到 y 是 x 的函数, y 的函数是 x 的复合函数 . 现在利用多元函数求偏导数的方法求隐函数的导数, 并将此结果推广到多元隐函数的求偏导 数的情况 .1. 由方程 0 , (=y x F 确定 y 是 x 的函数 (x f y =将 (x f y =代入方程 0 , (=y x F ,得到 0 (, (=x f x F ,函数结构 图,如图 8-13所示,等式两边对 x 求全导数得 0=+dxdy y F x F , 便得到 F( , y x =0所确定隐函数 (x f y =的求导公式:yx F F dx dy -=. 这就

13、是利用多元函数求偏导数的方法求隐函数 0 , (=y x F 的导数公式 .例 8.4.6求由方程 022=+-x e x y y 确定的隐函数 (x f y =的导数dx dy . 解 :设 0 , (22=+-=x e x y y x F y,则 21y x F xe =-+, y y e x y F 22-=, 由隐函数求导公式 yy y y y x e x y xe e x y xe F F dx dy 22212212-=-+-=-=.2. 方程 0 , , (=z y x F 确定的隐函数 , (y x f z =即 0 , (, , (=y x f y x F , 函数结构图 ,

14、 如图 8-14所示,方程 0 , , (=z y x F 两端分别关于 y x , 求偏导数,把原方程中的 z 看做中间 变量根据复合函数求导法则,可得x z z F x F +=0, z F F +=0, 在 zF 0的区域内,得到隐函数 z =f (x , y 的两个偏导数为 x zz F x F =-和 y z F z y F =-, 这就是二元隐函数求偏导数的公式.例 8.4.7由方程 0xz yz e e xyz +=确定 z 为 x 和 y 的函数,求 x z , yz . 解 :设 0 , , (=+=xyz e e x y x F yz xz . 则xz F x e z yz

15、 =+, yz Fy e xz =+, xz yz Fz e x e y xy =+, 所以 z zx F F =-=xz e z yz e x e y xy+, y z z y F F =-=yz xz yz e z xz e x e y xy +.习题 8-41. ln(2x u z +=, xy e u =,求 x z , yz . 2. (1设 v u e v u z -=2, y x v y x u cos , sin =,求x z , y z . (2设 ln(sin 22x u ux z +=, y x u +=,求y z x z , . 3. (1设 v u z ln 2=,而

16、 y x u =, y x v 43-=,求 y z x z , . (2设 222(2y x y x z -=,求 y z x z , . (3设 ln(y x e e z +=,求 y z , xy z 2.4. 证明可微函数 (22y x z +=满足 x z y 0=-y z x .5. 设 z = sin(xy , x = t - 1, y = ln t ,求 2 2 dz dt 3 6.(1设 z = arcsin(x - y ，而 x = 3t , y = 4t ，求 (2设 z = ln( xy + x y ， x = sin t , y = cost ，求 2 dz . dt

17、 dz . dt 7. 设 z = arctan(xy ，而 y = e ，求 x dz . dx 8. (1设 z - 3xyz + e 3 xyz = 0 ，求 2 z z , . x y 2 2 (2函数 z = z ( x, y 由方程 cos x + cos y + cos z = 1 确定，求 dz . *8.5 偏导数的几何应用 8.5.1 空间曲线的切线和法平面 定义.设 M 0 是空间曲线 G 上的一点， M 是 G 上与 M 0 邻近的点 当点 M 沿 G 趋于点 M 0 时， 若割线 M 0 M 存在极 限位置 M 0T ，则称 M 0T 为曲线 G 在点 M 0 处的切

18、线，如图 8-15 所示，过点 M 0 与 M 0T 垂直的平面 p ，称为曲线 G 在 点 M 0 处的法平面 设空间曲线 G 的参数方程为 M 0 G T M x = j (t y = y (t z = w (t t为参数 点 M 0 ( x0 , y 0 , z 0 对 应 的 参 数 t = t 0 ， 即 x = j (t 0 , y = y (t 0 , z = w (t 0 ， 点 M ( x0 + Dx, y0 + Dy, z 0 + Dz 对 应 的 参 数 t = t 0 + Dt ， 割线M 0 M 的 方 向 向 量 为 M 0 M = (Dx, Dy, Dz ,则割线

19、 M 0 M 的方程为 x - x 0 y - y0 z - z 0 = = Dx Dy Dz 各式分母同除以 Dt，得 x - x0 y - y 0 z - z 0 = = Dx Dy Dz Dt Dt Dt 现设 j (t ,y (t , w (t 在 t 0 处可导，且导数 j (t ,y (t , w (t 不同时为 0，则当 Dt 0 时， 割线M 0 M 存在极限方程为 x - x 0 y - y0 z - z 0 = = j (t 0 y (t 0 w (t 0 曲线 G 在点 M0 处切线的方向向量 (j (t ,y (t , w (t 称为 G 在点 M 0 处的切向量 G

20、在点 M 0 处的法平面以 (j (t ,y (t , w (t 为法向量，根据平面方程的点法式，可得 法平面方程为 j (t ( x - x0 + y (t ( y - y0 + w (t ( z - z 0 = 0 例 8.5.1 求曲线 x = t , y = 2t , z = 3t 在点 (1,2,3 处的切线及法平面方程 2 3 解: 点 (1,2,3 所对应于的参数 t = 1 , x(1 = 1, y (1 = 4, z (1 = 9 , 所求的切线方程 x -1 y - 2 z - 3 ， = = 1 4 9 法平面方程 ( x - 1 + 4( y - 2 + 9( z -

21、3 = 0 , 即 x + 4 y + 9 z - 36 = 0 . 8.5.2 曲面的切平面和法线 通过曲面 S 上一点 M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ，在曲面上可以作无数多条曲线，若每一条曲线在 点 M 0 ( x0 , y 0 , z 0 处都有一条切线， 可以证明这些切线落在 同一个平面上，称该平面为曲面 S 上一点 M 0 处的切平面。 过 M 0 ( x0 , y 0 , z 0 与切平面垂直的直线称为曲面 S 在点 M 0 处的法线，如图 8-16 所示. 设曲面 S 的方程为 F ( x, y, z = 0 ， M 0 ( x0 , y0 , z0 是曲面 S 上的

22、一点。可以证明向量 v n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 , Fy ( x0 , y0 , z0 , Fz ( x0 , y0 , z0 可以作为曲面 S 在点 M 0 处的法线的方向向量， 从而也可以 作为曲面 S 在点 M 0 处切平面的法向量. 因此，曲面 S 在点 M 0 处切平面方程为 Fx ( x0 , y 0 , z 0 ( x - x0 + Fy ( x0 , y 0 , z 0 ( y - y 0 + Fz ( x0 , y 0 , z 0 ( z - z 0 = 0 . 在点 M0 处的法线方程为 x - x0 y - y0 z - z0 . = = Fx (

23、 x0 , y0 , z0 Fy ( x0 , y0 , z0 Fz ( x0 , y0 , z0 例 8.5.2 求球面 x + y + z = 9 上一点 (1,2,2 处的切平面方程和法线 2 2 2 解:令 F ( x, y, z = x + y + z - 9 ，则 2 2 2 Fx = 2 x, Fy = 2 y, Fz = 2 z , 于是球面在 (1,2,2 处的切平面的法向量为 (2 x,2 y,2 z | (1, 2, 2 = (2,4,4 ， 所以切平面方程为 2( x - 1 + 4( y - 2 + 4( z - 2 = 0 , 即 x + 2 y + 2z - 9

24、= 0 , 法线方程为 x -1 y - 2 z - 2 , = = 2 4 4 即 x -1 y - 2 z - 2 . = = 1 2 2 习题 8-5 1. (1求曲线 x = t - sin t , y = 1 - cost , z = 4 sin 面方程. t p 在点 ( - 1,1,2 2 处的切线与法平 2 2 x = t - cos t p (2求曲线 y = t + sin t 在 t = 处的切线和法平面方程. 2 z = t sin t 2. 求出曲线 x = t , y = t , z = t 上的点，使在该点的切线平行于平面 x + 2 y + z = 4 . 2 3 3. (1求椭球面 x + 2 y + z = 1 上平行于平面 x - y + 2 z = 0 的切平面方程. 2 2 2 (2求曲面 z = x2 x -1 y z - 2 - y 2 的切平面方程，使它垂直于已知直线 = = . -1 2 2 2