84多元复合函数的微分法及偏导数的几何应用.docx

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84多元复合函数的微分法及偏导数的几何应用

8.4多元复合函数的微分法

在一元函数微分学中,复合函数的链式求导法则是最重要的求导法则之一,它解决了很多比较复杂的函数的求导问题.对于多元函数,也有类似的求导法则.

8.4.1多元复合函数的求导法则

1.二元复合函数求导法则

与一元复合函数求导相比,二元复合函数的求导问题要复杂的多.对于二元函数

（vufz=,

中间变量u和v都可以是x和y的二元函数;也可以只是某一个变量t的函数,还可能中间变量u和v分别是不同个数自变量的函数,譬如u是yx,的函数,而v只是x的函数;等等。

下面讨论二元复合函数的求导法则,对二元以上的多元函数的求导法则可类似推出.

定理8.4.1设函数,（vufz=是vu,的函数,,（,,（yxvyxuψϕ==.若,（,,（yxyxψϕ在点,（yx处偏导数都存在,,（vufz=在对应点,（vu处可微,则复合函数],（,,（[yxyxfzψϕ=在点,（yx处关于yx,的两个偏导数都存在,且y

vvzyuuzyzxvvzxuuzxz∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,（8-1我们借助于复合函数的函数结构图对复合函数求偏导数的过程进行分析.函数],（,,（[yxyxfzψϕ=的结构图,如图8-4所示.

从函数结构图可以看出,z和x的函数关系可以由两条路径得到.一条是经中间变量u到达自变量x,还有一条是经中间变量v到达自变量x的.从公式（1的第一式可以看出,z和x的函数关系有两条路径,对应公式中就有两项,其中每一项由两个因子的乘积表示,两个因子的乘积都是函数关于中间变量的偏导数和中间变量关于自变量的偏导数的乘积构成.

例8.4.1设sin（yxezxy+=,求xz∂∂和y

z∂∂.解:

令yxvxyu+==,,则vezusin=函数结构图,如图8-5所示.

xz∂∂=uz∂∂u∂∂⋅+vz∂∂v∂∂⋅=sincosuuevyev⋅+=sin（cos（xyxy

exyyexy+++,

yz∂∂=uz∂∂yu∂∂⋅+vz∂∂yv∂∂⋅=sincosuuevxev⋅+

=sin（cos（xyxyexyxexy+++.

例8.4.2设2

（2yxyxz-+=,求z∂∂和yz∂∂.解:

令22,yxvyxu-=+=,则vuz=,函数结构图,如图8-5所示.

xz∂∂=uz∂∂xu∂∂⋅+vz∂∂x

v∂∂⋅=1lnvvvuuu-+=2222122

（（（ln（xyxyxyxyxyxy----+++-,yz∂∂=uz∂∂yu∂∂⋅+z∂∂y

v∂∂⋅=12ln（2vvvuyuuy-+-=2222122

2（（2（ln（xyxyyxyxyyxyxy----+-+-.2.二元复合函数求导法则的推广和变形

多元复合函数的中间变量可能是一个,也可能多于一个,同样,自变量的个数可能只有一个,也可能是两个或者更多.我们可以对定理1进行推广和变形,分以下几种情形讨论:

（1当函数z有两个中间变量,而自变量只有一个,即

（,（,,（tvvtuuvufz===.函数结构图,如图8-6所示.

因此（8-1变形成为dt

dvvzdtduuzdtdz⋅∂∂+⋅∂∂=.因为复合结果和中间变量都是t的一元函数,应该使用一元函数的导数记号;为了与一元函数的导数相区别,我们称复合后一元函数的导数dt

dz为全导数.当函数z有三个中间变量,而自变量只有一个,即

（,（,（,,,（twwtvvtuuwvufz====.函数结构图,如图8-7所

示.

因此公式（8-1可以推广成为dt

dwwzdtdvvzdtduuzdtdz⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=.（2当函数z有一个中间变量,而自变量有两个.例如

（,,（yxuxufzϕ==.函数结构图,如图8-8所示.

此时（8-1变形成为.y

uufyzxfxuufxz∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,在上面第一个式中,x

z∂∂表示在复合函数],,（[xyxfzϕ=中,把y

看作常量,求得的

z对x的偏导数;

xf∂∂表示在复合函数],[xufz=中,把u看作常量,求得的z对x的偏导数,因此xz∂∂和x

f∂∂表示的含义不同,在求偏导数是一定要注意,记号上不能混淆.例如,（,（yxuufzϕ==,函数结构图,如图8-9所示.

此时（8-1变形成为.y

ududzyzxududzxz∂∂⋅=∂∂∂∂⋅=∂∂,

（3当函数z有两个中间变量,而自变量有三个,即

,（,,,（,,（wvuyywvuxxyxfz===.

函数结构图,如图8-10所示。

.公式（8-1推广成为.w

yyzwxxzwzv

yyzvxxzvzu

yyzuxxzuz∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,,

（4当函数z有三个中间变量,而自变量有两个,例如

（,,（,,（,,,（yxwwyxvvyxuuwvufz====

函数结构图,如图8-11所示。

公式（8-1推广成为.y

wwzyvvzyuuzyzwzvzuzz∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,例8.4.3设22,sin,tytxezyx===+,求dt

dz.解:

dz

zdxzdydtxdtydt

∂∂=⋅+⋅∂∂=2222cos22cos4xyxyxyxyetetette+++++⋅⋅=+.例8.4.4yxyxyz-+=（,求y

z∂∂.解:

设中间变量vyuvuyfzyxvyxu==-=+=,,（,,则。

函数结构图,如图8-12所示。

=∂∂yzyf∂∂+11ln（1vvvfufvuyvyuyvuyuu-∂∂∂∂⋅+⋅=∂∂∂∂+⋅+⋅-

=ln（（（（（1yxyxyyxyxyyxyxyxyx++-+-++----.

例8.4.5若函数（22yxz+=ϕ,证明y

zxxzy

∂∂=∂∂.证明:

令22yxu+=,则（uzϕ=,（22（uxxux

ududzxzϕϕ'=⋅'=∂∂=∂∂,（22（uyyuy

ududzyzϕϕ'=⋅'=∂∂=∂∂,从而有y

zxuxyxzy∂∂='=∂∂（2ϕ.复合函数求偏导数时要注意:

函数关系要明确,复合层次要清晰,最好画出函数结构图;在求偏导数的过程中,要注意求导数dtdz与偏导数tz∂∂的区别,要注意记号xz∂∂与x

f∂∂的区别.一般情况下,如果复合函数的层次只有两层,那么中间变量有几个,则其偏导数（全导数在形式上必由几项的和构成,其中每一项由两个因子的乘积表示,两个因子的乘积都是函数关于中间变量的偏导数（导数和中间变量关于自变量的偏导数（导数的乘积构成.

8.4.2二元隐函数的求导公式

在一元函数微分学中,求由方程0,（=yxF确定的隐函数（xfy=的导数,是通过方程0,（=yxF两边同时对x求导,并注意到y是x的函数,y的函数是x的复合函数.现在利用多元函数求偏导数的方法求隐函数的导数,并将此结果推广到多元隐函数的求偏导数的情况.

1.由方程0,（=yxF确定y是x的函数（xfy=

将（xfy=代入方程0,（=yxF,得到0（,（=xfxF,函数结构

图,如图8-13所示,等式两边对x求全导数得0=⋅∂∂+∂∂dx

dyyFxF,便得到F（,yx=0所确定隐函数（xfy=的求导公式:

y

xFFdxdy-=.这就是利用多元函数求偏导数的方法求隐函数0,（=yxF的导数公式.

例8.4.6求由方程022=+-xexyy确定的隐函数（xfy=的导数

dxdy.解:

设0,（22=+-=xexyyxFy

则21yxFxe=-+,yyexyF22-=,由隐函数求导公式y

yyyyxexyxeexyxeFFdxdy22212212--=-+--=-=

.

2.方程0,,（=zyxF确定的隐函数,（yxfz=

即0,（,,（=yxfyxF,函数结构图,如图8-14所示,方程

0,,（=zyxF两端分别关于yx,求偏导数,

把原方程中的z看做中间变量根据复合函数求导法则,可得

xzzFxF∂∂⋅∂∂+∂∂=0,zFF∂∂⋅∂∂+∂∂=0,在z

F∂∂≠0的区域内,得到隐函数z=f（x,y的两个偏导数为xz

zFxF∂=-∂和yzFzyF∂=-∂,这就是二元隐函数求偏导数的公式.

例8.4.7由方程0xzyzeexyz++=确定z为x和y的函数,求xz∂∂,y

z∂∂.解:

设0,,（=++=xyzeexyxFyzxz.则

xzFxezyz∂∂=+,yzF

yexz∂∂=+,xzyzF

zexeyxy∂∂=++,所以zz

xFF∂∂=-=xzezyzexeyxy

+++,yzzyFF∂∂=-=yzxzyzezxzexeyxy+++.

习题8-4

1.ln（2xuz+=,xyeu=,求xz∂∂,y

z∂∂.2.（1设vuevuz--=2,yxvyxucos,sin==,求

xz∂∂,yz∂∂.（2设ln（sin22xuuxz++=,yxu+=,求

yzxz∂∂∂∂,.3.（1设vuzln2=,而yxu=

yxv43-=,求yzxz∂∂∂∂,.（2设22

2（2yxyxz-=,求yzxz∂∂∂∂,.（3设ln（yxeez+=,求yz∂∂,x

yz∂∂∂2.

4.证明可微函数（22yxz+=ϕ满足xzy∂∂0=∂∂-yzx.

5.设z=sin（xy,x=t-1,y=lnt,求22dz．dt36.（1设z=arcsin（x-y，而x=3t,y=4t，求（2设z=ln（xy+xy，x=sint,y=cost，求2dz.dtdz.dt7.设z=arctan（xy，而y=e，求xdz.dx8.（1设z-3xyz+e3xyz=0，求2¶z¶z,.¶x¶y22（2函数z=z（x,y由方程cosx+cosy+cosz=1确定，求dz.*8.5偏导数的几何应用8.5.1空间曲线的切线和法平面定义.设M0是空间曲线G上的一点，M是G上与M0邻近的点．当点M沿G趋于点M0时，若割线M0M存在极限位置M0T，则称M0T为曲线G在点M0处的切线，如图8-15所示，过点M0与M0T垂直的平面p，称为曲线G在点M0处的法平面．设空间曲线G的参数方程为M0GTMìx=j（tïíy=y（tïz=w（tît为参数点M0（x0,y0,z0对应的参数t=t0，即x=j（t0,y=y（t0,z=w（t0，点M（x0+Dx,y0+Dy,z0+Dz对应的参数t=t0+Dt，割线M0M的方向向量为M0M=（Dx,Dy,Dz,则割线M0M的方程为x-x0y-y0z-z0．==DxDyDz各式分母同除以Dt，得x-x0y-y0z-z0．==DxDyDzDtDtDt现设j（t,y（t,w（t在t0处可导，且导数j¢（t,y¢（t,w¢（t不同时为0，则当Dt®0时，割线M0M存在极限方程为

x-x0y-y0z-z0==j¢（t0y¢（t0w¢（t0曲线G在点M0处切线的方向向量（j¢（t,y¢（t,w¢（t称为G在点M0处的切向量．G在点M0处的法平面以（j¢（t,y¢（t,w¢（t为法向量，根据平面方程的点法式，可得法平面方程为j¢（t（x-x0+y¢（t（y-y0+w¢（t（z-z0=0例8.5.1求曲线x=t,y=2t,z=3t在点（1,2,3处的切线及法平面方程．23解:

点（1,2,3所对应于的参数t=1,x¢（1=1,y¢（1=4,z¢（1=9,所求的切线方程x-1y-2z-3，==149法平面方程（x-1+4（y-2+9（z-3=0,即x+4y+9z-36=0.8.5.2曲面的切平面和法线通过曲面S上一点M0（x0,y0,z0，在曲面上可以作无数多条曲线，若每一条曲线在点M0（x0,y0,z0处都有一条切线，可以证明这些切线落在同一个平面上，称该平面为曲面S上一点M0处的切平面。

过M0（x0,y0,z0与切平面垂直的直线称为曲面S在点M0处的法线，如图8-16所示.设曲面S的方程为F（x,y,z=0，M0（x0,y0,z0是曲面S上的一点。

可以证明向量vn=（Fx（x0,y0,z0,Fy（x0,y0,z0,Fz（x0,y0,z0可以作为曲面S在点M0处的法线的方向向量，从而也可以作为曲面S在点M0处切平面的法向量.因此，曲面S在点M0处切平面方程为Fx（x0,y0,z0（x-x0+Fy（x0,y0,z0（y-y0+Fz（x0,y0,z0（z-z0=0.在点M0处的法线方程为x-x0y-y0z-z0.==Fx（x0,y0,z0Fy（x0,y0,z0Fz（x0,y0,z0例8.5.2求球面x+y+z=9上一点（1,2,2处的切平面方程和法线．222解:

令F（x,y,z=x+y+z-9，则222Fx=2x,Fy=2y,Fz=2z,于是球面在（1,2,2处的切平面的法向量为（2x,2y,2z|（1,2,2=（2,4,4，所以切平面方程为2（x-1+4（y-2+4（z-2=0,

即x+2y+2z-9=0,法线方程为x-1y-2z-2,==244即x-1y-2z-2.==122习题8-51.（1求曲线x=t-sint,y=1-cost,z=4sin面方程.tp在点（-1,1,22处的切线与法平22ìx=t-costpï（2求曲线íy=t+sint在t=处的切线和法平面方程.2ïz=tsintî2.求出曲线x=t,y=t,z=t上的点，使在该点的切线平行于平面x+2y+z=4.233.（1求椭球面x+2y+z=1上平行于平面x-y+2z=0的切平面方程.222（2求曲面z=x2x-1yz-2-y2的切平面方程，使它垂直于已知直线==.-1222