高中数学数列知识点总结.docx

1、高中数学数列知识点总结数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义： an 1 and （ d 为常数）， ana1n 1 d等差中项： x， A， y 成等差数列2 Axya1an nn n 1d前 n 项和 Snna122性质： an 是等差数列（ 1）若 m np q ，则 am anap aq；（ 2）数列 a2 n 1, a2n, a2n 1 仍为等差数列， Sn，S2nSn，S3nS2n 仍为等差数列，公差为 n 2d ；（ 3）若三个成等差数列，可设为a d， a， a d（ 4）若 an，bn 是等差数列，且前 n 项和分别为 Sn，Tn，则 amS2m 1bmT2m

2、 1（ 5） an 为等差数列Sn an2bn （ a， b 为常数，是关于 n 的常数项为 0 的二次函数）Sn 的最值可求二次函数 Sn an2 bn 的最值；或者求出 an 中的正、负分界项，即：当 a10，d 0an0，解不等式组可得 Sn 达到最大值时的 n 值.an 10当 a0，d0 ，由an0可得 Sn 达到最小值时的 n 值.1an 10(6)项数为偶数 2n 的等差数列 an ，有S2nn(a1a2 n ) n(a2 a2 n 1 )n(an an 1 )( an , an 1为中间两项 )S偶S奇nd ， S奇an .S偶an 1（7）项数为奇数2n1的等差数列an ，有

3、1S2n 1 (2n 1)an (an 为中间项 ) ，S奇 S偶 an ， S奇 n .S偶 n 12. 等比数列的定义与性质定义： an 1q （ q 为常数， q0 ）， an a1qn 1an.等比中项： x、 G、 y 成等比数列G2xy ，或 Gxy .na1 (q1)前 n 项和： Sna1 1qn（要注意！）1( q1)q性质： an是等比数列（ 1）若 m np q ，则 a a a amnpq（ 2） Sn，S2nSn，S3nS2n 仍为等比数列 ,公比为 q n .注意：由 Sn 求 an 时应注意什么？n 1 时， a1 S1 ；n 2 时， anSnSn 1 .3求数

4、列通项公式的常用方法（ 1）求差（商）法如：数列 an， 1 a1 12 a2 1n an2n5 ，求 an解 n 1 时， 1 a12222 1 5 ， a1142n 2 时，111an 12n 1 5a122 a22n 12得： 1n 114 (n1)an2 ， an2， an2n 1 ( n 2)2n练习数列an满足 SnSn 15 an1， a14 ，求 an3注意到 an 1Sn 1Sn ，代入得 Sn14又 S14 ， Sn 是等比数列， Sn 4nSn；2n 2 时， an Sn Sn 1 34n 1（ 2）叠乘法如：数列an 中， a1an 1n，求 an3，ann 1解a2a

5、3an12n 1an13a2 n，又 a13， ana1an 123a1nn .（ 3）等差型递推公式由 anan 1f ( n)，a1a0 ，求 an ，用迭加法a2a1f (2)n 2a3a2f (3)两边相加得an a1f (2) f (3) f (n)时， anan 1 f (n) ana0f (2)f (3) f (n)练习数列an中， a1n 1an 1nan13n11， an 32 ，求 an （2）（ 4）等比型递推公式an can 1d （ c、 d 为常数， c 0， c1， d0 ）可转化为等比数列，设 an xc an 1xancan 1c 1 x令 (c 1)xd ，

6、 xd， and是首项为 a1d， c 为公比的等比数列c 1c 1c1 anda1d cn 1 ， ana1dcn 1cdc1c1c11（ 5）倒数法如： a11， an 12an，求 anan2由已知得：1an211， 111an 12an2anan 1an21为等差数列，11 ，公差为1， 11 n 111n 1 ，ana12an2232 ann 1(附：公 式 法 、 利 用 anS1( n 1 )Sn Sn 1 ( n 2 )、 累加 法 、 累 乘 法 . 构 造 等 差 或 等比an 1 pan q 或 an 1pan f (n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换

7、元法)4. 求数列前 n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项 .n1如： an是公差为 d 的等差数列，求k 1 akak 1解：由11111d 0ak ak dd akak 1ak ak 1n1nk 1 ak ak 1k 11111111111d akak 1da1a2a2a3anan 1111da1an 1练习求和：1111212 3123 n1an ， Sn21n1（ 2）错位相减法若 an为等差数列， bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前 n 项和，可由Sn qSn ，求 Sn ，其中 q 为 bn的公比 .如： Sn1 2x3

8、x24x3 nxn 1xSnx 2x23x34x4 n 1 xn 1nxn1 x Sn1x x2 xn 1nxn4时， ， 时，（ 3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加 .相加练习已知 ，则由原式(附：a.用倒序相加法求数列的前 n 项和如果一个数列 an ，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具， 例如：等差数列前 n 项和公式的推导，用的就是 “倒序相加法 ”。b.用公式法求数列的前 n

9、 项和对等差数列、等比数列，求前 n 项和 Sn 可直接用等差、等比数列的前 n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前 n 项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项， 使得前后项相抵消， 留下有限项，从而求出数列的前 n 项和。d.用错位相减法求数列的前 n 项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列 anbn 中， an 成等差数列， b n 成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。e.用迭加法求数列的前 n 项

10、和迭加法主要应用于数列 an 满足 an+1=an+f(n) ，其中 f(n) 是等差数列或等比数列的条5件下，可把这个式子变成 an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出 an ，从而求出 Sn。f.用分组求和法求数列的前 n 项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列， 也不是等比数列的数列， 若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。g.用构造法求数列的前 n 项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析， 找出数列的通项的特征， 构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前 n 项和。)6