高中数学数列知识点总结.docx
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高中数学数列知识点总结
数列基础知识点和方法归纳
1.等差数列的定义与性质
定义：
an1an
d（d为常数），an
a1
n1d
等差中项：
x，A，y成等差数列
2A
x
y
a1
ann
nn1
d
前n项和Sn
na1
2
2
性质：
an是等差数列
（1）若mn
pq，则aman
apaq；
（2）数列a2n1
a2n
a2n1仍为等差数列，Sn，S2n
Sn，S3n
S2n⋯⋯仍为等差数
列，公差为n2d；
（3）若三个成等差数列，可设为
ad，a，ad
（4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn
，则am
S2m1
bm
T2m1
（5）an为等差数列
Snan2
bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二
次函数）
Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界
项，
即：
当a1
0，d0
an
0
，解不等式组
可得Sn达到最大值时的n值.
an1
0
当a
0，d
0，由
an
0
可得Sn达到最小值时的n值.
1
an1
0
（6）项数为偶数2n的等差数列an，有
S2n
n（a1
a2n）n（a2a2n1）
n（anan1）（an,an1为中间两项）
S偶
S奇
nd，S奇
an.
S偶
an1
（7）项数为奇数
2n
1
的等差数列
an，有
1
S2n1（2n1）an（an为中间项），
S奇S偶an，S奇n.
S偶n1
2.等比数列的定义与性质
定义：
an1
q（q为常数，q
0），ana1qn1
an
.
等比中项：
x、G、y成等比数列
G
2
xy，或Gxy.
na1（q
1）
前n项和：
Sn
a11
qn
（要注意！
）
1
（q
1）
q
性质：
an
是等比数列
（1）若mn
pq，则a·aa·a
m
np
q
（2）Sn，S2n
Sn，S3n
S2n⋯⋯仍为等比数列,公比为qn.
注意：
由Sn求an时应注意什么？
n1时，a1S1；
n2时，an
Sn
Sn1.
3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：
数列an
，1a112a2⋯⋯
1nan
2n
5，求an
解n1时，1a1
2
2
2
215，∴a1
14
①
2
n2时，
1
1
1
an1
2n15
a1
2
2a2
⋯⋯
2
n1
②
2
①—②得：
1
n1
14（n
1）
an
2，∴an
2
，∴an
2n1（n2）
2n
［练习］数列
an
满足Sn
Sn1
5an
1，a1
4，求an
3
注意到an1
Sn1
Sn，代入得Sn
1
4
又S1
4，∴Sn是等比数列，Sn4n
Sn
；
2
n2时，anSnSn1⋯⋯3·4n1
（2）叠乘法
如：
数列
an中，a1
an1
n
，求an
3，
an
n1
解
a2
a3
an
1
2
n1
an
1
3
·
a2
⋯⋯
·⋯⋯
n
，∴
又a1
3，∴an
a1
an1
2
3
a1
n
n.
（3）等差型递推公式
由an
an1
f（n），a1
a0，求an，用迭加法
a2
a1
f
（2）
n2
a3
a2
f（3）
两边相加得
ana1
f
（2）f（3）⋯⋯
f（n）
时，⋯⋯⋯⋯
an
an1f（n）
∴an
a0
f
（2）
f（3）
⋯⋯f（n）
［练习］数列
an
中，a1
n1
an1
n
an
1
3n
1
1，an3
2，求an（
2
）
（4）等比型递推公式
ancan1
d（c、d为常数，c0，c
1，d
0）
可转化为等比数列，设anx
can1
x
an
can1
c1x
令（c1）x
d，∴x
d
，∴an
d
是首项为a1
d
，c为公比的等比数列
c1
c1
c
1
∴an
d
a1
d
·cn1，∴an
a1
d
cn1
c
d
c
1
c
1
c
1
1
（5）倒数法
如：
a1
1，an1
2an
，求an
an
2
由已知得：
1
an
2
1
1，∴1
1
1
an1
2an
2
an
an1
an
2
∴
1
为等差数列，
1
1，公差为
1，∴1
1n1·1
1
n1，
an
a1
2
an
2
2
3
2
∴an
n1
（
附：
公式法、利用an
S1（n1）
SnSn1（n2）、累加法、累乘法.构造等差或等比
an1panq或an1
panf（n）、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、
换元法
）
4.求数列前n项和的常用方法
（1）裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
n
1
如：
an
是公差为d的等差数列，求
k1akak1
解：
由
1
1
1
1
1
d0
akakd
dak
ak1
ak·ak1
n
1
n
∴
k1akak1
k1
1
1
1
1
1
1
1
1
⋯⋯
1
1
dak
ak1
d
a1
a2
a2
a3
an
an1
1
1
1
d
a1
an1
［练习］求和：
1
1
1
⋯⋯
1
2
1
23
1
2
3
⋯⋯n
1
an⋯⋯⋯⋯，Sn
2
1
n
1
（2）错位相减法
若an
为等差数列，bn
为等比数列，求数列
anbn
（差比数列）前n项和，可由
SnqSn，求Sn，其中q为bn
的公比.
如：
Sn
12x
3x2
4x3
⋯⋯nxn1
①
x·Sn
x2x2
3x3
4x4
⋯⋯n1xn1
nxn
②
①—②
1xSn
1
xx2
⋯⋯xn1
nxn
4
时，，时，
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
相加
［练习］已知，则
由
∴原式
（附：
a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是
研究同一类知识的工具，例如：
等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项：
首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于
这个数列之后，再计算。
c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。
d.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
e.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f（n），其中f（n）是等差数列或等比数列的条
5
件下，可把这个式子变成an+1-an=f（n），代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。
f.用分组求和法求数列的前n项和
所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
g.用构造法求数列的前n项和
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造
出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。
）
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