高中数学必修228.docx

1、高中数学必修22862.1点、线、面的位置关系(二)学习目标1了解直线与平面之间的三种位置关系，会用符号语言和图形语言表示三种位置关系2能用公理3解决一些简单的相关问题3能用图形、文字、符号三种语言描述公理4.理解公理4的地位和作用4了解定理1.(等角定理)知识链接公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面预习导引1直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系定义图形语言符号语言直线在平面内有无数个公共点a直线与平面相交有且只有一个公共点aA直线与平面平行没有公共点a2.公理3(平行公理)(1)文字语言：平行于同一条直线的两条直

2、线平行，这个性质也叫作空间平行线的传递性(2)符号语言：设a，b，c为直线，则ac3公理4(1)文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的交集是一条过该点的直线(2)符号语言：P，且Pl，且Pl.4定理1(等角定理)(1)文字语言：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补(2)符号语言：已知在AOB和AOB中，AOAO，BOBO，则AOBAOB或AOBAOB180.如图(1)、(2)所示要点一直线与平面、平面与平面位置关系的画法例1指出图中的图形画法是否正确，若不正确，请你画出正确图形解(1)(2)(3)的图形画法都不正确，正确画法如图所示规律方法(1)画直线a

3、在平面内时，表示直线a的直线只能在表示平面的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延展而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在其外(2)在画直线a与平面相交时，表示直线a的直线必须有部分在表示平面的平行四边形之外，这样做既能与表示直线在平面内的图形区分开来，又使之具有较强的立体感，注意此时被平面遮住的部分必须画成虚线(3)画直线与平面平行时，最直观的图形是直线画在表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行跟踪演练1作出下列各小题的图形(1)画直线a，b，使aA，b；(2)画平面，直线a，b，使l，a，b，且a，bB.解要点二直线与平面

4、的位置关系例2以下命题(其中a，b表示直线，表示平面)，若ab，b，则a；若a，b，则ab；若ab，b，则a；若a，b，则ab.其中正确命题的个数是()A0个 B1个 C2个 D3个答案A解析如图，在长方体ABCDABCD中，ABCD，AB平面ABCD，但CD平面ABCD，故错误；AB平面ABCD，BC平面ABCD，但AB与BC相交，故错误；ABAB，AB平面ABCD，但AB平面ABCD，故错误；AB平面ABCD，BC平面ABCD，但AB与BC异面，故错误规律方法空间直线与平面的位置关系的分类是问题求解的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决另外，借助模型(如长方体)也是解决这类问题的有

5、效方法跟踪演练2对于任意的直线l和平面，在平面内必有直线m，使m和l()A平行 B相交 C垂直 D异面解析若l，则直线l与平面无公共点，因此，直线l与平面内的直线无公共点，即直线l与平面内的所有直线均不相交；若l，则直线l和平面内的直线共面，因此，直线l与平面内的所有直线不能是异面直线；若lA，则直线l和平面内的直线相交或异面，因此，直线l与平面内的所有直线不平行所以选项A，B，D都不正确故选C.答案C要点三公理3及等角定理的应用例3如图所示，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：ACB

6、D.证明(1)如图所示，连结EF，FG，GH，HE，在ABD中，E，H分别是AB，AD的中点，EHBD，同理FGBD，EHFG，E，F，G，H四点共面(2)由(1)知EHBD，同理GHAC.又四边形EFGH是矩形，EHGH，ACBD.规律方法证明两直线平行的方法：平行线的定义：在同一平面内没有公共点的两直线是平行直线利用三角形中位线平行于底边这一性质利用公理3.利用平行四边形对边互相平行的性质跟踪演练3如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E，E1，F分别是棱AD，A1D1，BC的中点求证：(1)E1C1綊AF；(2)BECB1E1C1.证明(1)连结EE1，EC，因为F为BC的中点，E

7、为AD的中点，所以AE綊FC，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF綊EC.因为E1为A1D1的中点，所以EE1綊DD1，又DD1綊CC1，所以EE1綊CC1，所以四边形ECC1E1为平行四边形，所以E1C1綊EC，所以E1C1綊AF.(2)因为E1，E分别为A1D1，AD的中点，所以A1E1綊AE，所以四边形A1E1EA为平行四边形，所以A1A綊E1E.又A1A綊B1B，所以E1E綊B1B，所以四边形E1EBB1是平行四边形，所以E1B1EB，同理E1C1EC.又B1E1C1与BEC的两边方向都相同，所以BECB1E1C1.1过平面外一点，可作这个平面的平行线条数为()A1条 B2条 C无

8、数条 D不确定答案C解析两平行平面，过其一平面内任一点可作无数条直线与另一平面无交点，即平行2在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的交集是一条过该点的直线答案A解析结合平面的基本性质求解A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B是平面的基本性质公理；C是平面的基本性质公理；D是平面的基本性质公理3将“如果两个不重合的平面，有一个公共点P，那么它们有且只有一条过该点的公共直线l.”改写成符号语言表述应为_答案

9、Pl且Pl解析两个不重合的平面，有一个公共点P，P，又P点在平面，的交线l上，l且Pl.4在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EFGHP，则点P一定在直线_上答案AC解析EFGHP，EF平面ABC，P平面ABC.又GH平面ACD，P平面ACD.平面ABC平面ACDAC，PAC.5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线(1)DBC的两边与_的两边分别对应平行且方向相同；(2)DBC的两边与_的两边分别对应平行且方向相反答案(1)D1B1C1(2)B1D1A1解析(1)B1D1BD，B1C1BC并

10、且方向相同，所以DBC的两边与D1B1C1的两边分别对应平行且方向相同(2)D1B1BD，D1A1BC并且方向相反，所以DBC的两边与B1D1A1的两边分别对应平行且方向相反1直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行后面两种关系又统称为直线在平面外2证明空间两条直线平行的方法有两个：一是利用平面几何知识(三角形、梯形的中位线、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理等)证明；二是利用公理3，就是需要找到第三条直线c，证ac，bc，由公理3得到ab.3证明两角相等，一般采用下面三种途径：(1)三角形全等与相似(2)平行四边形的对角线或平行线与第三条直线相交所得

11、内错角、同位角(3)等角定理一、基础达标1如果两条相交直线a，b，a平面，则b与平面的位置关系为()Ab Bb与相交Cb Db或b与相交答案D解析a和b相交，a平面.b与平面可能平行，也可能相交故选D.2空间两个角，且与的两边对应平行且60，则为()A60 B120C30 D60或120答案D解析由定理1可知60或120.3设AA1是长方体的一条棱，则这个长方体中与AA1平行的棱共有()A1条 B2条C3条 D4条或6条答案C解析如图，在长方形ABCDA1B1C1D1中，A1AB1B，A1ADD1.又BB1CC1.A1ACC1.与AA1平行的棱共有3条4若一直线上有两点在已知平面外，则下列命题

12、正确的是()A直线上所有的点都在平面外B直线上有无数多个点都在平面外C直线上有无数多个点都在平面内D直线上至少有一个点在平面内答案B解析一直线上有两点在已知平面外，则直线与平面平行或相交相交时有且只有一个点在平面内，故A不对，C不对；直线与平面平行时，直线没有一个点在平面内，故D不对5若点A面，点B，则直线AB与面内的直线的位置关系可能有_答案相交或异面解析当面内的直线过点A时，AB与它相交，当面内的直线不过点A时，AB与它异面6分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是_答案异面或相交解析(1)图：分别与异面直线a，b平行的两条直线c，d是相交关系(2)图：分别与异面直线a，b平行的两条直

13、线c，d是异面关系7在长方体ABCDA1B1C1D1中，面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？解B1平面A1C1，D1平面A1C1，B1D1平面A1C1.B1平面BC1，D1平面BC1，直线B1D1平面BC1B1.直线B1D1与平面BC1相交同理直线B1D1与平面AB1、平面AD1、平面CD1都相交在平行四边形B1BDD1中，B1D1BD，B1D1与BD无公共点，B1D1与平面AC无公共点，B1D1平面AC.二、能力提升8下列命题：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线异面；过平面外一点有且

14、只有一条直线与这个平面平行；一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面其中正确的个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析错直线与平面平行，只是说明直线与平面没有公共点，也就是直线与平面内的直线没有公共点没有公共点的两条直线除了平行之外，还有可能异面，因此命题是错误的；对错过平面外一点有无数条直线与已知平面平行；错直线还可以与平面相交9设平面与平面相交于l，直线a，直线b，abM，则M_l.答案解析因为abM，a，b，所以M，M.又因为l，所以Ml.10如图所示的各正方体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是_答案解析中四点共面，不共面11求证：两条平

15、行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与该平面相交解已知：直线ab，a平面P，如图求证：直线b与平面相交证明：ab，a和b确定一平面，设为.aP，平面和平面相交于过P点的直线，设为l.在平面内l与两条平行直线a，b中的一条直线a相交，l必与b相交于Q，即blQ.又b不在平面内(若b在内，由ab，得a，与a与相交矛盾)，直线b和平面相交三、探究与创新12.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点求证：(1)E，F，D1，C四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明(1)分别连结EF，A1B，D1C.E，F分别是AB和AA1的中点，EF綊A1B.又A1D1

16、綊B1C1綊BC，四边形A1D1CB为平行四边形A1BCD1，EFCD1.EF与CD1确定一个平面，E，F，D1，C四点共面(2)EF綊CD1，直线D1F和CE必相交设D1FCEP，如图D1F平面AA1D1D，PD1F，P平面AA1D1D.又CE平面ABCD，PEC，P平面ABCD.P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点又平面ABCD平面AA1D1DAD，PAD，CE，D1F，DA三线共点13空间四边形ABCD中，对角线为AC和BD，点E，F，G，H，M，N分别为AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点求证：线段EG，FH，MN必交于一点，且被该点平分证明连结EF，FG，GH，HE.E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，EF綊AC，GH綊AC，EF綊GH.四边形EFGH是平行四边形设EGFHO，则O点平分EG，FH；同理四边形MFNH是平行四边形，设MNFHO，则O平分MN，FH，即点O与O都是FH的中点，从而两点重合，即MN也过EG与FH的交点，三条线段相交于一点O，且被O点平分