高中数学必修228.docx
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高中数学必修228
6．2.1 点、线、面的位置关系
（二）
[学习目标]
1．了解直线与平面之间的三种位置关系，会用符号语言和图形语言表示三种位置关系．
2．能用公理3解决一些简单的相关问题．
3．能用图形、文字、符号三种语言描述公理4.理解公理4的地位和作用．
4．了解定理1.（等角定理）
[知识链接]
公理1：
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：
过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
[预习导引]
1．直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系
定义
图形语言
符号语言
直线在平面内
有无数个公共点
a⊂α
直线与平面相交
有且只有一个公共点
a∩α＝A
直线与平面平行
没有公共点
a∥α
2.公理3（平行公理）
（1）文字语言：
平行于同一条直线的两条直线平行，这个性质也叫作空间平行线的传递性．
（2）符号语言：
设a，b，c为直线，则
⇒a∥c．
3．公理4
（1）文字语言：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的交集是一条过该点的直线．
（2）符号语言：
P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l.
4．定理1（等角定理）
（1）文字语言：
空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
（2）符号语言：
已知在∠AOB和∠A′O′B′中，AO∥A′O′，BO∥B′O′，则∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°.如图
（1）、
（2）所示．
要点一 直线与平面、平面与平面位置关系的画法
例1 指出图中的图形画法是否正确，若不正确，请你画出正确图形．
解
（1）
（2）（3）的图形画法都不正确，正确画法如图所示．
规律方法
（1）画直线a在平面α内时，表示直线a的直线只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延展而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在其外．
（2）在画直线a与平面α相交时，表示直线a的直线必须有部分在表示平面α的平行四边形之外，这样做既能与表示直线在平面内的图形区分开来，又使之具有较强的立体感，注意此时被平面遮住的部分必须画成虚线．
（3）画直线与平面平行时，最直观的图形是直线画在表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行．
跟踪演练1 作出下列各小题的图形．
（1）画直线a，b，使a∩α＝A，b∥α；
（2）画平面α，β，直线a，b，使α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，且a∥β，b∩α＝B.
解
要点二 直线与平面的位置关系
例2 以下命题（其中a，b表示直线，α表示平面），①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．3个
答案 A
解析 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；
A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；
AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；
A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．
规律方法 空间直线与平面的位置关系的分类是问题求解的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型（如长方体）也是解决这类问题的有效方法．
跟踪演练2 对于任意的直线l和平面α，在平面α内必有直线m，使m和l（ ）
A．平行B．相交
C．垂直D．异面
解析 若l∥α，则直线l与平面α无公共点，因此，直线l与平面α内的直线无公共点，即直线l与平面α内的所有直线均不相交；若l⊂α，则直线l和平面α内的直线共面，因此，直线l与平面α内的所有直线不能是异面直线；若l∩α＝A，则直线l和平面α内的直线相交或异面，因此，直线l与平面α内的所有直线不平行．所以选项A，B，D都不正确．故选C.
答案 C
要点三 公理3及等角定理的应用
例3 如图所示，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
（1）求证：
E，F，G，H四点共面；
（2）若四边形EFGH是矩形，求证：
AC⊥BD.
证明
（1）如图所示，连结EF，FG，GH，HE，
在△ABD中，
∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH∥BD，同理FG∥BD，
∴EH∥FG，
∴E，F，G，H四点共面．
（2）由
（1）知EH∥BD，同理GH∥AC.
又∵四边形EFGH是矩形，
∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.
规律方法 证明两直线平行的方法：
①平行线的定义：
在同一平面内没有公共点的两直线是平行直线．
②利用三角形中位线平行于底边这一性质．
③利用公理3.
④利用平行四边形对边互相平行的性质．
跟踪演练3 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点E，E1，F分别是棱AD，A1D1，BC的中点．求证：
（1）E1C1綊AF；
（2）∠BEC＝∠B1E1C1.
证明
（1）连结EE1，EC，因为F为BC的中点，E为AD的中点，所以AE綊FC，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF綊EC.
因为E1为A1D1的中点，所以EE1綊DD1，又DD1綊CC1，所以EE1綊
CC1，所以四边形ECC1E1为平行四边形，
所以E1C1綊EC，
所以E1C1綊AF.
（2）因为E1，E分别为A1D1，AD的中点，
所以A1E1綊AE，
所以四边形A1E1EA为平行四边形，
所以A1A綊E1E.
又A1A綊B1B，所以E1E綊B1B，
所以四边形E1EBB1是平行四边形，
所以E1B1∥EB，同理E1C1∥EC.
又∠B1E1C1与∠BEC的两边方向都相同，所以∠BEC＝∠B1E1C1.
1．过平面外一点，可作这个平面的平行线条数为（ ）
A．1条B．2条
C．无数条D．不确定
答案 C
解析 两平行平面，过其一平面内任一点可作无数条直线与另一平面无交点，即平行．
2．在下列命题中，不是公理的是（ ）
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的交集是一条过该点的直线
答案 A
解析 结合平面的基本性质求解．A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B是平面的基本性质公理；C是平面的基本性质公理；D是平面的基本性质公理．
3．将“如果两个不重合的平面α，β有一个公共点P，那么它们有且只有一条过该点的公共直线l.”改写成符号语言表述应为________．
答案 P∈α∩β⇒α∩β＝l且P∈l
解析 ∵两个不重合的平面α，β有一个公共点P，∴P∈α∩β，又P点在平面α，β的交线l上，∴α∩β＝l且P∈l.
4．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩GH＝P，则点P一定在直线________上．
答案 AC
解析 ∵EF∩GH＝P，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.又GH⊂平面ACD，∴P∈平面ACD.∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC.
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线．
（1）∠DBC的两边与∠________的两边分别对应平行且方向相同；
（2）∠DBC的两边与∠__________的两边分别对应平行且方向相反．
答案
（1）D1B1C1
（2）B1D1A1
解析
（1）B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别对应平行且方向相同．
（2）D1B1∥BD，D1A1∥BC并且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别对应平行且方向相反．
1．直线与平面的位置关系有且只有三种：
直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．
后面两种关系又统称为直线在平面外．
2．证明空间两条直线平行的方法有两个：
一是利用平面几何知识（三角形、梯形的中位线、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理等）证明；二是利用公理3，就是需要找到第三条直线c，证a∥c，b∥c，由公理3得到a∥b.
3．证明两角相等，一般采用下面三种途径：
（1）三角形全等与相似．
（2）平行四边形的对角线或平行线与第三条直线相交所得内错角、同位角．
（3）等角定理．
一、基础达标
1．如果两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与平面α的位置关系为（ ）
A．b∥αB．b与α相交
C．b⊂αD．b∥α或b与α相交
答案 D
解析 ∵a和b相交，a∥平面α.∴b与平面α可能平行，也可能相交．故选D.
2．空间两个角α，β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为（ ）
A．60°B．120°
C．30°D．60°或120°
答案 D
解析 由定理1可知β＝60°或120°.
3．设AA1是长方体的一条棱，则这个长方体中与AA1平行的棱共有（ ）
A．1条B．2条
C．3条D．4条或6条
答案 C
解析 如图，在长方形ABCD－A1B1C1D1中，A1A∥B1B，A1A∥DD1.
又BB1∥CC1.∴A1A∥CC1.与AA1平行的棱共有3条．
4．若一直线上有两点在已知平面外，则下列命题正确的是（ ）
A．直线上所有的点都在平面外
B．直线上有无数多个点都在平面外
C．直线上有无数多个点都在平面内
D．直线上至少有一个点在平面内
答案 B
解析 一直线上有两点在已知平面外，则直线与平面平行或相交．相交时有且只有一个点在平面内，故A不对，C不对；直线与平面平行时，直线没有一个点在平面内，故D不对．
5．若点A∈面α，点B∉α，则直线AB与面α内的直线的位置关系可能有________．
答案 相交或异面
解析 当面α内的直线过点A时，AB与它相交，当面α内的直线不过点A时，AB与它异面．
6．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是________．
答案 异面或相交
解析
（1）图：
分别与异面直线a，b平行的两条直线c，d是相交关系．
（2）图：
分别与异面直线a，b平行的两条直线c，d是异面关系．
7．在长方体ABCDA1B1C1D1中，面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？
解 ∵B1∈平面A1C1，D1∈平面A1C1，
∴B1D1⊂平面A1C1.
∵B1∈平面BC1，D1∉平面BC1，
∴直线B1D1∩平面BC1＝B1.
∴直线B1D1与平面BC1相交．
同理直线B1D1与平面AB1、平面AD1、平面CD1都相交．
在平行四边形B1BDD1中，B1D1∥BD，B1D1与BD无公共点，
∴B1D1与平面AC无公共点，
∴B1D1∥平面AC.
二、能力提升
8．下列命题：
①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；
②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线异面；
③过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行；
④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．
其中正确的个数为（ ）
A．0B．1
C．2D．3
答案 B
解析 ①错．直线与平面平行，只是说明直线与平面没有公共点，也就是直线与平面内的直线没有公共点．没有公共点的两条直线除了平行之外，还有可能异面，因此命题①是错误的；②对．③错．过平面外一点有无数条直线与已知平面平行；④错．直线还可以与平面相交．
9．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.
答案 ∈
解析 因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
10．如图所示的各正方体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．
答案 ①②③
解析 ①②③中四点共面，④不共面．
11．求证：
两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与该平面相交．
解 已知：
直线a∥b，a∩平面α＝P，如图．
求证：
直线b与平面α相交．
证明：
∵a∥b，
∴a和b确定一平面，设为β.
∵a∩α＝P，
∴平面α和平面β相交于过P点的直线，设为l.
∵在平面β内l与两条平行直线a，b中的一条直线a相交，
∴l必与b相交于Q，即b∩l＝Q.
又∵b不在平面α内（若b在α内，由a∥b，得a∥α，与a与α相交矛盾），
∴直线b和平面α相交．
三、探究与创新
12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点．
求证：
（1）E，F，D1，C四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点．
证明
（1）分别连结EF，A1B，D1C.
∵E，F分别是AB和AA1的中点，∴EF綊
A1B.
又A1D1綊B1C1綊BC，
∴四边形A1D1CB为平行四边形．
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.
∴EF与CD1确定一个平面，
∴E，F，D1，C四点共面．
（2）
∵EF綊
CD1，
∴直线D1F和CE必相交．
设D1F∩CE＝P，如图．
∵D1F⊂平面AA1D1D，P∈D1F，
∴P∈平面AA1D1D.
又CE⊂平面ABCD，P∈EC，
∴P∈平面ABCD.
∴P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．
又平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，
∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．
13．空间四边形ABCD中，对角线为AC和BD，点E，F，G，H，M，N分别为AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点．
求证：
线段EG，FH，MN必交于一点，且被该点平分．
证明 连结EF，FG，GH，HE.
∵E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF綊
AC，GH綊
AC，
∴EF綊GH.
∴四边形EFGH是平行四边形．
设EG∩FH＝O，则O点平分EG，FH；
同理四边形MFNH是平行四边形，
设MN∩FH＝O′，则O′平分MN，FH，
即点O与O′都是FH的中点，从而两点重合，
即MN也过EG与FH的交点，
∴三条线段相交于一点O，且被O点平分．
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