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1、高中数学选修21同步解析版教师用书含答案第一章 导数及其应用 精选 改好高中数学选修2-1第一章 导数及其应用1.1变化率问题1.2导数的概念学习目标1.函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.函数平均变化率的求法.3.导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.知识点一函数的平均变化率1.平均变化率的概念设函数yf(x)，x1，x2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数yf(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用x表示x2x1，即xx2x1，可把x看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1x代替x2；类似地，yf(x2)f(x1).于是，平均变化率

2、可以表示为.2.求平均变化率求函数yf(x)在x1，x2上平均变化率的步骤如下：(1)求自变量的增量xx2x1；(2)求函数值的增量yf(x2)f(x1)；(3)求平均变化率.思考(1)如何正确理解x，y?(2)平均变化率的几何意义是什么？答案(1)x是一个整体符号，而不是与x相乘，其值可取正值、负值，但x0；y也是一个整体符号，若xx1x2，则yf(x1)f(x2)，而不是yf(x2)f(x1)，y可为正数、负数，亦可取零.(2)如图所示：yf(x)在区间x1，x2上的平均变化率是曲线yf(x)在区间x1，x2上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，越大，曲线yf(x)

3、在区间x1，x2上越“陡峭”，反之亦然.平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数yf(x)图象上有两点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)，则kAB.知识点二瞬时速度与瞬时变化率把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数ss(t)描述，设t为时间改变量，在t0t这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是ss(t0t)s(t0)，那么位移改变量s与时间改变量t的比就是这段时间内物体的平均速度，即.物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度，即t0时刻的瞬时速度，用v表示，物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0t

4、这段时间内的平均变化率在t0时的极限，即v .瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率.思考(1)瞬时变化率的实质是什么？(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？答案(1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢.(2)区别：平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；联系：当x趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.知识点三导数的概念函数yf(x)在xx0处的导数一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记

5、作f(x0)或y|，即f(x0) .思考(1)函数f(x)在x0处的导数满足什么条件时存在？(2)求解函数f(x)在x0处导数的步骤是什么？答案(1)函数f(x)在x0处可导，是指x0时，有极限，如果不存在极限，就说函数在点x0处无导数.(2)求解函数f(x)在x0处导数的步骤如下：求函数值的增量：yf(x0x)f(x0)；求平均变化率：；取极限，得导数：f(x0) .题型一求平均变化率例1求函数yf(x)2x23在x0到x0x之间的平均变化率，并求当x02，x时该函数的平均变化率.解当自变量从x0变化到x0x时，函数的平均变化率为4x02x.当x02，x时，平均变化率的值为4229.反思与感

6、悟平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值，所以求函数在给定区间x0，x0x上的平均变化率问题，即求的值.跟踪训练1(1)已知函数yf(x)2x21的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1x,1y)，则 .答案2x4解析因为yf(1x)f(1)2(x)24x，所以平均变化率2x4.(2)求函数yf(x)在x0到x0x之间的平均变化率(x00).解yf(x0x)f(x0)，.题型二实际问题中的瞬时速度例2一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2(位移单位：m，时间单位：s).(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t2时的瞬时速度；(3)求t0到t2时的平均速度.解(1)初速

7、度v0 (3t)3.即物体的初速度为3 m/s.(2)v瞬 (t1)1.即此物体在t2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反.(3)1.即t0到t2时的平均速度为1 m/s.反思与感悟作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，t趋近于0，指时间间隔t越来越小，但不能为0，t，s在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数.跟踪训练2已知一物体作自由落体运动，下落的高度的表达式为sgt2，其中g为重力加速度，g9.8米/平方秒(s的单位：米).(1)求t从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.000 1秒各段内的平均速度；(2)求t3秒时的瞬时速度.解(1)当t在区间

8、3,3.1上时，t3.130.1(秒)，ss(3.1)s(3)g3.12g322.989(米).29.89(米/秒).同理，当t在区间3,3.01上时，29.449(米/秒)，当t在区间3,3.001上时，29.404 9(米/秒)，当t在区间3,3.000 1上时，29.400 49(米/秒).(2)g(6t)， g(6t)3g29.4(米/秒).所以t3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒.题型三函数在某点处的导数例3求函数yx在x1处的导数.解y(1x)(1)x，1， (1)2，从而y|x12.反思与感悟求函数在xx0处的导数的步骤：(1)求函数值的增量，yf(x0x)f(x0)；(2)求平

9、均变化率，；(3)取极限，f(x0) .跟踪训练3求函数y在x2处的导数；解y1， 1.因对导数的概念理解不到位致误例4设函数f(x)在x0处可导，且f(x0)已知，求下列各式的极限值.(1) ；(2) .错解(1) f(x0).(2) f(x0).错因分析在导数的定义中，增量x的形式是多种多样的，但不论x是哪种形式，y必须选择相对应的形式.如(1)中x的改变量为xx0(x0x)，(2)中x的改变量为2h(x0h)(x0h).正解(1) f(x0).(2) f(x0).防范措施自变量的改变量x的值为变后量与变前量之差.1.在求解平均变化率时，自变量的变化量x应满足()A.x0 B.x0C.x0

10、 D.x可为任意实数答案C解析因平均变化率为，故x0.2.沿直线运动的物体从时间t到tt时，物体的位移为s，那么 为()A.从时间t到tt时物体的平均速度B.t时刻物体的瞬时速度C.当时间为t时物体的速度D.从时间t到tt时位移的平均变化率答案B解析，而 则为t时刻物体的瞬时速度.3.函数f(x)在x1处的导数为 .答案解析yf(1x)f(1)1，f(1) .4.设f(x)在x0处可导，若 A，则f(x0) .答案A解析 3 3f(x0)A.故f(x0)A.5.以初速度为v0(v00)作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为s(t)v0tgt2，求物体在t0时刻的瞬时加速度.解sv0(t0t)g(

11、t0t)2v0t0gt(v0gt0)tg(t)2，v0gt0gt.当t0时，v0gt0.物体在t0时刻的瞬时速度为v0gt0.由此，类似地可得到物体运动的速度函数为v(t)v0gt，g.当t0时，g.故物体在t0时刻的瞬时加速度为g.1.求平均变化率的步骤：(1)求y，x.(2)求.2.求瞬时速度的一般步骤：(1)求s及t.(2)求.(3)求 .3.利用定义求函数f(x)在xx0处的导数：(1)求函数的改变量yf(x0x)f(x0).(2)求.(3)y| .一、选择题1.质点运动规律st23，则在时间3,3t中，相应的平均速度等于()A.6t B.6tC.3t D.9t答案A解析因为6t.故选

12、A.2.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则()A.f(x)a B.f(x0)aC.f(x)b D.f(x0)b答案B解析由导数定义得f(x0) a.故选B.3如图，函数yf(x)在A，B两点间的平均变化率是() A.1 B.1C.2 D.2答案B解析 1.4.如果某物体的运动方程为s2(1t2) (s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为()A.4.8 m/s B.0.88 m/sC.0.88 m/s D.4.8 m/s答案A解析物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得.5.

13、设函数f(x)可导，则 等于()A.f(1) B.3f(1) C.f(1) D.f(3)答案A解析 f(1).6.一个质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st33t28t，那么速度为零的时刻是()A.1秒末 B.1秒末和2秒末C.4秒末 D.2秒末和4秒末答案D解析据导数的定义，得st26t8，令s0，即t26t80.解得t2或t4，故速度为零的时刻为2秒末和4秒末.二、填空题7.已知函数y3，当x由2变到1.5时，函数的增量y .答案解析yf(1.5)f(2)1.8.已知函数f(x)，则f(1) .答案解析f(1) .9.如图所示，函数yf(x)在x1，x2，x2，x3，x3，x4

14、这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是 .答案x3，x4解析由平均变化率的定义可知，函数yf(x)在区间x1，x2，x2，x3，x3，x4上的平均变化率分别为：，结合图象可以发现函数yf(x)的平均变化率最大的一个区间是x3，x4.10.子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动.如果它的加速度是a5105 m/s2，子弹从枪口射出所用的时间为1.6103 s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为 m/s.答案800解析运动方程为sat2.sa(t0t)2atat0ta(t)2，at0at，v at0.又a5105 m/s2，t01.6103 s，vat08102800(m/s).三、解答题11.求

15、函数yf(x)2x24x在x3处的导数.解y2(3x)24(3x)(23243)12x2(x)24x2(x)216x，2x16.y|x3 (2x16)16.12.若函数f(x)ax2c，且f(1)2，求a的值.解f(1x)f(1)a(1x)2caca(x)22ax.f(1) (ax2a)2a，即2a2，a1.13.试比较正弦函数ysin x在x0和x附近的平均变化率哪一个大.解当自变量从0变到x时，函数的平均变化率为k1.当自变量从变到x时，函数的平均变化率为k2.由于是在x0和x的附近的平均变化率，可知x较小，但x既可化为正，又可化为负.当x0时，k10，k20，此时有k1k2.当x0时，k

16、1k2.x0，x，sin(x)，从而有sin(x)1，sin(x)10，k1k20，即k1k2.综上可知，正弦函数ysin x在x0附近的平均变化率大于在x附近的平均变化率.1.1.3导数的几何意义学习目标1.理解曲线的切线的含义.2.理解导数的几何意义.3.会求曲线在某点处的切线方程.4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数.知识点一曲线的切线如图所示，当点Pn沿着曲线yf(x)无限趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.(1)曲线yf(x)在某点处的切线与该点的位置有关；(2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有

17、无穷多个.思考有同学认为曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线yf(x)只有一个交点，你认为正确吗？答案不正确.曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线yf(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示.知识点二导数的几何意义函数yf(x)在点xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率.思考(1)曲线的割线与切线有什么关系？(2)曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系？答案(1)曲线的切线是由割线绕一点转动，当割线与曲线的另一交点无限接近这一点时趋于的直线.曲线的切线并不一定与曲线有一个交点.(2)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数

18、f(x)表示的曲线必有切线，且在该点处的导数就是该切线的斜率.函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0)处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)在x0处有切线，但不可导.知识点三导函数的概念对于函数yf(x)，当xx0时，f(x0)是一个确定的数，这样，当x变化时，f(x)便是关于x的一个函数，称它为函数yf(x)的导函数，简称导数，也可记作y，即f(x)y .函数yf(x)在xx0处的导数y|就是函数yf(x)在开区间(a，b)(x(a，b)上的导数f(x)在xx0处的函数值，即y|f(x0)，所以函数yf(x)在xx0处的导数也记作f(x0).思考如何正确理解“函数f(x)

19、在xx0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系？答案“函数yf(x)在xx0处的导数”是一个数值，是针对x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与x无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x，x无关.题型一求曲线的切线方程1.求曲线在某点处的切线方程例1求曲线yf(x)x3x3在点(1,3)处的切线方程.解因为点(1,3)在曲线上，过点(1,3)的切线的斜率为f(1) (x)23x22，故所求切线方程为y32(x1)，即2xy10.反思与感悟若求曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线方程，其切线只有一条，点

20、P(x0，y0)在曲线yf(x)上，且是切点，其切线方程为yy0f(x0)(xx0).跟踪训练1(1)曲线f(x)x3x25在x1处切线的倾斜角为 .(2)曲线yf(x)x3在点P处切线斜率为3，则点P的坐标为 .答案(1)(2)(1，1)或(1,1)解析(1)设切线的倾斜角为，则tan (x)211.0，)，.切线的倾斜角为.(2)设点P的坐标为(x0，x)，则有 3x3x0x(x)23x.3x3，解得x01.点P的坐标是(1,1)或(1，1).2.求曲线过某点的切线方程例2求过点(1，2)且与曲线y2xx3相切的直线方程.解y 23x23xx(x)223x2.设切点的坐标为(x0,2x0x

21、)，切线方程为y2x0x(23x)(xx0).又切线过点(1，2)，22x0x(23x)(1x0)，即2x3x0，x00或x0.切点的坐标为(0,0)或(，).当切点为(0,0)时，切线斜率为2，切线方程为y2x；当切点为(，)时，切线斜率为，切线方程为y2(x1)，即19x4y270.综上可知，过点(1，2)且与曲线相切的直线方程为y2x或19x4y270.反思与感悟若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.跟踪训练2求过点P(3,5)且与曲线yx2相切的直线方程.解由题意知y 2x.设所求切线的切点为A(x0，

22、y0).点A在曲线yx2上，y0x.又A是切点，过点A的切线的斜率y|2x0.所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，其斜率为.2x0，解得x01或x05.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时，切线的斜率为k12x02；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k22x010.所求的切线有两条，方程分别为y12(x1)和y2510(x5)，即2xy10和10xy250.题型二求导函数例3求函数f(x)的导函数.解 yf(xx)f(x)，f(x) .反思与感悟求解f(x)时，结合导数的定义，首先计算yf(xx)f(x).然后，再求解，最后得到f(x) .跟踪训练3已知

23、函数f(x)x21，求f(x)及f(1).解 因yf(xx)f(x)(xx)21(x21)2xx(x)2，故 2x，得f(x)2x，f(1)2.题型三导数几何意义的综合应用例4设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求a的值.解yf(xx)f(x)(xx)3a(xx)29(xx)1(x3ax29x1)(3x22ax9)x(3xa)(x)2(x)3，3x22ax9(3xa)x(x)2，f(x) 3x22ax93(x)299.由题意知f(x)最小值是12，912，a29，a0，a3.反思与感悟与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识

24、，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.跟踪训练4(1)已知函数f(x)在区间0,3上的图象如图所示，记k1f(1)，k2f(2)，k3f(2)f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为 .(请用“”连接) (2)曲线y和yx2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是 .答案(1)k1k3k2(2)解析(1)结合导数的几何意义知，k1就是曲线在点A处切线的斜率，k2则为在点B处切线的斜率，而k3则为割线AB的斜率，由图易知它们的大小关系.(2)联立解得故交点坐标为(1,1).曲线y在点(1,1)处切线方程为l1：xy20，曲线yx2在点(1,1)处切线方程为

25、l2：2xy10.从而得S1.因对“在某点处”“过某点”分不清致误例5已知曲线yf(x)x3上一点Q(1,1)，求过点Q的切线方程.错解因y3x2，f(1)3.故切线方程为3xy20.错因分析上述求解过程中，忽略了当点Q不是切点这一情形，导致漏解.正解当Q(1,1)为切点时，可求得切线方程为y3x2.当Q(1,1)不是切点时，设切点为P(x0，x)，则由导数的定义，在xx0处，y3x，所以切线方程为yx3x(xx0)，将点(1,1)代入，得1x3x(1x0)，即2x3x10，所以(x01)2(2x01)0，所以x0，或x01(舍)，故切点为，故切线方程为yx.综上，所求切线的方程为3xy20或

26、3x4y10.防范措施解题前，养成认真审题的习惯，其次，弄清“在某点处的切线”与“过某点的切线”，点Q(1,1)尽管在所给曲线上，但它可能是切点，也可能不是切点.1.下列说法中正确的是()A.和曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线B.和曲线有两个公共点的直线一定不是曲线的切线C.曲线的切线与曲线不可能有无数个公共点D.曲线的切线与曲线有可能有无数个公共点答案D解析ysin x，xR在点(，1)处的切线与ysin x有无数个公共点.2.已知曲线yf(x)2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A.4 B.16 C.8 D.2答案C解析f(2) (82x)8，即k8.3.若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()A.a1，b1 B.a1，b1C.a1，b1 D.a1，b1答案A解析由题意，知ky|x0 1，a1.又(0，b)在切