高中数学 必修1第一章 集合与函数概念 132第1课时.docx

1、高中数学 必修1 第一章 集合与函数概念 132 第1课时1.3.2奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.知识点一函数奇偶性的几何特征思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？答案关于y轴对称，关于原点对称.梳理一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数.知识点二函数奇偶性的定义思考1为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？答案因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断.思考2利用点对称来刻画图象

2、对称有什么好处？答案好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然.(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图象也能操作.梳理函数奇偶性的概念：(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x)关于y轴的对称点(x，f(x)也在f(x)图象上.(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x)关于原点的对称点

3、(x，f(x)也在f(x)图象上.知识点三奇(偶)函数的定义域特征思考如果一个函数f(x)的定义域是(1,1，那么这个函数f(x)还具有奇偶性吗？答案由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数x必须也在定义域内，才能进一步判断f(x)与f(x)的关系.而本问题中，1(1,1，1(1,1，f(1)无定义，自然也谈不上是否与f(1)相等了.所以该函数既非奇函数，也非偶函数.梳理一般地，判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称.类型一证明函数的奇偶性命题角度1已知函数解析式，证明奇偶性例1(1)证明f(x)既非奇函数又非偶函数；(2)证明f(x)(x1)(x1)是

4、偶函数；(3)证明f(x)既是奇函数又是偶函数.证明(1)因为它的定义域为x|xR且x1，所以对于定义域内的1，其相反数1不在定义域内，故f(x)既非奇函数又非偶函数.(2)函数的定义域为R，因函数f(x)(x1)(x1)x21，又因f(x)(x)21x21f(x)，所以函数为偶函数.(3)定义域为1,1，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)0，所以f(x)f(x)，故函数f(x)为偶函数.又f(x)f(x)，故函数f(x)为奇函数.即该函数既是奇函数又是偶函数.反思与感悟利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则x也一定属于定义域

5、.跟踪训练1(1)证明f(x)(x2) 既非奇函数又非偶函数；(2)证明f(x)x|x|是奇函数.证明(1)由0，得定义域为2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.(2)函数的定义域为R，因f(x)(x)|x|x|x|f(x)，所以函数为奇函数.命题角度2证明分段函数的奇偶性例2判断函数f(x)的奇偶性.解由题意可知f(x)的定义域为(6，11,6)，关于原点对称，当x(6，1时，x1,6)，所以f(x)(x5)24(x5)24f(x)；当x1,6)时，x(6，1，所以f(x)(x5)24(x5)24f(x).综上可知对于任意的x(6，11,6)，都有f(x)f(x)，所以f(x)

6、是偶函数.反思与感悟分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点：(1)定义域是否关于原点对称；(2)对于定义域内的任意x，是否都有f(x)f(x)(或f(x)，只不过对于不同的x，f(x)有不同的表达式，要逐段验证是否都有f(x)f(x)(或f(x).跟踪训练2证明f(x)是奇函数.证明定义域为x|x0.若x0，f(x)x2，f(x)x2，f(x)f(x)；若x0，则x0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(1，1)，(2,0)，连线可得f(x)的图象如图.(2)xf(x)0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf(x)0的解集是(2,0)(0,2).引申探究把例4中的“

7、奇函数”改为“偶函数”，重做该题.解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)0的解集是(，2)(0,2).反思与感悟鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性.跟踪训练4已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图象如图所示.(1)画出在区间5,0上的图象；(2)写出使f(x)0的x的取值集合.解(1)如图，在0,5上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O，A，B，C，D，再用光滑曲线连接即得.(2)由(1)图可知，当且仅当x(2,0)(2,5)时，f(x)0.使f(x)0的x的取值集合为(2,

8、0)(2,5).命题角度2利用函数奇偶性的定义求值例5若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1,2a，则a_，b_.答案0解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得a，f(x)x2bxb1.又f(x)为偶函数，f(x) (x)2b(x)b1f(x)x2bxb1，对定义域内任意x恒成立，即2bx0对任意x，恒成立，b0.综上，a，b0.反思与感悟函数奇偶性的定义有两处常用：定义域关于原点对称；对定义域内任意x，恒有f(x)f(x)(或f(x)成立，常用这一特点得一个恒成立的等式，或对其中的x进行赋值.跟踪训练5已知函数f(x)为奇函数，则ab_.答案0解析由题意知则解得当

9、a1，b1时，经检验知f(x)为奇函数，故ab0.1.下列函数为偶函数的是()A.f(x)x1B.f(x)x2xC.f(x)2x2xD.f(x)2x2x答案D解析D中，f(x)2x2xf(x)，f(x)为偶函数.2.函数f(x)x(10的解集为()A(3,0)(3，)B(3,0)(0,3)C(，3)(3，)D(，3)(0,3)答案A解析f(x)为奇函数，f(3)0，f(3)0.又f(x)在(0，)上为增函数，f(x)在(，0)上也为增函数，f(x)0，当x0时，则f(x)f(3)0，x3；当xf(3)0，3x1解析函数f(x)为偶函数且非奇函数，f(x)f(x)且f(x)f(x)又a1.当a1

10、时，函数f(x)为偶函数且为奇函数，故a1.10已知函数f(x)，若f(a)，则f(a)_.答案解析根据题意，f(x)1，而h(x)是奇函数，故f(a)1h(a)1h(a)21h(a)2f(a)2.11已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1)2，则f(0)f(1)_.答案2解析f(x)为R上的奇函数，f(0)0，f(1)f(1)2，f(0)f(1)022.12函数f(x)为_(填“奇函数”或“偶函数”)答案奇函数解析定义域关于原点对称，且f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数13设奇函数f(x)的定义域为6,6，当x0,6时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)0的解集用区间表示为_

11、答案6，3)(0,3)解析由f(x)在0,6上的图象知，满足f(x)0的不等式的解集为(0,3)又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在6,0)上，不等式f(x)0的解集为6，3)综上可知，不等式f(x)0的解集为6，3)(0,3)三、解答题14判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x5；(2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x).解(1)函数的定义域为R.f(x)(x)3(x)5(x3x5)f(x)，f(x)是奇函数(2)f(x)的定义域是R.f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，f(x)是偶函数(3)函数f(x)的定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数15若函数f(x)x2|xa|为偶函数，求实数a的值解函数f(x)x2|xa|为偶函数，f(x)f(x)，即(x)2|xa|x2|xa|，|xa|xa|，即|xa|xa|，a0.16已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解(1)因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)，即1m(12)，解得m2.经检验m2时函数f(x)是奇函数所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,3