高中数学 必修1第一章 集合与函数概念 132第1课时.docx

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高中数学必修1第一章集合与函数概念132第1课时

1.3.2　奇偶性

第1课时　奇偶性的概念

学习目标

　1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.

知识点一　函数奇偶性的几何特征

思考　下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？

关于原点对称的呢？

答案　①②关于y轴对称，③④关于原点对称.

梳理　一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数.

知识点二　函数奇偶性的定义

思考1　为什么不直接用图象关于y轴（原点）对称来定义函数的奇偶性？

答案　因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断.

思考2　利用点对称来刻画图象对称有什么好处？

答案　好处有两点：

（1）等价：

只要所有点均关于y轴（原点）对称，则图象关于y轴（原点）对称，反之亦然.

（2）可操作：

要判断点是否关于y轴（原点）对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图象也能操作.

梳理　函数奇偶性的概念：

（1）偶函数：

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数.其实质是函数f（x）上任一点（x，f（x））关于y轴的对称点（－x，f（x））也在f（x）图象上.

（2）奇函数：

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数.其实质是函数f（x）上任一点（x，f（x））关于原点的对称点（－x，－f（x））也在f（x）图象上.

知识点三　奇（偶）函数的定义域特征

思考　如果一个函数f（x）的定义域是（－1,1]，那么这个函数f（x）还具有奇偶性吗？

答案　由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数－x必须也在定义域内，才能进一步判断f（－x）与f（x）的关系.而本问题中，1∈（－1,1]，－1∉（－1,1]，f（－1）无定义，自然也谈不上是否与f

（1）相等了.所以该函数既非奇函数，也非偶函数.

梳理　一般地，判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称.

类型一　证明函数的奇偶性

命题角度1　已知函数解析式，证明奇偶性

例1　

（1）证明f（x）＝

既非奇函数又非偶函数；

（2）证明f（x）＝（x＋1）（x－1）是偶函数；

（3）证明f（x）＝

＋

既是奇函数又是偶函数.

证明　

（1）因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f（x）＝

既非奇函数又非偶函数.

（2）函数的定义域为R，因函数f（x）＝（x＋1）（x－1）＝x2－1，又因f（－x）＝（－x）2－1＝x2－1＝f（x），所以函数为偶函数.

（3）定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f（x）＝0，所以f（－x）＝f（x），故函数f（x）＝

＋

为偶函数.又f（－x）＝－f（x），故函数f（x）＝

＋

为奇函数.即该函数既是奇函数又是偶函数.

反思与感悟　利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域.

跟踪训练1　

（1）证明f（x）＝（x－2）

既非奇函数又非偶函数；

（2）证明f（x）＝x|x|是奇函数.

证明　

（1）由

≥0，得定义域为[－2,2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数.

（2）函数的定义域为R，因f（－x）＝（－x）|－x|＝－x|x|＝－f（x），所以函数为奇函数.

命题角度2　证明分段函数的奇偶性

例2　判断函数f（x）＝

的奇偶性.

解　由题意可知f（x）的定义域为（－6，－1]∪[1,6），

关于原点对称，

当x∈（－6，－1]时，－x∈[1,6），

所以f（－x）＝（－x－5）2－4＝（x＋5）2－4＝f（x）；

当x∈[1,6）时，－x∈（－6，－1]，

所以f（－x）＝（－x＋5）2－4＝（x－5）2－4＝f（x）.

综上可知对于任意的x∈（－6，－1]∪[1,6），

都有f（－x）＝f（x），

所以f（x）＝

是偶函数.

反思与感悟　分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点：

（1）定义域是否关于原点对称；

（2）对于定义域内的任意x，是否都有f（－x）＝f（x）（或－f（x）），只不过对于不同的x，f（x）有不同的表达式，要逐段验证是否都有f（－x）＝f（x）（或－f（x））.

跟踪训练2　证明f（x）＝

是奇函数.

证明　定义域为{x|x≠0}.

若x<0，则－x>0，

∴f（－x）＝x2，f（x）＝－x2，

∴f（－x）＝－f（x）；

若x>0，则－x<0，

∴f（－x）＝－（－x）2＝－x2，f（x）＝x2，

∴f（－x）＝－f（x）；

即对任意x≠0，都有f（－x）＝－f（x）.

∴f（x）为奇函数.

命题角度3　证明抽象函数的奇偶性

例3　f（x），g（x）是定义在R上的奇函数，试判断y＝f（x）＋g（x），y＝f（x）g（x），y＝f[g（x）]的奇偶性.

解　∵f（x），g（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（－x）＋g（－x）＝－f（x）－g（x）＝－[f（x）＋g（x）]，y＝f（x）＋g（x）是奇函数.

f（－x）g（－x）＝[－f（x）][－g（x）]＝f（x）g（x），y＝f（x）g（x）是偶函数.

f[g（－x）]＝f[－g（x）]＝－f[g（x）]，y＝f[g（x）]是奇函数.

反思与感悟　利用基本的奇（偶）函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些新函数的奇偶性，主要是代入－x，看总的结果.

跟踪训练3　设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（　　）

A.f（x）g（x）是偶函数

B.|f（x）|g（x）是奇函数

C.f（x）|g（x）|是奇函数

D.|f（x）g（x）|是奇函数

答案　C

解析　A：

令h（x）＝f（x）·g（x），则h（－x）＝f（－x）·g（－x）＝－f（x）·g（x）＝－h（x），∴h（x）是奇函数，A错.

B：

令h（x）＝|f（x）|g（x），则h（－x）＝|f（－x）|g（－x）＝|－f（x）|g（x）＝|f（x）|g（x）＝h（x），∴h（x）是偶函数，B错.

C：

令h（x）＝f（x）|g（x）|，则h（－x）＝f（－x）·|g（－x）|＝－f（x）|g（x）|＝－h（x），∴h（x）是奇函数，C正确.

D：

令h（x）＝|f（x）·g（x）|，则h（－x）＝|f（－x）·g（－x）|＝|－f（x）·g（x）|＝|f（x）·g（x）|＝h（x），

∴h（x）是偶函数，D错.

类型二　奇偶性的应用

命题角度1　奇偶函数图象的对称性的应用

例4　定义在R上的奇函数f（x）在[0，＋∞）上的图象如图所示.

（1）画出f（x）的图象；

（2）解不等式xf（x）>0.

解　

（1）先描出（1,1），（2,0）关于原点的对称点（－1，－1），（－2,0），连线可得f（x）的图象如图.

（2）xf（x）>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf（x）>0的解集是（－2,0）∪（0,2）.

引申探究　

把例4中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题.

解　

（1）f（x）的图象如图所示：

（2）xf（x）>0的解集是（－∞，－2）∪（0,2）.

反思与感悟　鉴于奇（偶）函数图象关于原点（y轴）对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性.

跟踪训练4　已知奇函数f（x）的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示.

（1）画出在区间[－5,0]上的图象；

（2）写出使f（x）<0的x的取值集合.

解　

（1）

如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.

分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，

再用光滑曲线连接即得.

（2）由

（1）图可知，当且仅当x∈（－2,0）∪（2,5）时，f（x）<0.

∴使f（x）<0的x的取值集合为（－2,0）∪（2,5）.

命题角度2　利用函数奇偶性的定义求值

例5　若函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.

答案　

　0

解析　因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝

，f（x）＝

x2＋bx＋b＋1.

又f（x）为偶函数，

∴f（－x）＝

（－x）2＋b（－x）＋b＋1＝f（x）＝

x2＋bx＋b＋1，

对定义域内任意x恒成立，

即2bx＝0对任意x∈[－

，

]恒成立，

∴b＝0.综上，a＝

，b＝0.

反思与感悟　函数奇偶性的定义有两处常用：

①定义域关于原点对称；②对定义域内任意x，恒有f（－x）＝f（x）（或－f（x））成立，常用这一特点得一个恒成立的等式，或对其中的x进行赋值.

跟踪训练5　已知函数f（x）＝

为奇函数，则a＋b＝________.

答案　0

解析　由题意知

则

　解得

当a＝－1，b＝1时，经检验知f（x）为奇函数，故a＋b＝0.

1.下列函数为偶函数的是（　　）

A.f（x）＝x－1

B.f（x）＝x2＋x

C.f（x）＝2x－2－x

D.f（x）＝2x＋2－x

答案　D

解析　D中，f（－x）＝2－x＋2x＝f（x），

∴f（x）为偶函数.

2.函数f（x）＝x（－1

A.奇函数

B.偶函数

C.非奇非偶函数

D.既是奇函数又是偶函数

答案　C

3.已知函数y＝f（x）＋x是偶函数，且f

（2）＝1，则f（－2）等于（　　）

A.－1B.1C.－5D.5

答案　D

解析　函数y＝f（x）＋x是偶函数，∴x＝±2时函数值相等.

∴f（－2）－2＝f

（2）＋2，∴f（－2）＝5，故选D.

4.若函数f（x）＝（m－1）x2＋（m－2）x＋（m2－7m＋12）为偶函数，则m的值是（　　）

A.1B.2C.3D.4

答案　B

5.下列说法错误的个数是（　　）

①图象关于原点对称的函数是奇函数；

②图象关于y轴对称的函数是偶函数；

③奇函数的图象一定过原点；

④偶函数的图象一定与y轴相交；

⑤既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）.

A.4B.3C.2D.0

答案　B

1.两个定义：

对于f（x）定义域内的任意一个x，如果都有f（－x）＝－f（x）⇔f（－x）＋f（x）＝0⇔f（x）为奇函数；如果都有f（－x）＝f（x）⇔f（－x）－f（x）＝0⇔f（x）为偶函数.

2.两个性质：

函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.

3.证明一个函数是奇函数，必须对f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x）.而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.

课时作业

一、选择题

1．已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于（　　）

A．－1B．1C．0D．2

答案　A

解析　因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，

根据奇函数的定义域关于原点对称，

所以a与b有一个等于1，一个等于－2，

所以a＋b＝1＋（－2）＝－1，

故选A.

2．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2－x，则f

（1）等于（　　）

A．－3B．－1C．1D．3

答案　A

解析　∵f（x）是奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2－x，

∴f

（1）＝－f（－1）＝－[2×（－1）2－（－1）]＝－3.

3．已知f（x）为偶函数，且当x≥0，有f（x）≥2，则当x≤0时，有（　　）

A．f（x）≤2B．f（x）≥2

C．f（x）≤－2D．f（x）∈R

答案　B

解析　因为f（x）为偶函数，所以f（x）的图象关于y轴对称，所以当x≤0时，f（x）≥2，故选B.

4．设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（　　）

A．f（x）＋|g（x）|是偶函数

B．f（x）－|g（x）|是奇函数

C．|f（x）|＋g（x）是偶函数

D．|f（x）|－g（x）是奇函数

答案　A

解析　由f（x）是偶函数，可得f（－x）＝f（x），

由g（x）是奇函数可得g（－x）＝－g（x），

故|g（x）|为偶函数，∴f（x）＋|g（x）|为偶函数．

5．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（　　）

A．－

B.

C.

D．－

答案　B

解析　依题意b＝0，且2a＝－（a－1），

∴a＝

，则a＋b＝

.

6．函数f（x）＝|x＋1|－|x－1|为（　　）

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数也是偶函数

D．既不是奇函数也不是偶函数

答案　A

解析　f（x）的定义域为R，

对于任意x∈R，f（－x）＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f（x），

∴f（x）为奇函数．

又f（－1）＝－2，f

（1）＝2，f（－1）≠f

（1），

∴f（x）不是偶函数．

7．设奇函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f（3）＝0，则不等式

>0的解集为（　　）

A．（－3,0）∪（3，＋∞）

B．（－3,0）∪（0,3）

C．（－∞，－3）∪（3，＋∞）

D．（－∞，－3）∪（0,3）

答案　A

解析　∵f（x）为奇函数，f（3）＝0，∴f（－3）＝0.

又∵f（x）在（0，＋∞）上为增函数，

∴f（x）在（－∞，0）上也为增函数，

∴

＝f（x）>0，

①当x>0时，则f（x）>f（3）＝0，∴x>3；

②当x<0时，则f（x）>f（－3）＝0，∴－3

综上可得，原不等式的解集为（－3,0）∪（3，＋∞）．

二、填空题

8．已知函数y＝f（x）为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和是________．

答案　0

解析　由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.

9．若函数f（x）＝

＋

为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为________．

答案　a>1

解析　∵函数f（x）＝

＋

为偶函数且非奇函数，

∴f（－x）＝f（x）且f（－x）≠－f（x）．

又∵

∴a≥1.

当a＝1时，函数f（x）＝

＋

为偶函数且为奇函数，

故a>1.

10．已知函数f（x）＝

，若f（a）＝

，则f（－a）＝________.

答案　

解析　根据题意，f（x）＝

＝1＋

，而h（x）＝

是奇函数，故f（－a）＝1＋h（－a）＝1－h（a）＝2－[1＋h（a）]＝2－f（a）＝2－

＝

.

11．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（－1）＝2，则f（0）＋f

（1）＝________.

答案　－2

解析　∵f（x）为R上的奇函数，

∴f（0）＝0，f

（1）＝－f（－1）＝－2，

∴f（0）＋f

（1）＝0－2＝－2.

12．函数f（x）＝

为________．（填“奇函数”或“偶函数”）

答案　奇函数

解析　定义域关于原点对称，且

f（－x）＝

＝

＝－f（x），

所以f（x）是奇函数．

13．设奇函数f（x）的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时，f（x）的图象如图所示，不等式f（x）<0的解集用区间表示为________．

答案　[－6，－3）∪（0,3）

解析　由f（x）在[0,6]上的图象知，满足f（x）<0的不等式的解集为（0,3）．又f（x）为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0）上，不等式f（x）<0的解集为[－6，－3）．综上可知，不等式f（x）<0的解集为[－6，－3）∪（0,3）．

三、解答题

14．判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝x3＋x5；

（2）f（x）＝|x＋1|＋|x－1|；

（3）f（x）＝

.

解　

（1）函数的定义域为R.∵f（－x）＝（－x）3＋（－x）5＝－（x3＋x5）＝－f（x），∴f（x）是奇函数．

（2）f（x）的定义域是R.∵f（－x）＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f（x），∴f（x）是偶函数．

（3）函数f（x）的定义域是（－∞，－1）∪（－1，＋∞），不关于原点对称，∴f（x）是非奇非偶函数．

15．若函数f（x）＝x2－|x＋a|为偶函数，求实数a的值．

解　∵函数f（x）＝x2－|x＋a|为偶函数，

∴f（－x）＝f（x），

即（－x）2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，

∴|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|，∴a＝0.

16．已知函数f（x）＝

是奇函数．

（1）求实数m的值；

（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解　

（1）因为f（x）为奇函数，

所以f（－1）＝－f

（1），即1－m＝－（－1＋2），

解得m＝2.

经检验m＝2时函数f（x）是奇函数．

所以m＝2.

（2）要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，

结合f（x）的图象知

所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1,3]．