集合论习题答案.docx

1、集合论习题答案P3 习题1.11.1.1 解： 2,3,5,7,11,13,17,19； e,v,n,i,g； 3,2； 1； 2,； 共14项，前四项为极小因式：不能再分解为其它因式的因式： x+1，x 1，x2+x+1，x2 x+1，x2 1，x3+2x2+2x+1，x3+1， x31，x32x2+2x1，x4+x2+1，x4+x3 x+1， x4x3+x1，x5+x4+x3+x2+x+1，x5 x4+x3 x2+x 1)1.1.2 解 x | x I+ , x80； x | x I且 n I使x=2n+1； x | x I且 n I使x=5n； (x,y)| x,y R , x2+y21

2、； ax+b=0| a,b R且a 0。P5 习题1.21.2.1 答：为真的有：、，其余为假。1.2.2 答：为真的有：、，其余为假。1.2.3 解：A= ，B=0，C=, 4, 2,0,2,4，D=2,4，E=, 4, 2,0,2,4，F=2,4， G= ，H=, 4, 2,0,2,4。 C=E=H，D=F，A=G。1.2.4 答：四个全为真。 证明： 例 A=a , B=a,A 例 B=A , C=A , B 例 A= 例 A=a , B=a,A , 2B= , a , A , B 1.2.5 解 幂集 ；幂集的幂集 , 幂集 , ,a, ,a； 幂集的幂集 零元素子集 , 单元素子集

3、, , a , ,a, 双元素子集 , , ,a , , ,a , ,a , , ,a , a, ,a , 三元素子集 , ,a , , , ,a , ,a, ,a , ,a, ,a， 四元素子集 , ,a, ,a 。1.2.6 证：设 a=c且b=d， a=c且a,b=b,d a,a,b=c,c,d 。 设 a,a,b=c,c,d， a在c,c,d中， a=c或a=c,d a是单元素集，而c,d是双元素集， 只能 a=c， a=c 同理 a,b=c,d，又 a=c， b=d P11 习题1.31.3.1 解 0,1,2,3,4,5,6,7,8,16,32,60,64,30,90,120,15

4、0,； ； 3,4,5,6； 0,1,2,3,4,5,6,8,16,32,64。1.3.2 解：A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11，B=1,2,3,4,5,6,7,8 C=2,4,6,8,，D=3,6,9,12,，E=1,3,5,7, BC； AD； (AC) B； C B； (AC)(E B)。1.3.3 证：例 A=1,2，B=1，C=2。 AB=AC=A，但BC。 答：能。 证1： AB=AC， (AB)B=(AC)B， B=(AC)B， B=(AB)(BC)=(AC)(BC)=(AB)C=(AC)C=C。 证2： x B 若 x A，则x AB，AB=AC， x AC，

5、 x C； 若 x A，而x AB，又AB=AC， x AC，又 x A， x C B C，同理可证得C B， B=C 。 1.3.4 证：例 U=1,2 , A=1 , B=2 , A B=1 , 而B A=2， A BB A， 差运算不满足交换律。 1.3.5 证：用互为子集法证明。仅证明 。 x ， x ， S C， x S，即 S C，x ， x ， ； x ， S C，x ， S C， x S， x， x ， ； = 1.3.6 证：用互为子集法证明。仅证明 。 x B()， x B 且 x ， x B 且 S C，x S， x BS， x ， B() ； x ， S C，x BS，

6、 x B 且 x S， x B 且 x ， x B()， B() ； B() = 1.3.7 解 (a) (AB)()； (b) ABC； (c) (AC) B。 P13 习题1.41.4.1 解 (a,0,c) , (a,1,c) , (b,0,c) , (b,1,c) (c,c),a) , (c,c),b) (a,c),(a,c) , (a,c),(b,c) , (b,c),(a,c) , (b,c),(b,c)1.4.2 证：用互为子集法证明 。 (x,y) (AB)(CD) x AB且y CD x A且x B且y C且y D (x,y) AC且(x,y) BD (x,y) (AC)(B

7、D) (AB)(CD) (AC)(BD) 同样方法可证得：(AC)(BD) (AB)(CD) (AB)(CD)=(AC)(BD) 1.4.3 证： 反证法：设A 且B 且A B x A且x B 或者 y B且y A 若 x A且x B，则对 b B，有(x,b) AB，但(x,b) BA， AB BA。 若 y B且y A，则对 a A，有(a,y) AB，但(a,y) BA， AB BA。 若A=，AB=BA= 若B=，AB=BA= AB=BA 若A=B，AB=BA 1.4.4 答：6小题全为假。 证： 例 A=a , B=b , x=a A但y=c B，也有(x,y)=(a,c) AB。

8、B 2B但B B， 对 x 2A，(x,B) 2A2B，但(x,B) 2AB 2AB 2A2B。 例 A=1，B=2，C=，则 AC=BC=，但 A B。 例 A=1，B=C=，D=3 (AB)(CD)=13=(1,3) (AC)(BD)= 例 A=B=1，C=2，D=3 (AB)(CD)=(CD)= (AC)(BD)=(1,2)(1,3)=(1,2) 例 A=B=1，C=2，D=3 (A B)(C D)=(C D)= (AC) (BD)=(1,2) (1,3)=(1,2),(1,3)1.4.5 证：用互为子集法证明。 (x,y) A(BC)， x A 且 y BC， y B 且 y C x

9、A且y B且x A且y C， (x,y) AB且 (x,y) AC (x,y) (AB)(AC) ， A(BC) (AB)(AC) ； (x,y) (AB)(AC)， (x,y) AB且 (x,y) AC， x A且y B且x A且y C， x A 且 y BC， (x,y) A(BC) ， (AB)(AC) A(BC) ； A(BC) = (AB)(AC) P14 习题1.51.5.1 解：设A为学英语的学生集合，B为学日语的学生集合。 |A|=45，|B|=30，45|AB|60 |AB|=|A|+|B|AB|， 15|AB|30。1.5.2 解 设能被2,3,5,7整除的整数集合分别为：

10、A2，A3，A5，A7。 |A2|=125，|A3|=83，|A5|=50，|A7|=35，|A2A3|=|A6|=41，|A2A5|=|A10|=25 |A2A7|=|A14|=17，|A3A5|=|A15|=16，|A3A7|=|A21|=11，|A5A7|=|A35|=7 |A2A3A5|=|A30|=8，|A2A3A7|=|A42|=5 |A2A5A7|=|A70|=3，|A3A5A7|=|A105|=2 |A2A3A5A7|=125+83+50+3541251716117+8+5+3+21=1931.5.3 解：已知 |数|=67，|物|=47，|生|=95 |数物|=28，|数生|

11、=26，|物生|=27 |数物生|=20050=150 |数物生|=|数|+|物|+|生|数物|数生| |物生|+ |数物生| 150=67+47+95-26-27-28 + |数物生| |数物生| =22 。各小区的内容详见右图。P19 习题1.61.6.1 解： 设D=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，所要定义的集合为A； x D，x A x,y A，xy A 只有有限次地运用步所生成的元素属于A，否则不属于A。 设D=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，所要定义的集合为A； x D，x. A x D， y A，xy A且yx A 只有有限次地运用步所生成的元素属于A，否则不属于

12、A。 设所要定义的集合为A 0 A x A，x+2(10)2 A 只有有限次地运用步所生成的元素属于A，否则不属于A。 设所要定义的集合为A A x,y A，xy A且x A 只有有限次地运用步所生成的元素属于A，否则不属于A。1.6.2 解：可以，但从1开头，即从a开头，|a|=1。1.6.3 解： 去掉第一条，所得模型为空集。 去掉第二条，所得模型为无穷有根多元树，即表示一个元素可有多个后继。 去掉第三条，所得模型为 0，且0 =0。 去掉第三条，所得模型为 0,1,2，0 =1，1 =2，2 =1。 去掉第三条，所得模型为 0,x1,x2,y1,y2,，0 =x1， i I+，xi =x

13、i+1，yi =yi+1。1.6.4 证： 基础：8=5+3。 归纳： k N且88，所以至少有3张3分的邮 票。把这三张三分的邮票换成两张5分的邮票，就实现了k+1分邮资的组合。 1.6.5 证：当n=2时，本身为质数，自然成立。 k N且2k，假设当nk时，n可写为若干质数之积 当n=k时，若k为质数，自然成立。 若k为和数，则k可写为p与q的积，此时因p,q均小于k，根据归纳假设，p和q 均可写为若干质数之积，故n=k=pq也可写为若干质数之积。 1.6.6 证： a,b N，对c施以归纳证明 当c=0时，a+(b+0)=a+b=(a+b)+0 假设当c=n时，a+(b+n)=(a+b)

14、+n 当c=n 时，a+(b+n )=a+(b+n) =(a+(b+n) ，(a+b)+n =(a+b)+n) 根据归纳假设，a+(b+n)=(a+b)+n， a+(b+n )=(a+b)+n a,b,c N，a+(b+c)=(a+b)+c。 m N m0=0； m,n N mn =(mn)+m m,n N,m0,n0，m0=1，0n=0； m,n N，m0，=mnm m N mm ； m,n N 若mn，则m n 。P23 习题1.71.7.1 解： A2= ,a,aa； C3=ababab； CAB=aba,abb,abaa,abab A+= ,a,a2,a3,=an | n N； C*=

15、 ,ab,(ab)2,(ab)3,=(ab)n | n N。1.7.2 证： x A , 必 a A，使x=a =a, x A, AL A; x A x=xL xAL A AL; A=AL。 x (AB)C, 必 a A, b B且 c C, 使x=(ab)c 串的连接运算满足结合律， x=a(bc) A(BC), (AB)C A(BC); 同理可证得 A(BC) (AB)C， A(BC)=(AB)C。 1.7.3 证： x A(BC)，必 a A, 且 b BC, 使x=ab， b B且b C a A且b B, x=ab AB; 又a A且b C, x=ab AC; x ABAC， A(BC

16、) ABAC。 例 A= ,a, B= , C=a; A(BC)=A= ABAC= ,aa,aa=a, A(BC) ABAC。1.7.4 证： 证 A*A*=A* x A*A*, 必 m,n N 使 x=AmAn=Am+n 又 Am+n A* x A* A*A* A* x A* A* x A*A* x A*A* A* A*A* A*A*=A* 证 (A*)*=A* x (A*)*, 必 n N 使 x (A*)n 又 x (A*)n x A* (A*)* A* 又 A* (A*)* (A*)*=A* 证：证 (A*)+=A* A*，根据，(A*)+=(A*)*，又根据，(A*)+=A* 证 (

17、A+)*=A* A+ A* 根据定理1.14，(A+)* (A*)*，又根据，(A+)* A* 又 A A+ 根据定理1.14 A* (A+)*，(A+)*=A* 。 证 A*A+=A+A* 根据 ，A+(A*)*=(A+)*A+，根据 ，A+A*=A*A+ 。 证 A*A+=A+ x A*A+，必 a A*， b A+，使x=ab A*A+ 又 A*= A+ 若 a ，即a= ， x=ab= b=b A+ 若 a A+， b A+， 必 m,n N，使 a Am，b An x=ab AmAn=Am+n A+， A*A+ A+ 又根据定理1.14，A+ A*A+， A*A+=A+ 1.7.5

18、证： 根据定理1.15，(A*B*)*=(AB)*，(B*A*)*=(BA)* AB=BA， (A*B*)*=(B*A*) A A*，根据定理1.14，A* A*B* A*B*C*， A A*B*C* 同理 B,C A*B*C* ABC A*B*C* 根据定理1.15，A+(A+)*=(A+)+， 根据定理1.15，(A+)*=A*， A+(A+)*=A+A*=(A+)+ 根据定理1.15，A+A*=A+， A+)+=A+ 。 注：本教材中定理1.15的结尾“=A*”是错误的，应为“=A+”。 x (AB)*A，必 a (AB)*， b A，使 x=ab 必 n N，使a (AB)n， x (

19、AB)nA 。 又 连接积运算满足结合律， (AB)nA=(AB)(AB)(AB)A=A(BA)(BA)(BA)=A(BA)n x=ab A(BA)n， a A，b (BA)n 又 (BA)n (BA)*， b (BA)*， x A(BA)*， (AB)*A A(BA)* 同理可证得 A(BA)* (AB)*A， (AB)*A=A(BA)*。 A ABCD，根据定理1.14， A* (ABCD)* 同理 B*, C*, D* (ABCD)* 根据定理1.10， A*B*C*D* (ABCD)*4 根据定理1.13，(ABCD)*4 (ABCD)* 根据定理1.15，(ABCD)*=(ABCD)

20、* A*B*C*D* (ABCD)* 又根据定理1.14，(A*B*C*D*)* (ABCD)* 根据定理1.15， (A*B*C*D*)* (ABCD)* 又 A A*，根据定理1.14， A A* A*B* A*B*C* A*B*C*D* 同理 B, C, D A*B*C*D*， ABCD A*B*C*D* 根据定理1.14， (ABCD)* (A*B*C*D*)* A*B*C*D*=(ABCD)* 1.7.6 解： =a，n=2，A=a， (A*)n=a,a2,a3,=A* 而 (A*)*= ,a2,a4,a6, A*，二者不相等。 =a,b，A=a，B=b， (AB)*= , ab,

21、(ab)2, 而 (BA)*= , ba, (ba)2, ， 二者不相等。 A= , a，B= , b，C= , a, b， (AB)C=aC=a, aa, ab 而 ACBC= , a, b, aa, bb , a, b, ba, bb=aa, bb， 二者不相等。 A= , a，B=a，A*= , a a2, a3, =B*，但A不是B的子集。 =a，A=a，=*A= , a2, a3, ，()*= , a2, a3, = 但A*=*，=*A*=， ()* A=a，B=b，根据定理1.15，(A*B*)*=(AB)* bab (AB)*，但bab (A*B*)A*， 二者不相等。 A=a，

22、a A+，但A+A+=a2, a3, a4, ， a A+A+， 二者不相等。1.7.7 解： *aa, ab, ba, bb* b*ab* ab*abba, bb *aaa* 或 b, a3, a4, a5*(b)* *bbab*1.7.8 证： 先证 A。反证：假设 A， A ，不妨设A=a，那么A2=aa 显然 A2 A，与前提条件 A2=A 矛盾！ 归纳证明 An=A。 当n=1时，A=A 成立。 假设当n=k时，Ak=A 成立； 当n=k+1时， Ak+1=AkA，根据归纳假设，Ak=A Ak+1=AA=A2=A x A*，若x= ，则 A ( 已证)， x A 若x ，则必 n N

23、，使 x An。又 An=A， x A A* A。 又 A A*， A*=A P26 习题2.12.1.1 解： R=(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)； R=(1,1),(4,2)2.1.2 解： R=(0,4),(4,0),(1,3),(3,1),(2,2) R=(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4) R=(0,0,0),(0,1,1),(0,2,2),(0,3,3),(0,4,4),(1,0,1),(1,1,2),(1,2,3),(1,3,4),(2,0,4) R=(0,0),(0,1),(0,2),(0,3

24、),(0,4),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4) 2.1.3 解：2.1.4 定义： (0,0) R 且 (1,0) R 若 (a,b) R，则 (a+1,b) R且 (a+1,b+1) R 极小性 证明：(0,0) R (基础)， (2,0) R， (3,1) R (归纳)。 定义： (0,0) R 若 (a,b) R，则 (a+2,b+1) R 极小性 证明：(0,0) R (基础)， (2,1) R， (4,2) R， (6,3) R (归纳)。 定义： (0,0,0) R 若 (a,b,c) R，则 (a+1,b,c+1) R且 (a,b+1,c+1) R 极

25、小性 证明：(0,0,0) R (基础)， (1,0,1) R， (1,1,2) R (归纳)2.1.5 解： RS=(1,2),(1,3),(2,4),(3,3),(4,2)，RS=(2,4)，RS=(1,2),(3,3) =(1,1),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4) D(R)=1,2,3，R(R)=2,3,4，D(RS)=A，R(RS)=2,3,42.1.6 证： x D(RS)，则根据定义域的定义，必 y A，使 (x,y) RS (x,y) R 或 (x,y) S， x D(R) 或x D(S) x D(R)D(S)， D(RS) D(R)D(S) x D(R)D(S)， x D(R)