集合论习题答案.docx

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集合论习题答案

P3习题1.1

1.1.1解：

⑴{2,3,5,7,11,13,17,19}；⑵{e,v,n,i,g}；⑶{－3,2}；

⑷{－1}；⑸{2,

}；⑹Φ

⑺共14项，前四项为极小因式：

不能再分解为其它因式的因式：

{①x+1，②x1，③x2+x+1，④x2x+1，①②x21，①③x3+2x2+2x+1，①④x3+1，

②③x3－1，②④x3－2x2+2x－1，③④x4+x2+1，①②③x4+x3x+1，

①②④x4－x3+x－1，①③④x5+x4+x3+x2+x+1，②③④x5x4+x3x2+x1）}

1.1.2解⑴{x|xI+,x<80}；⑵{x|xI且nI使x=2n+1}；⑶{x|xI且nI使x=5n}；

⑷{（x,y）|x,yR,x2+y2<1}；⑸{（,）|,R,>1}；⑹{ax+b=0|a,bR且a0}。

P5习题1.2

1.2.1答：

为真的有：

⑵、⑷、⑻、⑽，其余为假。

1.2.2答：

为真的有：

⑴、⑷，其余为假。

1.2.3解：

A=，B={0}，C={…,4,2,0,2,4…}，D={2,4}，E={…,4,2,0,2,4…}，F={2,4}，

G=，H={…,4,2,0,2,4…}。

∴C=E=H，D=F，A=G。

1.2.4答：

四个全为真。

证明：

⑴例A={a},B={a,A}

⑵例B={A},C={A,B}

⑶例A={}

⑷例A={a},B={a,A},∴2B={,{a},{A},B}※

1.2.5解⑴幂集{}；幂集的幂集{,{}}

⑵幂集{,{},{a},{,a}}；

幂集的幂集零元素子集{,

单元素子集{},{{}},{{a}},{{,a}},

双元素子集{,{}},{,{a}},{,{,a}},{{},{a}},{{},{,a}},{{a},{,a}},

三元素子集{,{},{a}},{,{},{,a}},{,{a},{,a}},{{},{a},{,a}}}，

四元素子集{,{},{a},{,a}}。

1.2.6证：

设a=c且b=d，∴{a}={c}且{a,b}={b,d}∴{{a},{a,b}}={{c},{c,d}}。

设{{a},{a,b}}={{c},{c,d}}，∴{a}在{{c},{c,d}}中，∴{a}={c}或{a}={c,d}

∵{a}是单元素集，而{c,d}是双元素集，∴只能{a}={c}，∴a=c

同理{a,b}={c,d}，又∵a=c，∴b=d※

P11习题1.3

1.3.1解⑴{0,1,2,3,4,5,6,7,8,16,32,60,64,30,90,120,150,…}；

⑵；⑶{3,4,5,6}；⑷{0,1,2,3,4,5,6,8,16,32,64}。

1.3.2解：

A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}，B={1,2,3,4,5,6,7,8}

C={2,4,6,8,…}，D={3,6,9,12,…}，E={1,3,5,7,…}

⑴B∩C；⑵A∩D；⑶（A∩C）B；⑷CB；⑸（A∩C）∪（EB）。

1.3.3⑴证：

例A={1,2}，B={1}，C={2}。

A∪B=A∪C=A，但B≠C。

⑵答：

能。

证1：

∵A∪B=A∪C，∴（A∪B）∩B=（A∪C）∩B，∴B=（A∪C）∩B，

∴B=（A∩B）∪（B∩C）=（A∩C）∪（B∩C）=（A∪B）∩C=（A∪C）∩C=C。

证2：

xB

①若xA，则xA∩B，∵A∩B=A∩C，∴xA∩C，∴xC；

②若xA，而xA∪B，又∵A∪B=A∪C，∴xA∪C，又∵xA，∴xC

∴BC，同理可证得CB，∴B=C。

※

1.3.4证：

例U={1,2},A={1},B={2},AB={1},而BA={2}，∴AB≠BA，

∴差运算不满足交换律。

※

1.3.5证：

用互为子集法证明。

仅证明⑴。

x

，∴x

，∴SC，∴xS，即SC，x

，

∴x

，∴

；

x

，∴SC，x

，∴SC，∴xS，∴x

，

∴x

，∴

；

∴

=

※

1.3.6证：

用互为子集法证明。

仅证明⑴。

xB∩（

），∴xB且x

，∴xB且SC，xS，∴xB∩S，

∴x

，∴B∩（

）

；

x

，∴SC，xB∩S，∴xB且xS，∴xB且x

，

∴xB∩（

），∴

B∩（

）；

∴B∩（

）=

※

1.3.7解⑴（a）（A∩B）∪（

）；（b）A∩B∩C；（c）（A∩C）B。

⑵①②③

P13习题1.4

1.4.1解⑴{（a,0,c）,（a,1,c）,（b,0,c）,（b,1,c）}

⑵{（（c,c）,a）,（（c,c）,b）}

⑶{（（a,c）,（a,c））,（（a,c）,（b,c））,（（b,c）,（a,c））,（（b,c）,（b,c））}

1.4.2证：

用互为子集法证明。

（x,y）（A∩B）×（C∩D）∴xA∩B且yC∩D

∴xA且xB且yC且yD

∴（x,y）A×C且（x,y）B×D

∴（x,y）（A×C）∩（B×D）

∴（A∩B）×（C∩D）（A×C）∩（B×D）

同样方法可证得：

（A×C）∩（B×D）（A∩B）×（C∩D）

∴（A∩B）×（C∩D）=（A×C）∩（B×D）※

1.4.3证：

反证法：

设AΦ且BΦ且AB

∴xA且xB或者yB且yA

若xA且xB，则对bB，有（x,b）A×B，但（x,b）B×A，∴A×BB×A。

若yB且yA，则对aA，有（a,y）A×B，但（a,y）B×A，∴A×BB×A。

若A=Φ，A×B=B×A=Φ

若B=Φ，A×B=B×A=Φ∴A×B=B×A

若A=B，A×B=B×A※

1.4.4答：

6小题全为假。

证：

⑴例A={a},B={b},x=aA但y=cB，也有（x,y）=（a,c）A×B。

⑵∵B2B但BB，∴对x2A，（x,B）2A×2B，但（x,B）2A×B

∴2A×B2A×2B。

⑶例A={1}，B={2}，C=Φ，则AC=B×C=Φ，但AB。

⑷例A={1}，B=C=Φ，D={3}

（A∪B）×（C∪D）={1}{3}={（1,3）}（A×C）∪（B×D）=Φ∪Φ

⑸例A=B={1}，C={2}，D={3}

（A－B）×（C－D）=Φ×（C－D）=Φ（A×C）－（B×D）={（1,2）}－{（1,3）}={（1,2）}

⑹例A=B={1}，C={2}，D={3}

（AB）×（CD）=Φ×（CD）=Φ

（A×C）（B×D）={（1,2）}{（1,3）}={（1,2）,（1,3）}

1.4.5证：

用互为子集法证明。

（x,y）A×（B－C），∴xA且yB－C，∴yB且yC

∴xA且yB且xA且yC，∴（x,y）A×B且（x,y）A×C

∴（x,y）（A×B）－（A×C），∴A×（B－C）（A×B）－（A×C）；

（x,y）（A×B）－（A×C），∴（x,y）A×B且（x,y）A×C，

∴xA且yB且xA且yC，∴xA且yB－C，

∴（x,y）A×（B－C），∴（A×B）－（A×C）A×（B－C）；

∴A×（B－C）=（A×B）－（A×C）※

P14习题1.5

1.5.1解：

设A为学英语的学生集合，B为学日语的学生集合。

∴|A|=45，|B|=30，45≤|A∪B|≤60

∵|A∪B|=|A|+|B|－|A∩B|，∴15≤|A∩B|≤30。

1.5.2解设能被2,3,5,7整除的整数集合分别为：

A2，A3，A5，A7。

∴|A2|=125，|A3|=83，|A5|=50，|A7|=35，|A2∩A3|=|A6|=41，|A2∩A5|=|A10|=25

|A2∩A7|=|A14|=17，|A3∩A5|=|A15|=16，|A3∩A7|=|A21|=11，|A5∩A7|=|A35|=7

|A2∩A3∩A5|=|A30|=8，|A2∩A3∩A7|=|A42|=5

|A2∩A5∩A7|=|A70|=3，|A3∩A5∩A7|=|A105|=2

|A2∩A3∩A5∩A7|=125+83+50+35－41－25－17－16－11－7+8+5+3+2－1=193

1.5.3解：

已知|数|=67，|物|=47，|生|=95

|数∩物|=28，|数∩生|=26，|物∩生|=27

|数∪物∪生|=200－50=150

|数∪物∪生|=|数|+|物|+|生|―|数∩物―|数∩生|

―|物∩生|+|数∩物∩生|

∴150=67+47+95-26-27-28+|数∩物∩生|

∴|数∩物∩生|=22。

各小区的内容详见右图。

P19习题1.6

1.6.1解：

⑴设D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，所要定义的集合为A；

①xD，xA

②x,yA，xyA

③只有有限次地运用①②步所生成的元素属于A，否则不属于A。

⑵设D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，所要定义的集合为A；

①xD，x.A

②xD，yA，xyA且yxA

③只有有限次地运用①②步所生成的元素属于A，否则不属于A。

⑶设所要定义的集合为A

①0A

②xA，x+2（10）2A

③只有有限次地运用①②步所生成的元素属于A，否则不属于A。

⑷设所要定义的集合为A

①[]A

②x,yA，xyA且[x]A

③只有有限次地运用①②步所生成的元素属于A，否则不属于A。

1.6.2解：

可以，但从1开头，即从{a}开头，|a|=1。

1.6.3解：

⑴去掉第一条，所得模型为空集Φ。

⑵去掉第二条，所得模型为无穷有根多元树，即表示一个元素可有多个后继。

⑶去掉第三条，所得模型为{0}，且0=0。

⑷去掉第三条，所得模型为{0,1,2}，0=1，1=2，2=1。

⑸去掉第三条，所得模型为{0,x1,x2,…,y1,y2,…}，0=x1，iI+，xi=xi+1，yi=yi+1。

1.6.4证：

⑴基础：

8=5+3。

⑵归纳：

kN且8

k=5p+3q

当n=k+1时，

若在k分邮资的组合中，至少有一枚5分的邮票，则把该5分的邮票换成两张3

分的邮票，就实现了k+1分邮资的组合。

若在k分邮资的组合中，没有5分的邮票，则因k>8，所以至少有3张3分的邮

票。

把这三张三分的邮票换成两张5分的邮票，就实现了k+1分邮资的组合。

※

1.6.5证：

当n=2时，本身为质数，自然成立。

kN且2

当n=k时，若k为质数，自然成立。

若k为和数，则k可写为p与q的积，此时因p,q均小于k，根据归纳假设，p和q

均可写为若干质数之积，故n=k=pq也可写为若干质数之积。

※

1.6.6⑴证：

a,bN，对c施以归纳证明

当c=0时，a+（b+0）=a+b=（a+b）+0

假设当c=n时，a+（b+n）=（a+b）+n

当c=n时，a+（b+n）=a+（b+n）=（a+（b+n）），（a+b）+n=（（a+b）+n）

根据归纳假设，a+（b+n）=（a+b）+n，∴a+（b+n）=（a+b）+n

∴a,b,cN，a+（b+c）=（a+b）+c。

※

⑵①mNm×0=0；②m,nNm×n=（m×n）+m

⑶①m,nN,m≠0,n≠0，m0=1，0n=0；②m,nN，m≠0，

=mn×m

⑷①mNm

P23习题1.7

1.7.1解：

⑴A2={,a,aa}；⑵C3={ababab}；⑶CAB={aba,abb,abaa,abab}

⑷A+={,a,a2,a3,…}={an|nN}；⑸C*={,ab,（ab）2,（ab）3,…}={（ab）n|nN}。

1.7.2证：

⑵xA{},必aA，使x=a=a,∴xA,∴A{L}A;

xA∵x=xL∴xÎA{L}∴AA{L};

∴A=A{L}。

⑶x（AB）C,必aA,bB且cC,使x=（ab）c

∵串的连接运算满足结合律，∴x=a（bc）A（BC）,∴（AB）CA（BC）;

同理可证得A（BC）（AB）C，∴A（BC）=（AB）C。

※

1.7.3证：

⑴xA（B∩C），必aA,且bB∩C,使x=ab，∴bB且bC

∵aA且bB,∴x=abAB;又∵aA且bC,∴x=abAC;

∴xAB∩AC，∴A（B∩C）AB∩AC。

※

⑵例A={,a},B={},C={a};∴A（B∩C）=AΦ=Φ

AB∩AC={,a}∩{a,aa}={a},A（B∩C）AB∩AC。

1.7.4证：

⑶证A*A*=A*

xA*A*,必m,nN使x=AmAn=Am+n

又∵Am+nA*∴xA*∴A*A*A*

xA*∵A*∴xA*A*∴xA*A*∴A*A*A*

∴A*A*=A*

证（A*）*=A*

x（A*）*,必nN使x（A*）n

又∵…x（A*）n∴xA*∴（A*）*A*

又∵A*（A*）*∴（A*）*=A*※

⑷证：

证（A*）+=A*

∵A*，根据⑵，∴（A*）+=（A*）*，又根据⑶，∴（A*）+=A*

证（A+）*=A*

∵A+A*根据定理1.14⑷，∴（A+）*（A*）*，又根据⑶，∴（A+）*A*

又∵AA+根据定理1.14⑷A*（A+）*，∴（A+）*=A*。

※

⑸证A*A+=A+A*

根据⑴，A+（A*）*=（A+）*A+，根据⑷，A+A*=A*A+。

证A*A+=A+

xA*A+，必aA*，bA+，使x=abA*A+

又∵A*={}∪A+

若a{}，即a=，∴x=ab=b=bA+

若aA+，∵bA+，∴必m,nN，使aAm，bAn

∴x=abAmAn=Am+nA+，∴A*A+A+

又根据定理1.14⑶，A+A*A+，∴A*A+=A+※

1.7.5证：

⑴根据定理1.15⑹，（A*B*）*=（A∪B）*，（B*A*）*=（B∪A）*

∵A∪B=B∪A，∴（A*B*）*=（B*A*）

⑵AA*，根据定理1.14⑴，A*A*B*A*B*C*，∴AA*B*C*

同理B,CA*B*C*∴A∪B∪CA*B*C*

⑶根据定理1.15⑴，A+（A+）*=（A+）+，

根据定理1.15⑷，（A+）*=A*，∴A+（A+）*=A+A*=（A+）+

根据定理1.15⑸，A+A*=A+，∴A+）+=A+。

注：

本教材中定理1.15⑸的结尾“=A*”是错误的，应为“=A+”。

⑷x（AB）*A，必a（AB）*，bA，使x=ab

∴必nN，使a（AB）n，∴x（AB）nA。

又∵连接积运算满足结合律，

∴（AB）nA=（AB）（AB）…（AB）A=A（BA）（BA）…（BA）=A（BA）n

∴x=abA（BA）n，∴aA，b（BA）n

又∵（BA）n（BA）*，∴b（BA）*，∴xA（BA）*，∴（AB）*AA（BA）*

同理可证得A（BA）*（AB）*A，∴（AB）*A=A（BA）*。

⑸∵AA∪B∪C∪D，根据定理1.14⑷，∴A*（A∪B∪C∪D）*

同理B*,C*,D*（A∪B∪C∪D）*

根据定理1.10⑷，∴A*B*C*D*[（A∪B∪C∪D）*]4

根据定理1.13⑵，∴[（A∪B∪C∪D）*]4[（A∪B∪C∪D）*]*

根据定理1.15⑶，[（A∪B∪C∪D）*]*=（A∪B∪C∪D）*

∴A*B*C*D*（A∪B∪C∪D）*

又根据定理1.14⑷，（A*B*C*D*）*[（A∪B∪C∪D）*]*

根据定理1.15⑶，∴（A*B*C*D*）*（A∪B∪C∪D）*

又∵AA*，根据定理1.14⑴，∴AA*A*B*A*B*C*A*B*C*D*

同理B,C,DA*B*C*D*，∴A∪B∪C∪DA*B*C*D*

根据定理1.14⑷，∴（A∪B∪C∪D）*（A*B*C*D*）*

∴A*B*C*D*=（A∪B∪C∪D）*※

1.7.6解：

⑴∑={a}，n=2，A={a}，∴（A*）n={a,a2,a3,…}=A*

而（A*）*={,a2,a4,a6,…}A*，∴二者不相等。

⑵∑={a,b}，A={a}，B={b}，∴（AB）*={,ab,（ab）2,…}

而（BA）*={,ba,（ba）2,…}，∴二者不相等。

⑶A={,a}，B={,b}，C={,a,b}，∴（A－B）C={a}C={a,aa,ab}

而AC－BC={,a,b,aa,bb}－{,a,b,ba,bb}={aa,bb}，∴二者不相等。

⑷A={,a}，B={a}，A*={,aa2,a3,…}=B*，但A不是B的子集。

⑸∑={a}，A={a}，

=∑*－A={,a2,a3,…}，（

）*={,a2,a3,…}=

但A*=∑*，

=∑*－A*=Φ，∴（

）*

⑹A={a}，B={b}，根据定理1.15⑹，（A*∪B*）*=（A∪B）*

bab（A∪B）*，但bab（A*B*）A*，∴二者不相等。

⑺A={a}，aA+，但A+A+={a2,a3,a4,…}，∴aA+A+，∴二者不相等。

1.7.7解：

⑴∑*－{aa,ab,ba,bb}*⑵{b}*{a}{b}*⑶{ab}∑*∪∑*{abb}∪{a,bb}

⑷∑*{aaa}∑*或{b,a3,a4,a5}*－（b）*⑸∑*{bbab}∑*

1.7.8证：

⑴先证A。

反证：

假设A，∵AΦ，不妨设A={a}，那么A2={aa}

显然A2A，与前提条件A2=A矛盾！

⑵归纳证明An=A。

当n=1时，A=A成立。

假设当n=k时，Ak=A成立；

当n=k+1时，∵Ak+1=AkA，根据归纳假设，Ak=A

∴Ak+1=AA=A2=A

⑶xA*，若x=，则∵A（⑴已证），∴xA

若x，则必nN，使xAn。

又∵An=A，∴xA∴A*A。

又∵AA*，∴A*=A※

P26习题2.1

2.1.1解：

⑴R={（0,0）,（0,2）,（2,0）,（2,2）}；⑵R={（1,1）,（4,2）}

2.1.2解：

⑴R={（0,4）,（4,0）,（1,3）,（3,1）,（2,2）}

⑵R={（0,0）,（0,1）,（0,2）,（0,3）,（0,4）,（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）}

⑶R={（0,0,0）,（0,1,1）,（0,2,2）,（0,3,3）,（0,4,4）,（1,0,1）,（1,1,2）,（1,2,3）,（1,3,4）,（2,0,4）}

⑷R={（0,0）,（0,1）,（0,2）,（0,3）,（0,4）,（1,0）,（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）}

⑴⑵⑷

2.1.3解：

2.1.4⑴定义：

①（0,0）R且（1,0）R

②若（a,b）R，则（a+1,b）R且（a+1,b+1）R

③极小性

证明：

（0,0）R（基础），∴（2,0）R，∴（3,1）R（归纳）。

⑵定义：

①（0,0）R

②若（a,b）R，则（a+2,b+1）R

③极小性

证明：

（0,0）R（基础），∴（2,1）R，∴（4,2）R，∴（6,3）R（归纳）。

⑶定义：

①（0,0,0）R

②若（a,b,c）R，则（a+1,b,c+1）R且（a,b+1,c+1）R

③极小性

证明：

（0,0,0）R（基础），∴（1,0,1）R，∴（1,1,2）R（归纳）

2.1.5解：

⑴R∪S={（1,2）,（1,3）,（2,4）,（3,3）,（4,2）}，R∩S={（2,4）}，R－S={（1,2）,（3,3）}

={（1,1）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）}

⑵D（R）={1,2,3}，R（R）={2,3,4}，D（R∪S）=A，R（R∪S）={2,3,4}

2.1.6证：

⑴xD（R∪S），则根据定义域的定义，必yA，使（x,y）R∪S

∴（x,y）R或（x,y）S，∴xD（R）或xD（S）

∴xD（R）∪D（S），∴D（R∪S）D（R）∪D（S）

xD（R）∪D（S），∴xD（R）