立体几何证明题文科.docx

1、立体几何证明题文科AB / DC,立体几何练习1.如图：梯形ABCD和正 PAB所在平面互相垂直，其中1AD =CD AB，且0为AB中点2(I )求证：BC/平面POD ；(II )求证：AC _ PD 2.如图，菱形ABCD的边长为6， BAD =60：, AC BD = O 将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥 B-ACD,点M是棱BC的中点，DM=3、2.(I)求证：OM /平面ABD ；()求证：平面 ABC -平面MDO ；(川)求三棱锥CBD3.如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为直角梯形，AD/BC, Z ADC=90 1 BC=-AD, PA=PD, Q 为

2、 AD 的中点.2(I )求证：AD丄平面PBQ;()若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PA/平面 BMQ.4.已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形.(I)求证：PC /平面BDE ;()求证：平面 PAC 平面BDE .5.已知直三棱柱ABCAiBiCi的所有棱长都相等，且中点求证：平面BiFC/平面EAD;（II ）求证：BG 平面EAD.D,E,F 分别为 BC, BBi, AAi 的6.如图所示，正方形 ABCD与直角梯形.ADE =90、,AF / DE , DE 二 DA 二 2AF(I )求证:AC _ 平面 BDE ；（n）求证:AC / 平面 BEF ；（川）

3、求四面体 BDEF的体积.C7.如图，在四棱锥 P-ABCD中，平面PAD丄平面ABCD,AB=AD , ZBAD=60 ,E、F 分别是 AP、AD 的中点求证：（1）直线EF/平面PCD;（2）平面BEF丄平面PAD.18.如图，四边形 ABCD为正方形，QA丄平面ABCD, PD/ QA, QA=AB=PD.2(I)证明：PQ丄平面DCQ(II )求棱锥QABCD的的体积与棱锥 P-DCQ的体积的比值.9.如图，在 ABC中，/ABC=45。，启AC=90 ,AD是BC上的高，沿 AD把AABD折 起，使/ BDC=90 。(1)证明：平面ADBX平面BDC; (2 )设BD=1，求三棱

4、锥 D-ABC的表面积参考答案:111.证明： 因为0为AB中点，所以BO二丄AB,又AB/CD, CD二丄AB ,22所以有 CD =BO,CD/BO,所以ODCB为平行四边形，所以 BC/OD,又DO 平面POD, BC二平面POD,所以BC/平面POD(II)连接 OC.因为 CD = BO = AO, CD / AO,所以 ADCO 为平行四边形，又AD二CD，所以ADCO为菱形，所以AC DO，因为正三角形 PAB , O为AB中点，所以PO AB，又因为平面ABCD 平面PAB ,平面ABCD平面PAB = AB，所以PO -平面ABCD，而AC 平面ABCD，所以PO AC ,又

5、POAdO =O，所以AC 平面POD .又PD 平面POD，所以AC PD .2.(I)证明：因为点 O是菱形ABCD的对角线的交点,所以O是AC的中点又点M是棱BC的中点,所以OM是 ABC的中位线，OM /AB.因为OM二平面ABD, AB 平面ABD ,所以OM /平面ABD .()证明：由题意， OM =0D =3,因为 DM =3、2,所以 DOM =90； , OD OM又因为菱形 ABCD，所以OD AC. 因为 OM A AC = O ,所以OD 平面ABC ,因为OD 平面MDO ,所以平面ABC -平面MDO .（川）解：三棱锥 M -ABD的体积等于三棱锥 D -ABM

6、的体积 由（H）知，OD 平面ABC，所以OD = 3为三棱锥D- ABM的高.1i 73ABM 的面积为BA BM sin120二6 3 22 2所求体积等于S ABM OD = _3 .32四边形BCQA为平行四边形，且 N为AC中点,点M是线段PC的中点， MN / PA ./ MN 平面 BMQ, PA二平面 BMQ, PA / 平面 BMQ.4.(I)证明：因为 E , O分别为PA , AC的中点,所以 EO II PC .因为EO 平面BDEPC二平面BDE所以PC I平面BDE (H)证明：连结OP因为PB = PD ,所以OP BD 在菱形ABCD中，BD AC 因为 OPA

7、C =0所以BD -平面PAC因为BD 平面BDE a所以平面PAC _平面BDE 5.(I)由已知可得 AF /BiE , AF = BiE ,四边形AFBE是平行四边形，AE/FB1 ,；AE 二平面 Bi FC , FBi 平面 Bi FC ,-AE / / 平面 BiFC ；又D,E分别是BC,BBi的中点，DE/BQ ,:ED 二平面 BiFC, DC 平面 BiFC,.ED/平面 BiFC ；tAE DDE 二 E,AE 平面 EAD , ED 平面 EAD ,-平面BiFC /平面EAD .(n) 三棱柱ABC ABiG是直三棱柱，CiC _ 面 ABC，又 T AD 面 ABC

8、 ,CiC _ ad .又Y直三棱柱ABC - AiBiCi的所有棱长都相等，D是BC边中点, ABC是正三角形，.BC_AD ,而 CQ 门 BC - C ， CCi 面 BCCiBi ， BC 二面 BCG Bi ，AD _ 面 BCGB，故 AD _ BCi .P 四边形 BCCiBi是菱形， BCi _ BiC ，而 DE/ BC，故 DE BCi ,由 AD DE = D，AD 面 EAD，ED 面 EAD，得 BCi -面 EAD .6.( I )证明：因为平面 ABCD 平面ADEF , ADE =90 ,所以DE -平面abcd ,所以DE AC 因为abcd是正方形，所以AC

9、 - BD，所以AC -平面BDE .(n )证明：设ACPlBD =0，取BE中点G，连结FG, 0G ,1所以，OG Z DE 2因为 AF / DE , DE =2AF，所以 AF / OG ,从而四边形AFGO是平行四边形，FG/AO.因为FG 平面BEF , AO二平面BEF ,所以AO/平面BEF，即AC/平面BEF .（川）解：因为平面 ABCD _平面ADEF , AB _ AD ,所以AB _平面ADEF .因为 AF/DE, ADE =90；, DE 二 DA = 2AF = 2 ,1所以 DEF的面积为 ED AD =2 ,21 4所以四面体BDEF的体积 S def A

10、B337.解：（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，EF |PD,又 PD 面PCD,EF 二面PCD.直线EF/平面PCD（2）连接BD AB二AD, BAD=60 , ABD为正三角形F是AD的中点，.BF AD,又平面 PAD丄平面 ABCD,面PAD面ABCD = AD, BF 面PAD,BF 面BEF所以，平面 BEF丄平面 PAD.8.解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形因为QA丄平面 ABCD,所以平面 PDAQ丄平面 ABCD,交线为 AD.又四边形ABCD为正方形，DC丄AD,所以DC丄平面PDAQ，可得PQ丄DC.在直角梯形 PDAQ中可得DQ=PQ= PD,贝V PQ丄

11、QD2所以PQ丄平面DCQ.（II ）设 AB= a.1 3由题设知AQ为棱锥Q ABCD的高，所以棱锥 Q ABCD的体积V a .3J2 由(I)知PQ为棱锥P DCQ的高，而PQ=、.2a , ADCQ的面积为 a2 ,2所以棱锥P DCQ的体积为V23故棱锥QABCD的体积与棱锥P DCQ的体积的比值为19.(1 )折起前AD是EC边上的高，当 A ABD折起后，ADLDC, AD1DB,又 DBDC = D,AD丄平面BDC，又 AD匕 平面BDC.平面ABD丄平面 BDC.-2sin 63(2)由(1)知，DA DB , DB DC , DC DADB=DA=DC=1 ab=bc=ca=2 ,1 1S|_DAM - S_dbc = S DCA = ? 1 1 = ?，S ABC -二棱锥DABC的表面积是13.证明：（I） AD / BC, BC= - AD, Q 为 AD 的中点，2四边形BCDQ为平行四边形， /-CD / BQ .t Z ADC=90 / AQB=90 即 QB丄 AD.t PA=PD, Q为AD的中点,PQ 丄 AD.t PQQBQ=Q,AD丄平面PBQ.()当 t =1 时，PA/平面 BMQ.连接AC,交BQ于N,连接MN.vBC/ 1 2 DQ,2