立体几何证明题文科.docx
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立体几何证明题文科
AB//DC,
立体几何练习
1.如图：
梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中
1
AD=CDAB，且0为AB中点•
2
（I）求证：
BC//平面POD；
（II）求证：
AC_PD•
2.如图，菱形ABCD的边长为6，BAD=60：
AC"BD=O•将菱形ABCD沿对角
线AC折起，得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点，DM=3、、2.
（I）求证：
OM//平面ABD；
（□）求证：
平面ABC-平面MDO；
（川）求三棱锥
C
B
D
3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,ZADC=90°
1BC=-^AD,PA=PD,Q为AD的中点.
2
（I）求证：
AD丄平面PBQ;
（□）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得
PA//平面BMQ.
4.
已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形.
（I）求证：
PC//平面BDE;
（□）求证：
平面PAC—平面BDE.
5.已知直三棱柱ABC「AiBiCi的所有棱长都相等，且
中点•⑴求证：
平面BiFC//平面EAD;
（II）求证：
BG—平面EAD.
D,E,F分别为BC,BBi,AAi的
6.如图所示，正方形ABCD与直角梯形
.ADE=90、,
AF//DE,DE二DA二2AF
（I）求证:
AC_平面BDE；
（n）求证:
AC//平面BEF；
（川）求四面体BDEF的体积.
C
7.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD丄平面ABCD,
AB=AD,ZBAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点
求证：
（1）直线EF//平面PCD;
（2）平面BEF丄平面PAD.
1
8.如图，四边形ABCD为正方形，QA丄平面ABCD,PD//QA,QA=AB=—PD.
2
（I）证明：
PQ丄平面DCQ
（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值.
9.如图，在△ABC中，/ABC=45。
，启AC=90°,AD是BC上的高，沿AD把AABD折起，使/BDC=90°。
（1）证明：
平面ADBX平面BDC;
（2）设BD=1，求三棱锥D-ABC的表面积
参考答案:
11
1.证明：
⑴因为0为AB中点，所以BO二丄AB,又AB//CD,CD二丄AB,
22
所以有CD=BO,CD//BO,
所以ODCB为平行四边形，
所以BC//OD,
又DO平面POD,BC二平面POD,
所以BC//平面POD
（II）连接OC.
因为CD=BO=AO,CD//AO,所以ADCO为
平行四边形，
又AD二CD，所以ADCO为菱形，
所以AC—DO，
因为正三角形PAB,O为AB中点，
所以PO—AB，
又因为平面ABCD—平面PAB,平面ABCD「平面PAB=AB，
所以PO-平面ABCD，
而AC平面ABCD，所以PO—AC,
又POAdO=O，所以AC—平面POD.
又PD平面POD，所以AC—PD.
2.（I）证明：
因为点O是菱形ABCD的对角线的交点,
所以O是AC的中点•又点M是棱BC的中点,
所以OM是ABC的中位线，OM//AB.
因为OM二平面ABD,AB平面ABD,
所以OM//平面ABD.
（□）证明：
由题意，OM=0D=3,
因为DM=3、2,所以DOM=90；,OD—OM
又因为菱形ABCD，所以OD—AC.因为OMAAC=O,
所以OD—平面ABC,
因为OD平面MDO,
所以平面ABC-平面MDO.
（川）解：
三棱锥M-ABD的体积等于三棱锥D-ABM的体积•由（H）知，OD—平面ABC，
所以OD=3为三棱锥D-ABM的高.
1i73
ABM的面积为—BABMsin120〔二—63—
2
22
所求体积等于—SABMOD=_3.
32
•••四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点,
•••点M是线段PC的中点，
•••MN//PA.
•/MN平面BMQ,PA二平面BMQ,
•••PA//平面BMQ.
4.（I）证明：
因为E,O分别为PA,AC的中点,
所以EOIIPC.
因为EO平面BDE
PC二平面BDE
所以PCI平面BDE•
（H）证明：
连结OP
因为PB=PD,
所以OP—BD•
在菱形ABCD中，BD—AC因为OP"AC=0
所以BD-平面PAC
因为BD平面BDEa
所以平面PAC_平面BDE•
5.（I）由已知可得AF//BiE,AF=BiE,
四边形AFBE是平行四边形，
AE//FB1,
；AE二平面BiFC,FBi平面BiFC,
-AE//平面BiFC；
又D,E分别是BC,BBi的中点，
DE//BQ,
:
ED二平面BiFC,DC平面BiFC,
.ED//平面BiFC；
tAEDDE二E,AE平面EAD,ED平面EAD,
-平面BiFC//平面EAD.
（n）三棱柱ABC—ABiG是直三棱柱，
CiC_面ABC，又TAD面ABC,
CiC_ad.
又Y直三棱柱ABC-AiBiCi的所有棱长都相等，D是BC边中点,
■ABC是正三角形，.BC_AD,
而CQ门BC-C，CCi—面BCCiBi，BC二面BCGBi，
AD_面BCGB，
故AD_BCi.
'■P四边形BCCiBi是菱形，^BCi_BiC，
而DE//BC，故DE—BCi,
由ADDE=D，AD面EAD，ED面EAD，
得BCi-面EAD.
6.（I）证明：
因为平面ABCD—平面ADEF,ADE=90,
所以DE-平面abcd,
所以DE—AC•
因为abcd是正方形，
所以AC-BD，所以AC-平面BDE.
（n）证明：
设ACPlBD=0，取BE中点G，连结FG,0G,
1
所以，OGZ—DE•
2
因为AF//DE,DE=2AF，所以AF//OG,
从而四边形AFGO是平行四边形，FG//AO.
因为FG平面BEF,AO二平面BEF,
所以AO//平面BEF，即AC//平面BEF.
（川）解：
因为平面ABCD_平面ADEF,AB_AD,
所以AB_平面ADEF.
因为AF//DE,ADE=90；,DE二DA=2AF=2,
1
所以DEF的面积为EDAD=2,
2
14
所以四面体BDEF的体积SdefAB
33
7.解：
（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，
EF|PD,又PD面PCD,EF二面PCD
.直线EF//平面PCD
（2）连接BDAB二AD,BAD=60,ABD为正三角形
F是AD的中点，.BF—AD,
又平面PAD丄平面ABCD,面PAD「面ABCD=AD,BF—面PAD,BF面BEF
所以，平面BEF丄平面PAD.
8.解：
（I）由条件知PDAQ为直角梯形
因为QA丄平面ABCD,所以平面PDAQ丄平面ABCD,交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC丄AD,所以DC丄平面PDAQ，可得PQ丄DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD,贝VPQ丄QD
2
所以PQ丄平面DCQ.
（II）设AB=a.
13
由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积Va.
3
J2由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=、.2a,ADCQ的面积为a2,
2
所以棱锥P—DCQ的体积为V2
3
故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1
9.
（1）•••折起前AD是EC边上的高，
当AABD折起后，ADLDC,AD1DB,
又DBDC=D,
•••AD丄平面BDC，又•••AD匕平面BDC.
•••平面ABD丄平面BDC.
-2sin6^—3
（2）由
（1）知，DA—DB,DB—DC,DC—DA「DB=DA=DC=1ab=bc=ca=2,
11
S|_DAM-S_dbc=SDCA=?
11=?
，SABC-
••二棱锥D—ABC的表面积是
1
3.证明：
（I）AD//BC,BC=-AD,Q为AD的中点，
2
•••四边形BCDQ为平行四边形，/-CD//BQ.
tZADC=90°••/AQB=90°即QB丄AD.
tPA=PD,Q为AD的中点,
•••PQ丄AD.
tPQQBQ=Q,
•••AD丄平面PBQ.
（□）当t=1时，PA/平面BMQ.
连接AC,交BQ于N,连接MN.
vBC//12DQ,
2
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