福师15春《实变函数》在线作业一.docx

1、福师15春实变函数在线作业一福师15春实变函数在线作业一一、单选题：1.若|A|=|B|,|C|=|D|，则|AC|=|CD|. (满分:2) A. 错误 B. 正确2.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+ (满分:2) A. 错误 B. 正确3.若f,gBV，则f+g,f-g,fg均属于BV。 (满分:2) A. 错误 B. 正确4.可数集的测度必为零，反之也成立. (满分:2) A. 错误 B. 正确5.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。 (满分:2) A. 错误 B. 正确二、多选题：6.可积的充分条件:若存在gL1,使得|f|=g. (满分:2) A. 错误 B. 正确7.

2、设f为a,b上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数. (满分:2) A. 错误 B. 正确8.有界可测函数f在区间a,b上L可积的充要条件是f在a,b上几乎处处连续. (满分:2) A. 错误 B. 正确9.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。 (满分:2) A. 错误 B. 正确10.若fC1a,b（连续可微）,则fLipa,b，fACa,b. (满分:2) A. 错误 B. 正确11.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数. (满分:2) A. 错误 B. 正确1

3、2.若f有界且m(X),则f可测。 (满分:2) A. 错误 B. 正确13.存在某区间a,b上增函数f，使得f(x)在a,b上积分值fdxf(b)-f(a) . (满分:2) A. 错误 B. 正确三、判断题：14.若fn测度收敛于f，则1/fn也测度收敛于1/f. (满分:2) A. 错误 B. 正确15.f可积的充要条件:|f|可积。 (满分:2) A. 错误 B. 正确16.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。 (满分:2) A. 错误 B. 正确17.若fn与gn分别测度收敛于f与g，且fn=gn，a.e.,n=1,2,则fc0,则f/g属

4、于BV。 (满分:2) A. 错误 B. 正确21.若fLipa,b,则fACa,b. (满分:2) A. 错误 B. 正确22.若f,gAC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),fg,fg均属于AC。 (满分:2) A. 错误 B. 正确23.可数个Gdelta集之交和有限个Gdelta集之并仍是Gdelta集，但可数个Gdelta集之并未必仍是Gdelta集 (满分:2) A. 错误 B. 正确24.若f,gBV，则f/g(g不为0)属于BV。 (满分:2) A. 错误 B. 正确25.增函数f在a,b上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点. (满分:2) A.

5、错误 B. 正确26.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f0)有sigma-有限测度。 (满分:2) A. 错误 B. 正确27.对Rn中任意点集E，EE必为可测集. (满分:2) A. 错误 B. 正确28.若fAC，则f是连续的有界变差函数，即fCBV. (满分:2) A. 错误 B. 正确29.fBV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点. (满分:2) A. 错误 B. 正确30.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积. (满分:2) A. 错误 B. 正确31.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)

6、-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差. (满分:2) A. 错误 B. 正确32.f为a,b上减函数，则f(x)在a,b可积且其积分值fdxf(b)-f(a) . (满分:2) A. 错误 B. 正确33.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性. (满分:2) A. 错误 B. 正确34.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。 (满分:2) A. 错误 B. 正确35.零测度集的任何子集都是可测集. (满分:2) A. 错误 B. 正确36.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。 (满分:2) A. 错误 B. 正确37.积分的四条基本性质构成整个积分论

7、的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。 (满分:2) A. 错误 B. 正确1.下列关系式中不成立的是( ) (满分:2) A. f(∪Ai)=∪f(Ai) B. f∩(Ai)=f(∩Ai) C.(A∩B)0=A0∩B0 D.(∪Ai)c=∩(Aic)2.若A为Rn中一疏集，则( ) (满分:2) A. Ac为稠集 B. A为开集 C. A为孤立点集 D. A不完备3.fn-f,a.e.,则 (满分:2) A. fn依测度收敛于f B. fn几乎一致收敛于f C. fn一致收敛于f D. |fn|-|f| a.e.4.fn&i

8、sin;L(E),则fn-0,a.e.是∫Efndx-0( ) (满分:2) A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件5.在( )条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测. (满分:2) A. mE=0 B. 0mE+ C. mE=+ D. 0=mE=+1.若f∈ACa,b，则( ) (满分:2) A. f∈Ca b B. f∈BVa b C. f(x)=f(a)+∫ax f (t)dt D. f∈Lipa b2.设E1，E2是Rn中测度有限的可测集，则 (满分:2) A. m(E1E2)+m(E1E2)=

9、mE1+mE2 B. 若E1包含于E2 mE1=mE2 C. 若E1包含于E2 m(E2E1)=mE2-mE13.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则( ) (满分:2) A. f在R上处处不连续 B. f在R上为可测函数 C. f几乎处处连续 D. f不是可测函数4.若f(x)为Lebesgue可积函数，则( ) (满分:2) A. f可测 B. |f|可积 C. f2可积 D. |f|.a.e.5.A，B是两个集合，则下列正确的是( ) (满分:2) A. f-1(f（A）)=A B. f-1(f（A）)包含A C. f(f-1（A）)=A D. f(A

10、B)包含f(A)f(B)6.f(x)=1,x(-，+),则f(x)在(-，+)上 (满分:2) A. 有L积分值 B. 广义R可积 C. L可积 D. 积分具有绝对连续性7.若0=g=f且f可积，则( ) (满分:2) A. g可积 B. g可测 C. g，a.e. D. 当g可测时g必可积8.若f,g是有界变差函数，则( ) (满分:2) A. f+g有界变差函数 B. fg有界变差函数 C. f/g有界变差函数 D. max(f g)有界变差函数福师实变函数在线作业二一、单选题：1.存在某区间a,b上增函数f，使得f(x)在a,b上积分值fdx=n)之和收敛. (满分:2) A. 错误 B

11、. 正确13.若f可测，则|f|可测，反之也成立. (满分:2) A. 错误 B. 正确三、判断题：14.闭集套定理的内容是：Fk是Rn中非空有界闭集的降列，则Fk对所有k取交集非空. (满分:2) A. 错误 B. 正确15.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。 (满分:2) A. 错误 B. 正确16.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+ (满分:2) A. 错误 B. 正确17.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性. (满分:2) A. 错误 B. 正确18.若f,gBV，|g|c0,则f/g属于BV。 (满分:2) A. 错误 B. 正确19.f可积的充要

12、条件:|f|可积。 (满分:2) A. 错误 B. 正确20.对任意可测集E，若f在E上可积，则有Limn-+ nME( )f|=n)=0. (满分:2) A. 错误 B. 正确21.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f0)有sigma-有限测度。 (满分:2) A. 错误 B. 正确22.若fAC，则f是连续的有界变差函数，即fCBV. (满分:2) A. 错误 B. 正确23.f在a,b上为增函数，则f(x)在a,b上积分值fdxf(b)-f(a) . (满分:2) A. 错误 B. 正确24.f,gM(X),则fgM(X). (满分:2) A. 错误 B. 正确25.绝对连续函数

13、是一类特殊的连续有界变差函数。 (满分:2) A. 错误 B. 正确26.若f,gBV，则f/g(g不为0)属于BV。 (满分:2) A. 错误 B. 正确27.设f为a,b上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数. (满分:2) A. 错误 B. 正确28.不存在这样的函数f：在区间a,b上增且使得f(x)在a,b上积分值fdxf(b)-f(a) . (满分:2) A. 错误 B. 正确29.若fLipa,b,则fACa,b. (满分:2) A. 错误 B. 正确30.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数. (满分:2) A. 错误 B. 正

14、确31.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差. (满分:2) A. 错误 B. 正确32.若f广义R可积且f不变号，则f L可积. (满分:2) A. 错误 B. 正确33.若f,gBV，则|f|,f+,f-,fg,fg属于BV。 (满分:2) A. 错误 B. 正确34.设f是区间a,b上的有界实函数，则f在a,b上R可积，当且仅当f在a,b上几乎处处连续. (满分:2) A. 错误 B. 正确35.有限覆盖定理的内容是：若U是Rn中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖. (满分:2) A. 错

15、误 B. 正确36.可数个Gdelta集之交和有限个Gdelta集之并仍是Gdelta集，但可数个Gdelta集之并未必仍是Gdelta集 (满分:2) A. 错误 B. 正确37.若fBV当且仅当f是两个增函数之差。 (满分:2) A. 错误 B. 正确1.若f∈L(X),则 (满分:2) A. f在X上几乎处处连续 B. 存在g∈L(X)使得|f|=g C. 若∫Xfdu=0 则f=0 a.e.2.在( )条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测. (满分:2) A. mE=0 B. 0mE+ C. mE=+ D. 0=mE0,a.e.是∫Efndx-

16、0( ) (满分:2) A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件4.下列关系式中不成立的是( ) (满分:2) A. f(∪Ai)=∪f(Ai) B. f∩(Ai)=f(∩Ai) C.(A∩B)0=A0∩B0 D.(∪Ai)c=∩(Aic)5.有限个可数集的乘积集是( ) (满分:2) A. 有限集 B. 可数集 C. 有连续统势的集 D. 基数为2c的集1.A，B是两个集合，则下列正确的是( ) (满分:2) A. f-1(f（A）)=A B. f-1(f（A）)包含A C. f(f-1（A）)=A

17、 D. f(AB)包含f(A)f(B)2.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则( ) (满分:2) A. m(A)m(B) B. m(A)=m(B) C. m(BA)=m(A) D. m(B)=m(A)+m(BA)3.设E1，E2是Rn中测度有限的可测集，则 (满分:2) A. m(E1E2)+m(E1E2)=mE1+mE2 B. 若E1包含于E2 mE1=mE2 C. 若E1包含于E2 m(E2E1)=mE2-mE14.若f∈ACa,b，则( ) (满分:2) A. f∈Ca b B. f∈BVa b C. f(x)=f(a)+∫ax f (t)

18、dt D. f∈Lipa b5.若0=g=f且f可积，则( ) (满分:2) A. g可积 B. g可测 C. g，a.e. D. 当g可测时g必可积6.设f为a,b上增函数，则f为( ) (满分:2) A. 几乎处处可微 B. L可积 C. f可积 D. 区间a b上积分值f(x)dx=f(b)-f(a)7.f(x)=1,x(-，+),则f(x)在(-，+)上 (满分:2) A. 有L积分值 B. 广义R可积 C. L可积 D. 积分具有绝对连续性8.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则( ) (满分:2) A. fn测度收敛于|f| B. afn+bgn测度收敛于af+bg C.(fn)2测度收敛于f2 D. fngn测度收敛于fg