福师15春《实变函数》在线作业一.docx

福师15春《实变函数》在线作业一.docx

《福师15春《实变函数》在线作业一.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福师15春《实变函数》在线作业一.docx（12页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

福师15春《实变函数》在线作业一

福师15春《实变函数》在线作业一

一、单选题：

1.若|A|=|B|,|C|=|D|，则|A∪C|=|C∪D|.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

2.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

3.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

4.可数集的测度必为零，反之也成立.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

5.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

二、多选题：

6.可积的充分条件:

若存在g∈L1,使得|f|<=g.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

7.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

8.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

9.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：

几乎处处可微而且导函数可积。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

10.若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

11.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

12.若f有界且m（X）<∞,则f可测。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

13.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'（x）在[a,b]上积分值∫fdx

2）

  A.错误

  B.正确

三、判断题：

14.若fn测度收敛于f，则1/fn也测度收敛于1/f.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

15.f可积的充要条件:

|f|可积。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

16.利用积分的sigma-可加性质（第二条款）可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

17.若fn与gn分别测度收敛于f与g，且fn<=gn，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

18.有限覆盖定理的内容是：

若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

19.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

20.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

21.若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

22.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g（g不为0）,f∧g,f∨g均属于AC。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

23.可数个Gdelta集之交和有限个Gdelta集之并仍是Gdelta集，但可数个Gdelta集之并未必仍是Gdelta集      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

24.若f,g∈BV，则f/g（g不为0）属于BV。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

25.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

26.f可积的必要条件:

f几乎处处有限，且集X（f≠0）有sigma-有限测度。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

27.对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

28.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

29.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

30.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

31.f∈BV，则f有“标准分解式”:

f（x）=f（a）+p（x）-n（x）,其中p（x）,n（x）分别为f的正变差和负变差.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

32.f为[a,b]上减函数，则f'（x）在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f（b）-f（a）.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

33.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

34.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

35.零测度集的任何子集都是可测集.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

36.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

37.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

1.下列关系式中不成立的是（  ）      （满分:

2）

  A.f（∪Ai）=∪f（Ai）

  B.f∩（Ai）=f（∩Ai）

  C.（A∩B）0=A0∩B0

  D.（∪Ai）c=∩（Aic）

2.若A为R^n中一疏集，则（  ）      （满分:

2）

  A.Ac为稠集

  B.A为开集

  C.A为孤立点集

  D.A不完备

3.fn->f,a.e.,则      （满分:

2）

  A.fn依测度收敛于f

  B.fn几乎一致收敛于f

  C.fn一致收敛于f

  D.|fn|->|f|

  a.e.

4.fn∈L（E）,则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（  ）      （满分:

2）

  A.充分条件

  B.必要条件

  C.充要条件

  D.非充分非必要条件

5.在（  ）条件下，E上的任何广义实函数f（x）都可测.      （满分:

2）

  A.mE=0

  B.0

  C.mE=+∞

  D.0<=mE<=+∞

1.若f∈AC[a,b]，则（  ）      （满分:

2）

  A.f∈C[a

  b]

  B.f∈BV[a

  b]

  C.f（x）=f（a）+∫axf'（t）dt

  D.f∈Lip[a

  b]

2.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则      （满分:

2）

  A.m（E1∪E2）+m（E1∩E2）=mE1+mE2

  B.若E1包含于E2

  mE1<=mE2

  C.若E1包含于E2

  m（E2\E1）=mE2-mE1

3.在R上定义f，当x为有理数时f（x）=1，当x为无理数时f（x）=0，则（  ）      （满分:

2）

  A.f在R上处处不连续

  B.f在R上为可测函数

  C.f几乎处处连续

  D.f不是可测函数

4.若f（x）为Lebesgue可积函数，则（  ）      （满分:

2）

  A.f可测

  B.|f|可积

  C.f^2可积

  D.|f|<∞.a.e.

5.A，B是两个集合，则下列正确的是（  ）      （满分:

2）

  A.f^-1（f（A））=A

  B.f^-1（f（A））包含A

  C.f（f^-1（A））=A

  D.f（A\B）包含f（A）\f（B）

6.f（x）=1,x∈（-∞，+∞）,则f（x）在（-∞，+∞）上      （满分:

2）

  A.有L积分值

  B.广义R可积

  C.L可积

  D.积分具有绝对连续性

7.若0<=g<=f且f可积，则（  ）      （满分:

2）

  A.g可积

  B.g可测

  C.g<∞，a.e.

  D.当g可测时g必可积

8.若f,g是有界变差函数，则（  ）      （满分:

2）

  A.f+g有界变差函数

  B.fg有界变差函数

  C.f/g有界变差函数

  D.max（f

  g）有界变差函数福师《实变函数》在线作业二

一、单选题：

1.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'（x）在[a,b]上积分值∫fdx

2）

  A.错误

  B.正确

2.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

3.g的连续点是L点，但L点未必是连续点.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

4.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

5.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

二、多选题：

6.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g（g不为0）,f∧g,f∨g均属于AC。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

7.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

8.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

9.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

10.若|f|和f^2都是有界变差，则f为有界变差.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

11.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

12.f在E上可积的充要条件是级数M[E（  ）f|>=n）]之和收敛.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

13.若f可测，则|f|可测，反之也成立.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

三、判断题：

14.闭集套定理的内容是：

{Fk}是R^n中非空有界闭集的降列，则Fk对所有k取交集非空.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

15.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

16.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

17.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

18.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

19.f可积的充要条件:

|f|可积。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

20.对任意可测集E，若f在E上可积，则有Lim{n->+∞}n·M[E（  ）f|>=n）]=0.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

21.f可积的必要条件:

f几乎处处有限，且集X（f≠0）有sigma-有限测度。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

22.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

23.f在[a,b]上为增函数，则f'（x）在[a,b]上积分值∫fdx≤f（b）-f（a）.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

24.f,g∈M（X）,则fg∈M（X）.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

25.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

26.若f,g∈BV，则f/g（g不为0）属于BV。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

27.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

28.不存在这样的函数f：

在区间[a,b]上增且使得f'（x）在[a,b]上积分值∫fdx

2）

  A.错误

  B.正确

29.若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

30.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

31.f∈BV，则f有“标准分解式”:

f（x）=f（a）+p（x）-n（x）,其中p（x）,n（x）分别为f的正变差和负变差.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

32.若f广义R可积且f不变号，则fL可积.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

33.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

34.设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

35.有限覆盖定理的内容是：

若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

36.可数个Gdelta集之交和有限个Gdelta集之并仍是Gdelta集，但可数个Gdelta集之并未必仍是Gdelta集      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

37.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。

      （满分:

2）

  A.错误

  B.正确

1.若f∈L（X）,则      （满分:

2）

  A.f在X上几乎处处连续

  B.存在g∈L（X）使得|f|<=g

  C.若∫Xfdu=0

  则f=0

  a.e.

2.在（  ）条件下，E上的任何广义实函数f（x）都可测.      （满分:

2）

  A.mE=0

  B.0

  C.mE=+∞

  D.0<=mE<=+∞

3.fn∈L（E）,则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（  ）      （满分:

2）

  A.充分条件

  B.必要条件

  C.充要条件

  D.非充分非必要条件

4.下列关系式中不成立的是（  ）      （满分:

2）

  A.f（∪Ai）=∪f（Ai）

  B.f∩（Ai）=f（∩Ai）

  C.（A∩B）0=A0∩B0

  D.（∪Ai）c=∩（Aic）

5.有限个可数集的乘积集是（  ）      （满分:

2）

  A.有限集

  B.可数集

  C.有连续统势的集

  D.基数为2^c的集

1.A，B是两个集合，则下列正确的是（  ）      （满分:

2）

  A.f^-1（f（A））=A

  B.f^-1（f（A））包含A

  C.f（f^-1（A））=A

  D.f（A\B）包含f（A）\f（B）

2.若A和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（  ）      （满分:

2）

  A.m（A）

  B.m（A）<=m（B）

  C.m（B\A）=m（A）

  D.m（B）=m（A）+m（B\A）

3.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则      （满分:

2）

  A.m（E1∪E2）+m（E1∩E2）=mE1+mE2

  B.若E1包含于E2

  mE1<=mE2

  C.若E1包含于E2

  m（E2\E1）=mE2-mE1

4.若f∈AC[a,b]，则（  ）      （满分:

2）

  A.f∈C[a

  b]

  B.f∈BV[a

  b]

  C.f（x）=f（a）+∫axf'（t）dt

  D.f∈Lip[a

  b]

5.若0<=g<=f且f可积，则（  ）      （满分:

2）

  A.g可积

  B.g可测

  C.g<∞，a.e.

  D.当g可测时g必可积

6.设f为[a,b]上增函数，则f为（  ）      （满分:

2）

  A.几乎处处可微

  B.L可积

  C.f'可积

  D.区间[a

  b]上积分值∫f'（x）dx=f（b）-f（a）

7.f（x）=1,x∈（-∞，+∞）,则f（x）在（-∞，+∞）上      （满分:

2）

  A.有L积分值

  B.广义R可积

  C.L可积

  D.积分具有绝对连续性

8.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（  ）      （满分:

2）

  A.fn测度收敛于|f|

  B.afn+bgn测度收敛于af+bg

  C.（fn）^2测度收敛于f^2

  D.fngn测度收敛于fg