数列的极限.docx

1、数列的极限数列的极限【知识概要】1.数列极限的定义1)数列的极限，在无限增大的变化过程中，如果数列”中的项无限趋向于某个常 数A,那么称A为数列”的极限，记作lima” = A.换句话说，即：对于数列如 果存在一个常数A,对于任意给泄的0,总存在自然数N ,当nN时，不等式 I川 cinn2, 5为偶数)(2)不匸确，例如：an = an,但iman =1.n 28（4） 正确2.数列极限的运算性质1）数列极限的运算性质如果ima=A, hmb=B9 那么nh1lima 仇)=Hmcin limb” = AB ；n“fx 2im(an -bn) = limaH -limbn =A B；HT30

2、 na lim a3lim丄= = (3 HO)一 bn limZ?K B特别地，如果C是常数，那么lim(C-aj = limC-liman =C-A./a ll-x n-x2)四种常见的重要极限(1) limC = C30(3) limb =0(1 vgvl)(2) lim丄=0川* n(4) lim(l + )r, =e 川十c ?例2下列命题中正确的命题是（ ）(A)若lima” = A,HT30a Ahmb=B.则lim = - * h B(B)若 liman = 0 则 lim(a0r)=0f x noc(C)若 lim an2 = A2,则 lim an = A(D)若 lima

3、n = A 则 limaw2 = A2HfR FITOC解：选(D)已知 limz-l)zr = 2 求 limnan/roc nx解:lim natt = lim ？ 一 l)q厂 lim - = 2x= 1 n“TOC 2/7 1 2求下列数列的极限2/z-lJ n 7 2lim =37 f 2ir -zi + 3(3) lim亦+1 -J畀一 1) = 1 ：(4)xl2 + l 丿 e(5)lim(l-1)(1-1)(1 一丄)(1 一丄)=0;23 4 n(6).1 + 2 + 3 + + n 1 lim ； =-宀 /r 23.数列极限常见的解题技巧现阶段求数列的极限，总是把被求极

4、限的数列变形四个常见的基本极限，再依据极限的 四则运算法则求解。所谓的解题技巧”，也就是如何变形的问题。一般来说，关于”的数列通项a=f(n),如果仅仅只在底数的位苣中含序号”，往往变形为F(-),利用lim- = 0求解：如果仅仅只在指数的位置中含序号，往往变形成 n 心00 nW),利用limq= 0求解:如果既在底数的位置中含序号-又在指数的位置中含序号往往变形成凡(1 +丄)T的形式，利用lim(l + -r=e求解同时遵循先化简再变形的原77 Hfg H则.例 5 若lim(3an + 4) = &lim(6陽一化)=1,求lim(3舛 + bn).解：根据 3an+bn =x(3a

5、n+4bn) + y(6an-bn)求解，可得 lim(3色 + 化)= 3.口 TOC【课堂练习】1.下列命题正确的是（ ）数列（-1人行没有极限数列（一厅扌的极限为0的极限为d没有极限A. 答案：DB. C. D.数列W +数列2.命题：单调递减的无穷数列不存在极限：常数列的极限是这个常数本身：摇摆的 无穷数列不存在极限以上命题正确的是（）A. 0 B. 1 C.2 D. 3答案：B.由极限的宦义仅有是正确的的反例是迅二丄这是无穷单调递减数列，它的极nIl _ Rn+l 3已知则怛云产的值是（B ）A. B. C. b D.不存在a a4.设S”是无穷等比数列的前”项和，若limS广丄，则

6、首项的取值范围是(C )”fX 4A. (0, ) B. (0, C. (0, )U ( , ) D. (0, ) U ( 9 1)4 2 4 4 2 4 25.在数列中，若 lim(3”一l)a = 1,则 limna - 6./r-x 7. 已知 lim ( : an 一 方)=0 ,贝ij a - , b 二 心8 n +1&已知无穷等比数列勺的首项为公比为q且有lim （上_一/）=丄，则首项的 2_q 2取值范围是 “宀 1 28.答案：5. - 6. - 7. 1 -139式就可求得的取值范帀.所以卩|2/|,两边平方，得：(1一)2 0,(3“一l)(a +1) 0 ,所以a -

7、.3答案B10.在数列中，已知4，且勺=一2陥（心2）,求lim咯.3 宀s；211.已知 f(Q= (jv0),设勺=1&利/(%) = 2(neN),2+4（1）数列的通项公式；（2） limw-x2解：(1)由血+尸 f(务)=2,得念+F ；=2吋+4.*f-aL4 . /是以1为首项，4为公差的等差数列,/. a/=l+4 (n 1) =4刀一3* 0 aF J 4 3当b V2,即一2b2,即b2或b-2时，原式二歹-,（-2Z?2 或方 0,d H lj: e N)求%:求lim(a2n -1)/7(3)求证：(n + 2)( + )an + n(n + 2)afj =1 时，等式亦成立. a.n(an an -) nN*由(1) a.=n (a_， a z)=n(al) a SF(a： 1) (l+2a=+3a*+5)a5F (a3 1) (a=+2/+“+(n 1) a ：+na) (l+ef+戲+” - na ) (a1)(3)若要证(卅2)(卅1)去+力(穴2)2刀(卅1),只要证乞+上上L0原不等式成立.【真题演练】I 1 11 + +一14.求limJ 的值为(NTH 1 11+ + + 4(A). 03(B)I1(C)巧(D). 1答案：(B)15设等差数列%的前n项和为SS若 & =S3 = 12,则 lim-7 =答案：1