数列的极限.docx
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数列的极限
数列的极限
【知识概要】
1.数列极限的定义
1）数列的极限，在"无限增大的变化过程中，如果数列｛"”｝中的项％无限趋向于某个常数A,那么称A为数列｛"”｝的极限，记作lima”=A.换句话说，即：
对于数列如果存在一个常数A,对于任意给泄的£>0,总存在自然数N,当n>N时，不等式I©—川<£恒成立，把q叫做数列｛勺｝的极限，记为hmatl=A・
11
注：
①理解数列极限的关键在于弄淸什么是无限增大，什么是无限趋近；
2有限项的数列不存在极限问题，只有无穷项数列才存在极限问题：
3这里的常数力是唯一的，每个无穷数列不一立都有极限，例如：
｛（-1）"｝:
4研究一个数列的极限，关注的是数列后面无限项的问题，改变该数列前而任何有限多个项，都不能改变这个数列的极限：
5“无限趋近于A”是指数列｛"”｝后而的项与A的"距离”可以无限小到"零”.
例1判断下列结论的正误
（1）若lima”=0,则越来越小;
/r—
（2）若\iman=A,且｛©｝不是常数数列，则山无限接近A,但总不能达到A；”fH
（3）在数列｛%｝中，如果对一切neN总有则｛色｝没有极限:
（4）若liman=A•贝ijliml^-A\=0.
“f3C"TOO1
解：
（1）不j匸确，例如：
5=-丄，«/r+|>cin
n
2,5为偶数）
（2）不匸确，例如：
an=<
2/?
…，lim«n=2・
S为奇数）一」[n+\
（3）不正确,例如：
an=1-—,an+1>an,但]iman=1.
n28
（4）正确
2.数列极限的运算性质
1）数列极限的运算性质
如果\ima=A,hmb=B9那么
n—h
1lima±仇）=Hmcin±limb”=A±B；
n—“fx►»
2］im（an-bn）=limaH-limbn=AB；
HT30n—
alim©a
3lim丄=^^=—（3HO）・
一—bnlimZ?
KB
特别地，如果C是常数，那么lim（C-aj=limC-liman=C-A.
/—a©ll-^xn-^x
2）四种常见的重要极限
（1）limC=C
30
（3）limb=0（—1vgvl）
（2）lim丄=0
川*n
（4）lim（l+—）r,=e川十c>?
例2下列命题中正确的命题是（）
（A）若lima”=A,
HT30
aA
hmb=B.则lim^=-*—hB
（B）若liman=0>则lim（a0r）=0
□fxn—>oc
（C）若liman2=A2,则liman=A
（D）若liman=A>则limaw2=A2
HfRFITOC
解：
选（D）
已知lim［⑵z-l）«zr］=2>求limnan・
/r—>ocn—>x
解:
limnatt=lim⑵？
一l）q厂lim—-—=2x—=1n—“TOC2/7—12
求下列数列的极限
2/z-lJ1（nwN"）,贝ijlimalt=0
——Jl>72"
lim®=37・
f2ir-zi+3
（3）lim亦+1-J畀一1）=1：
（4）
・xl2〃+l丿e
（5）lim（l-1）（1-1）（1一丄）・・・（1一丄）=0;
234n
（6）
..1+2+3+・・・+n1lim；=-
宀/r2
3.数列极限常见的解题技巧
现阶段求数列的极限，总是把被求极限的数列变形四个常见的基本极限，再依据极限的四则运算法则求解。
所谓的解题'‘技巧”，也就是如何变形的问题。
一般来说，关于”的数列通项a„=f（n）,如果仅仅只在底数的位苣中含序号”，往往
变形为F（-）,利用lim-=0求解：
如果仅仅只在指数的位置中含序号〃，往往变形成n心00n
W）,利用limq〃=0求解:
如果既在底数的位置中含序号-又在指数的位置中含序号
往往变形成凡（1+丄）T的形式，利用lim（l+-r=e求解•同时遵循先化简再变形的原
77HfgH
则.
例5若lim（3an+4®）=&lim（6陽一化）=1,求lim（3舛+bn）.
解：
根据3an+bn=x（3an+4bn）+y（6an-bn）求解，可得lim（3色+化）=3.
口TOC
【课堂练习】
1.下列命题正确的是（）
①数列｛（-1人行｝没有极限
②数列｛（一厅扌｝的极限为0
的极限为d
没有极限
A.①②答案：
D
B.②③®C.①②®D.①②©④＜
③数列W+
④数列
2.命题：
①单调递减的无穷数列不存在极限：
②常数列的极限是这个常数本身：
③摇摆的无穷数列不存在极限•以上命题正确的是（）
A.0B.1C.2D.3
答案：
B.由极限的宦义仅有②是正确的•①的反例是迅二丄这是无穷单调递减数列，它的极
n
Il_Rn+l]
3•已知则怛云产的值是（B）
A.——B.—C.—bD.不存在
aa
4.设S”是无穷等比数列的前”项和，若limS广丄，则首项®的取值范围是（C）
”fX4
A.（0,—）B.（0,—〉C.（0,—）U（—,—）D.（0,—）U（—91）
4244242
5.在数列｛①｝中，若lim（3”一l）a=1,则limna-・
6.
/r->x
£]
7.已知lim（~~:
an一方）=0,贝ija-,b二
心8n+1
&已知无穷等比数列｛勺｝的首项为公比为q且有lim（上_一/）=丄，则首项©的2_q2
取值范围是■
“宀12
8.
答案：
5.-6.-7.1-1
3
9
式就可求得"的取值范帀.
所以卩—«|<|2^/|,两边平方，得：
（1一°）2<4/,
3/+2a—1>0,（3“一l）（a+1）>0,所以a<-\>-.
3
答案B
10.在数列｛©｝中，已知4」，且勺=一2»陥（心2）,求lim咯.
3宀s；
2
11.已知f（Q=「（jv>0）,设勺=1&利・/（%）=2（neN‘）,
2+4
（1）数列｛£｝的通项公式；
（2）lim
w->x
2
解：
（1）由血+尸•f（务）=2,得念+F•—；——=2
吋+4
.•・*f-aL4・•.{/}是以1为首项，4为公差的等差数列,
/.a/=l+4（n—1）=4刀一3
*•*>0aFJ4〃—3
当bV2,即一23
当b=2,即b=±2时，原式二］
5
当b>2,即b>2或b<-2时，原式二歹
--,（-2<2）
3
7
综上，原式二］=,（b=±2）
b\（b>2或方<一2）
12•如图，在边长为/的等边△叔：
中，圆q为△於氏的内切圆，圆q与圆0］外切，且与
朋、氏相切，…，圆0心与圆Q外切，且与曲、氏相切，如此无限继续下去，记圆q的
（【）证明｛©｝是等比数列:
（II）求lim（q+偽+佝+•••+§）的值.
/r—►»
1J3解：
（I）记n为圆必的半径・乃二一tan30°=—2,
2
・・.冷「1（心2）
6
••刊一丁【1\
12
13.设数列｛%｝满足4+纟+仮+•••+乞二孑一1,｛%｝的前M项和为
23n
Sn｛a>0,dHlj:
eN「）・
⑴求｛%｝:
⑵求lim
（a2n-1）/7
（3）求证：
（n+2）（〃+\）an+n（n+2）afj^<2n（n+l）f//l+2
解:
⑴“烤+晋+•••+牛z
・5守诗+•••+汩肓…-1（心2）
Va^a~1•••当/>=1时，等式亦成立.a.^n（an—an-）n£N*
⑵由
（1）a.^=n（a_，—a"z）=n（a—l）a'"SF（a：
—1）（l+2a=+3a*+5）
a'5F（a3—1）（a=+2//+・“+（n—1）a"：
+na"~）
（l+ef+戲+•••+"”-—na"）（a—1）
（3）若要证（卅2）（卅1）去+力（穴2）»<2刀（卅1）—,只要证乞+上上L<2・竺-
nn+1n+2
・.・2•也勺_2」"+2%"2-1）（严2毗『-1）才"（"+1）（/-1屮
n+2nn+1n+2nn+1
=（a2-l）•a3fl_s（2a-l-a2）=（/-l）3-asw_s（2a3+l）>0
•••原不等式成立.
【真题演练】
I11
1+—+・•・一—
14.求lim—J——的值为（
NTH11
1+—+・•・+4
（A）.0
3
（B）I
1
（C）巧
（D）.1
答案：
（B）
15•设等差数列｛%｝的前n项和为S「
S
若&=S3=12,则lim-7=
答案：
1
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