函数的单调性.docx

1、函数的单调性设计方案（二）教学过程第1课时 函数的单调性导入新课思路1.为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，如图1-3-1-7是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.图1-3-1-7问题：观察图1-3-1-7，能得到什么信息？(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考回答.教师：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随

2、着自变量的变化，函数值是变大或变小.思路2.如图1-3-1-8所示,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：图1-3-1-8随x的增大，y的值有什么变化？引导学生回答，点拨提示，引出课题.设计意图:创设情景，引起学生兴趣.推进新课新知探究提出问题问题:分别作出函数y=x+2,y=-x+2,y=x2,y=的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律.如图1-3-1-9所示:图1-3-1-9问题:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?设计意图:从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识：直观感知.问题:如图1-3-1-10是函数y=x+ (x0)的

3、图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？图1-3-1-10设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.问题:如何从解析式的角度说明f(x)=x2在0,+)上为增函数？设计意图:把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫.问题:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?设计意图:让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准

4、确的学生提示引导考虑问题的思路.引导方法与过程：问题：引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数)，同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质.问题：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识.学生的困难是难以确定分界点的确切位置.问题：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.问题：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1、x2.问题：师

5、生共同探究：利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.归纳总结：1.函数单调性的几何意义：如果函数y=f(x)在区间D上是增（减）函数，那么在区间D上的图象是上升的（下降的）.2.函数单调性的定义：略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数.讨论结果：(1)函数y=x+2，在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y=-x+2，在整个定义域内y随x的增大而减小.(2)函数y=x2，在0,+)上y随x的增大而增大，在(-,0)上y随x的增大而减小.(3)函数y=，在(0,+)上y随x的增大而减小，在(-,0)上y随x的增大而减小.如果函数f(x)在某个区间上随自

6、变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数.不能.(1)在给定区间内取两个数，例如2和3，因为2232，所以f(x)=x2在0,+)上为增函数.(2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以f(x)=x2在0,+)上为增函数.(3)任取x1、x20,+),且x1x2,因为x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)0,即x12x22.所以f(x)=x2在0,+)上为增函数.略应用示例思路1例1课本P29页例1.思路分析：利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论，再回答.点评：本题

7、主要考查函数单调性的几何意义.图象法求函数单调区间的步骤:画函数的图象；观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.图象法的难点是画函数的图象，常见画法有描点法和变换法.答案：略.变式训练课本P32练习4.例2课本P32页例2.思路分析：按题意，只要证明函数p=在区间（0，+）上是减函数即可，用定义证明.点评：本题主要考查函数的单调性.利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：（定义法）任取x1、x2D，且x1x2；作差f(x1)f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）.易错

8、分析：错取两个特殊值x1、x2来证明.答案：略.变式训练判断下列说法是否正确：已知f(x)=,因为f(-1)f(2),所以函数f(x)是增函数.若函数f(x)满足f(2)0，能断定函数f(x)在区间(a,b)上是增函数吗?活动：引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数f(x)=x在0,+)上是增函数.讨论结果：能.例2用计算机画出函数y=的图象，根据图象指出单调区间，并用定义法证明.思路分析：在图象上观察在哪个区间函数图象是上升的，在哪个区间函数图象是下降的，借助于单调性的几何意义写出单调区间，再用定义证明.教师画出图象，学生回答，如果遇到障碍，就提示利用函数单调性

9、的几何意义写出单调区间.点评：讨论函数单调性的三部曲：第一步，画函数的图象；第二步，借助单调性的几何意义写出单调区间；第三步，利用定义加以证明.答案：略.变式训练画出函数y=的图象，根据图象指出单调区间.活动：教师引导学生利用变换法（也可以用计算机）画出图象，根据单调性的几何意义写出单调区间，再利用定义法证明.答案：略.知能训练课本P32练习2.拓展提升试分析函数y=x+的单调性.活动：先用计算机画出图象，找出单调区间，再用定义法证明.答案：略.课堂小结学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结.(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.

10、(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论.(3)数学思想方法：数形结合.(4)函数单调性的几何意义是:函数值的变化趋势,即图象是上升的或下降的.设计感想本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.作业:课本P39习题1.3A组2、3、4.(设计者：张新军)第2课时 函数的最值导

11、入新课思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址,新厂址的长为x m，则宽为m，所建围墙ym，假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短?学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y=2(x+),x0的最小值.引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢?这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题.思路2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或

12、最低点，并说明它能体现函数的什么特征？f(x)=-x+3；f(x)=-x+3,x-1,2；f(x)=x2+2x+1;f(x)=x2+2x+1,x-2,2.学生回答后，教师引出课题：函数的最值.推进新课新知探究提出问题如图1-3-1-11所示，是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x-1,+)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征.图1-3-1-11函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系？你是怎样理解函数图象最高点的?问题1中，在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如图1-3-1-12所示，设点C的坐标为(x0,y0)，谁能用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有

13、最高点C？图1-3-1-12在数学中，形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义？函数最大值的定义中f(x)M即f(x)f(x0)，这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？函数最大值的几何意义是什么？函数y=-2x+1,x(-1,+)有最大值吗？为什么？点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x(-1,+)的最高点？由这个问题你发现了什么值得注意的地方？讨论结果:函数y=-x2-2x图象有最高点A，函数y=-2x+1,x-1,+)图象有最高点B，函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个

14、函数的图象的共同特征是都有最高点.函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.由于点C是函数y=f(x)图象的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有yy0，即f(x)f(x0)，也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x，均有f(x)f(x0)成立.一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值.f(x)M反映了函数y=f(x)的所有函数

15、值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.函数图象上最高点的纵坐标.函数y=-2x+1,x(-1,+)没有最大值，因为函数y=-2x+1,x(-1,+)的图象没有最高点.不是，因为该函数的定义域中没有1.讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点.提出问题类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.类比问题9，你认为讨论函数最小值应注意什么？活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义.最高点类比最低点，符号不等号“”类比不等号“”.函数的最大值和最小值统称为函数的最值.讨论结

16、果：函数最小值的定义是:一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标.讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点.应用示例思路1例1求函数y=在区间2，6上的最大值和最小值.活动：先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调

17、性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变换法画出函数y=的图象，只取在区间2，6上的部分.观察可得函数的图象是上升的.解：设2x1x26,则有f(x1)-f(x2)= = = 2x10,(x1-1)(x2-1)0.f(x1)f(x2),即函数y=在区间2，6上是减函数.所以，当x=2时，函数y=在区间2，6上取得最大值f(2)=2；当x=6时，函数y=在区间2，6上取得最小值f(6)=.变式训练1.求函数y=x2-2x(x-3,2)的最大值和最小值_.答案：最大值是f(-3)=15，最小值是f(1)=-1.2.函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是.分析：（换元法）转化为

18、求二次函数的最小值.设x2=t，y=t2+2t-1(t0)，又当t0时，函数y=t2+2t-1是增函数，则当t=0时，函数y=t2+2t-1(t0)取最小值1.所以函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是1.答案：-13.画出函数y=x22|x|3的图象，指出函数的单调区间和最大值.分析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间.解：函数图象如图1-3-1-13所示.图1-3-1-13由图象得，函数的图象在区间（，1）和0，1上是上升的，在1，0和（1，）上是下降的，最高点是(1,4)，故函数在（，1），0，1

19、上是增函数；函数在1，0，（1，）上是减函数，最大值是4.点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法.求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题.单调法求函数最值：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：如果函数y=f(x)在区间(a,b上单调递增，在区间b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间(a,b上单调递减，在区间b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到

20、最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错.并对学生的板书及时评价.将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18取得最大值；“这时距地面的高度是多少（精确到1 m）”就是函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值；转化为求函数h(t

21、)=-4.9t2+14.7t+18的最大值及此时自变量t的值.解：画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象，如图1-3-1-14所示，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻，纵坐标就是这时距离地面的高度.图1-3-1-14由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有：当t=1.5时，函数有最大值,即烟花冲出去后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是审清题意读懂题；将实际问题转化为数学问题来解决；归纳结论.注意

22、：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.变式训练1.2006山东菏泽二模，文10把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A. cm2 B.4cm2 C.3cm2 D.2cm2解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4-x) cm，两个三角形的面积和为S，则S=x2+ (4-x)2= (x-2)2+22.当x=2时，S取最小值2m2.故选D.答案：D2.某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加

23、利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大，并求出最大利润.分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答.利润（售价进价）销售量.解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则y=(x-8)60-(x-10)10=-10(x-12)2-16=-10(x-12)2+160(10x16).当且仅当x=12时，y有最大值160元，即售价定为12元时可获最大利润160元.思路2例1已知函数f(x)=x+,x0，（1）证明当0x0的最小值.活动：学生思考判断函数单调性的方法，以及函数最小值的含义.（1）利用

24、定义法证明函数的单调性；（2）应用函数的单调性得函数的最小值.（1）解：任取x1、x2（0，+）且x1x2，则f（x1）f（x2）=（x1）（x2+）=（x1x2）+=，x1x2，x1x20.当0x1x21时，x1x2-10，f（x1）f（x2）0.f（x1）f（x2），即当0x0，f（x1）f（x2）0.f（x1）f（x2）,即当x1时，函数f(x)是增函数.（2）解法一：由（1）得当x=1时，函数f(x)=x+,x0取最小值.又f(1)=2，则函数f(x)=x+,x0取最小值是2.解法二：借助于计算机软件画出函数f(x)=x+,x0的图象，如图1-3-1-15所示，图1-3-1-15由图象

25、知，当x=1时，函数f(x)=x+,x0取最小值f(1)=2.点评：本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛”；三个步骤缺一不可.利用函数的单调性求函数的最值的步骤：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：如果函数y=f(x)在区间(a,b上单调递增，在区间b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间(a,b上单调递减，在区间b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).这种求函数最值的方法称为单调法.图象法求函数的最值的步骤：画出函数的图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写

26、出最值.变式训练1.求函数y=（x0）的最大值.解析:可证明函数y=（x0）是减函数，函数y=（x0）的最大值是f(0)=3.2.求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.解法一：（图象法）y|x+1|+|x-1|=其图象如图1-3-1-16所示.图1-3-1-16由图象得，函数的最小值是2，无最大值.解法二：（数形结合）函数的解析式y=|x+1|+|x-1|的几何意义是：y是数轴上任意一点P到1的对应点A、B的距离的和，即y=|PA|+|PB|,如图1-3-1-17所示，图1-3-1-17观察数轴,可得|PA|+|PB|AB|=2，即函数有最小值2，无最大值.3.2007天利高考第一

27、次全国大联考（江苏卷），11设0x1,则函数y=+的最小值是.分析：y=,当0x1时，x(1-x)=-(x)2+,y4.答案：4例2将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？活动：让学生思考利润的意义，以及利润和售价之间的函数关系.设出一般情况，转化为求二次函数的最值.解决此类应用题，通常是建立函数模型，这是解题的关键.解：设每个售价为x元时，获得利润为y元，则每个涨（x-50）元，从而销售量减少10(x-50)个,共售出500-10(x-50)=1000-10x(个).y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2+9 000(50x100）.当x=70时,ymax=9000,即为了赚取最大利润，售价应定为70元.点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是：审清题意读懂题；将实际问题转化为数学问题来解决；归纳结论.注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.变式训练1.已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m为正常数.当m=时，该商品的价格