函数的单调性.docx

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函数的单调性

设计方案

（二）

教学过程

第1课时函数的单调性

导入新课

思路1.

为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，如图1-3-1-7是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.

图1-3-1-7

问题：

观察图1-3-1-7，能得到什么信息？

（1）当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；

（2）在某时刻的温度；

（3）某些时段温度升高，某些时段温度降低.

引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考回答.教师：

在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.归纳：

用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大或变小.

思路2.如图1-3-1-8所示,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

图1-3-1-8

随x的增大，y的值有什么变化？

引导学生回答，点拨提示，引出课题.

设计意图:

创设情景，引起学生兴趣.

推进新课

新知探究

提出问题

问题①:

分别作出函数y=x+2,y=-x+2,y=x2,y=

的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律.

如图1-3-1-9所示:

图1-3-1-9

问题②:

能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

设计意图:

从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识：

直观感知.

问题③:

如图1-3-1-10是函数y=x+

（x>0）的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？

图1-3-1-10

设计意图:

使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.

问题④:

如何从解析式的角度说明f（x）=x2在［0,+∞）上为增函数？

设计意图:

把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫.

问题⑤:

你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

设计意图:

让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.

活动：

先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

引导方法与过程：

问题①：

引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的（增函数、减函数），同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质.

问题②：

这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识.

学生的困难是难以确定分界点的确切位置.

问题③：

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.

问题④：

对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1、x2.

问题⑤：

师生共同探究：

利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.

归纳总结：

1.函数单调性的几何意义：

如果函数y=f（x）在区间D上是增（减）函数，那么在区间D上的图象是上升的（下降的）.

2.函数单调性的定义：

略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数.

讨论结果：

①

（1）函数y=x+2，在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y=-x+2，在整个定义域内y随x的增大而减小.

（2）函数y=x2，在［0,+∞）上y随x的增大而增大，在（-∞,0）上y随x的增大而减小.（3）函数y=

，在（0,+∞）上y随x的增大而减小，在（-∞,0）上y随x的增大而减小.

②如果函数f（x）在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f（x）在该区间上为增函数；如果函数f（x）在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f（x）在该区间上为减函数.

③不能.

④

（1）在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以f（x）=x2在［0,+∞）上为增函数.

（2）仿

（1），取多组数值验证均满足，所以f（x）=x2在［0,+∞）上为增函数.

（3）任取x1、x2∈［0,+∞）,且x1

⑤略

应用示例

思路1

例1课本P29页例1.

思路分析：

利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论，再回答.

点评：

本题主要考查函数单调性的几何意义.

图象法求函数单调区间的步骤:

①画函数的图象；

②观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.

图象法的难点是画函数的图象，常见画法有描点法和变换法.

答案：

略.

变式训练

课本P32练习4.

例2课本P32页例2.

思路分析：

按题意，只要证明函数p=

在区间（0，+∞）上是减函数即可，用定义证明.

点评：

本题主要考查函数的单调性.

利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

（定义法）

①任取x1、x2∈D，且x1

②作差f（x1）－f（x2）；

③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；

⑤下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）.

易错分析：

错取两个特殊值x1、x2来证明.

答案：

略.

变式训练

判断下列说法是否正确：

①已知f（x）=

因为f（-1）

（2）,所以函数f（x）是增函数.

②若函数f（x）满足f

（2）

③若函数f（x）在区间（1,2］和（2,3）上均为增函数，则函数f（x）在区间（1,3）上为增函数.

④因为函数f（x）=

在区间（-∞,0）和（0,+∞）上都是减函数，所以f（x）=

在（-∞,0）∪（0,+∞）上是减函数.

活动：

教师强调以下三点后,让学生判断.

1.单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.

2.有的函数在整个定义域内单调（如一次函数），有的函数只在定义域内的某些区间单调（如二次函数），有的函数根本没有单调区间（如常函数）.

3.函数在定义域内的两个区间A、B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A∪B上是增（或减）函数.

答案：

这四个判断都是错误的.

思考：

如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?

证明一个命题成立时，需要有严格的逻辑推理过程，而否定一个命题只需举一个反例即可.也就是说，只要找到两个特殊的自变量，不符合定义就行.

思路2

例1证明函数f（x）=x+

在（2,+∞）上是增函数.

思路分析：

利用单调性的定义证明.可以利用信息技术，先画出函数的图象，体会一下再证明.

点评：

本题主要考查函数的单调性.

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：

设元、作差、变形、断号、定论.

答案：

略.

变式训练

证明函数f（x）=x在［0,+∞）上是增函数.

思路分析：

此函数是一个具体的函数，用定义法证明.

思考：

除了用定义外，如果证得对任意的x1、x2∈（a,b），且x1≠x2有分f（x2）-f（x1）x2-x1式>0，能断定函数f（x）在区间（a,b）上是增函数吗?

活动：

引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数f（x）=x在［0,+∞）上是增函数.

讨论结果：

能.

例2用计算机画出函数y=

的图象，根据图象指出单调区间，并用定义法证明.

思路分析：

在图象上观察在哪个区间函数图象是上升的，在哪个区间函数图象是下降的，借助于单调性的几何意义写出单调区间，再用定义证明.

教师画出图象，学生回答，如果遇到障碍，就提示利用函数单调性的几何意义写出单调区间.

点评：

讨论函数单调性的三部曲：

第一步，画函数的图象；

第二步，借助单调性的几何意义写出单调区间；

第三步，利用定义加以证明.

答案：

略.

变式训练

画出函数y=

的图象，根据图象指出单调区间.

活动：

教师引导学生利用变换法（也可以用计算机）画出图象，根据单调性的几何意义写出单调区间，再利用定义法证明.

答案：

略.

知能训练

课本P32练习2.

拓展提升

试分析函数y=x+

的单调性.

活动：

先用计算机画出图象，找出单调区间，再用定义法证明.

答案：

略.

课堂小结

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结.

（1）概念探究过程：

直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.

（2）证明方法和步骤：

设元、作差、变形、断号、定论.

（3）数学思想方法：

数形结合.

（4）函数单调性的几何意义是:

函数值的变化趋势,即图象是上升的或下降的.

设计感想

本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识.

考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.

作业:

课本P39习题1.3A组2、3、4.

（设计者：

张新军）

第2课时函数的最值

导入新课

思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10000m2的矩形新厂址,新厂址的长为xm，则宽为

m，所建围墙ym，假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短?

学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y=2（x+

）,x>0的最小值.引出本节课题：

在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢?

这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题.

思路2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

①f（x）=-x+3；②f（x）=-x+3,x∈［-1,2］；

③f（x）=x2+2x+1;④f（x）=x2+2x+1,x∈［-2,2］.

学生回答后，教师引出课题：

函数的最值.

推进新课

新知探究

提出问题

①如图1-3-1-11所示，是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈［-1,+∞）、y=f（x）的图象.观察这三个图象的共同特征.

图1-3-1-11

②函数图象上任意点P（x,y）的坐标与函数有什么关系？

③你是怎样理解函数图象最高点的?

④问题1中，在函数y=f（x）的图象上任取一点A（x,y），如图1-3-1-12所示，设点C的坐标为（x0,y0），谁能用数学符号解释：

函数y=f（x）的图象有最高点C？

图1-3-1-12

⑤在数学中，形如问题1中函数y=f（x）的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f（x）的最大值.谁能给出函数最大值的定义？

⑥函数最大值的定义中f（x）≤M即f（x）≤f（x0），这个不等式反映了函数y=f（x）的函数值具有什么特点？

其图象又具有什么特征？

⑦函数最大值的几何意义是什么？

⑧函数y=-2x+1,x∈（-1,+∞）有最大值吗？

为什么？

⑨点（-1,3）是不是函数y=-2x+1,x∈（-1,+∞）的最高点？

⑩由这个问题你发现了什么值得注意的地方？

讨论结果:

①函数y=-x2-2x图象有最高点A，函数y=-2x+1,x∈［-1,+∞）图象有最高点B，函数y=f（x）图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.

②函数图象上任意点P的坐标（x,y）的意义:

横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.

③图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.

④由于点C是函数y=f（x）图象的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f（x）≤f（x0），也就是对函数y=f（x）的定义域内任意x，均有f（x）≤f（x0）成立.

⑤一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；

（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M.

那么，称M是函数y=f（x）的最大值.

⑥f（x）≤M反映了函数y=f（x）的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.

⑦函数图象上最高点的纵坐标.

⑧函数y=-2x+1,x∈（-1,+∞）没有最大值，因为函数y=-2x+1,x∈（-1,+∞）的图象没有最高点.

⑨不是，因为该函数的定义域中没有－1.

⑩讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点.

提出问题

①类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.

②类比问题9，你认为讨论函数最小值应注意什么？

活动：

让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义.最高点类比最低点，符号不等号“≤”类比不等号“≥”.函数的最大值和最小值统称为函数的最值.

讨论结果：

①函数最小值的定义是:

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；

（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M.

那么，称M是函数y=f（x）的最小值.

函数最小值的几何意义：

函数图象上最低点的纵坐标.

②讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点.

应用示例

思路1

例1求函数y=

在区间［2，6］上的最大值和最小值.

活动：

先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，才提示：

图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变换法画出函数y=

的图象，只取在区间［2，6］上的部分.观察可得函数的图象是上升的.

解：

设2≤x1

f（x1）-f（x2）=

=

=

∵2≤x10,（x1-1）（x2-1）>0.

∴f（x1）>f（x2）,即函数y=

在区间［2，6］上是减函数.

所以，当x=2时，函数y=

在区间［2，6］上取得最大值f

（2）=2；

当x=6时，函数y=

在区间［2，6］上取得最小值f（6）=

.

变式训练

1.求函数y=x2-2x（x∈［-3,2］）的最大值和最小值_______.

答案：

最大值是f（-3）=15，最小值是f

（1）=-1.

2.函数f（x）=x4+2x2-1的最小值是.

分析：

（换元法）转化为求二次函数的最小值.

设x2=t，y=t2+2t-1（t≥0），

又当t≥0时，函数y=t2+2t-1是增函数，

则当t=0时，函数y=t2+2t-1（t≥0）取最小值－1.

所以函数f（x）=x4+2x2-1的最小值是－1.

答案：

-1

3.画出函数y=－x2＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值.

分析：

函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间.

解：

函数图象如图1-3-1-13所示.

图1-3-1-13

由图象得，函数的图象在区间（－∞，－1）和［0，1］上是上升的，在［－1，0］和（1，＋∞）上是下降的，最高点是（±1,4），

故函数在（－∞，－1），［0，1］上是增函数；函数在［－1，0］，（1，＋∞）上是减函数，最大值是4.

点评：

本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法.求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题.

单调法求函数最值：

先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：

①如果函数y=f（x）在区间（a,b］上单调递增，在区间［b,c）上单调递减，则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；②如果函数y=f（x）在区间（a,b］上单调递减，在区间［b,c）上单调递增，则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）.

例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h（t）=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？

这时距地面的高度是多少（精确到1m）？

活动：

可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错.并对学生的板书及时评价.将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h（t）=-4.9t2+14.7t+18取得最大值；“这时距地面的高度是多少（精确到1m）”就是函数h（t）=-4.9t2+14.7t+18的最大值；转化为求函数h（t）=-4.9t2+14.7t+18的最大值及此时自变量t的值.

解：

画出函数h（t）=-4.9t2+14.7t+18的图象，如图1-3-1-14所示，

显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻，纵坐标就是这时距离地面的高度.

图1-3-1-14

由二次函数的知识，对于函数h（t）=-4.9t2+14.7t+18，我们有：

当t=

=1.5时，函数有最大值,

即烟花冲出去后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.

点评：

本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论.

注意：

要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.

变式训练

1.2006山东菏泽二模，文10把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（）

A.

cm2B.4cm2C.3

cm2D.2

cm2

解析：

设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为（4-x）cm，两个三角形的面积和为S，则S=

x2+

（4-x）2=

（x-2）2+2

≥2

.

当x=2时，S取最小值2

m2.故选D.

答案：

D

2.某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大，并求出最大利润.

分析：

设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答.利润＝（售价－进价）×销售量.

解：

设商品售价定为x元时，利润为y元，则

y=（x-8）［60-（x-10）·10］

=-10［（x-12）2-16］=-10（x-12）2+160（10＜x＜16）.

当且仅当x=12时，y有最大值160元，

即售价定为12元时可获最大利润160元.

思路2

例1已知函数f（x）=x+

x>0，

（1）证明当0

（2）求函数f（x）=x+

x>0的最小值.

活动：

学生思考判断函数单调性的方法，以及函数最小值的含义.

（1）利用定义法证明函数的单调性；

（2）应用函数的单调性得函数的最小值.

（1）解：

任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则

f（x1）－f（x2）=（x1＋

）－（x2+

）=（x1－x2）+

=

，

∵x1＜x2，∴x1－x2<0，x1x2>0.

当0＜x1＜x2＜1时，x1x2-1<0，

∴f（x1）－f（x2）＞0.

∴f（x1）＞f（x2），即当0

当1≤x1＜x2时，x1x2-1>0，

∴f（x1）－f（x2）＜0.

∴f（x1）＜f（x2）,即当x≥1时，函数f（x）是增函数.

（2）解法一：

由

（1）得当x=1时，函数f（x）=x+

x>0取最小值.

又f

（1）=2，则函数f（x）=x+

x>0取最小值是2.

解法二：

借助于计算机软件画出函数f（x）=x+

x>0的图象，如图1-3-1-15所示，

图1-3-1-15

由图象知，当x=1时，函数f（x）=x+

x>0取最小值f

（1）=2.

点评：

本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛”；三个步骤缺一不可.

利用函数的单调性求函数的最值的步骤：

①先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：

①如果函数y=f（x）在区间（a,b］上单调递增，在区间［b,c）上单调递减，则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；②如果函数y=f（x）在区间（a,b］上单调递减，在区间［b,c）上单调递增，则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）.这种求函数最值的方法称为单调法.

图象法求函数的最值的步骤：

画出函数的图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.

变式训练

1.求函数y=

（x≥0）的最大值.

解析:

可证明函数y=

（x≥0）是减函数，

∴函数y=

（x≥0）的最大值是f（0）=3.

2.求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.

解法一：

（图象法）y＝|x+1|+|x-1|=

其图象如图1-3-1-16所示.

图1-3-1-16

由图象得，函数的最小值是2，无最大值.

解法二：

（数形结合）函数的解析式y=|x+1|+|x-1|的几何意义是：

y是数轴上任意一点P到±1的对应点A、B的距离的和，即y=|PA|+|PB|,如图1-3-1-17所示，

图1-3-1-17

观察数轴,可得|PA|+|PB|≥|AB|=2，即函数有最小值2，无最大值.

3.2007天利高考第一次全国大联考（江苏卷），11设0

+

的最小值是.

分析：

y=

当0

）2+

≤

∴y≥4.

答案：

4

例2将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？

活动：

让学生思考利润的意义，以及利润和售价之间的函数关系.设出一般情况，转化为求二次函数的最值.解决此类应用题，通常是建立函数模型，这是解题的关键.

解：

设每个售价为x元时，获得利润为y元，

则每个涨（x-50）元，从而销售量减少10（x-50）个,共售出500-10（x-50）=1000-10x（个）.

∴y=（x-40）（1000-10x）=-10（x-70）2+9000（50≤x＜100）.

∴当x=70时,ymax=9000,

即为了赚取最大利润，售价应定为70元.

点评：

本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是：

①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论.

注意：

要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.

变式训练

1.已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m为正常数.当m=

时，该商品的价格