1 第1讲 直线的倾斜角与斜率直线的方程.docx

1、1 第1讲 直线的倾斜角与斜率直线的方程知识点考纲下载直线的方程 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.两直线的位置关系 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.圆的方程掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.直线、圆的位置关系 能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据

2、给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 初步了解用代数方法处理几何问题的思想.椭圆掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.双曲线了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.抛物线了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.圆锥曲线的简单应用 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 理解数形结合的思想，了解圆锥曲线的简单应用.第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与

3、x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l的倾斜角的范围是0，)2直线的斜率(1)直线l的倾斜角为，则l的斜率ktan_(2)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k3直线方程的五种形式名称方程形式适用条件点斜式yy0k(xx0)不能表示斜率不存在的直线斜截式ykxb两点式不能表示平行于坐标轴的直线截距式1不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线一般式AxByC0(A，B不同时为零)可以表示所有类型的直线 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(2)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(3)斜率相等

4、的两直线的倾斜角不一定相等()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案：(1)(2)(3)(4)(5) (教材习题改编)经过点P0(2，3)，倾斜角为45的直线方程为()Axy10 Bxy10Cxy50 Dxy50解析：选D.由点斜式得直线方程为y(3)tan 45(x2)x2，即xy50，故选D. 如果AC0，BC0，那么直线AxByC0不通过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C.由题意知直线的斜率k0

5、，直线在y轴上的截距b0，故选C. 已知点A(1，t)，B(t，4)，若直线AB的斜率为2，则实数t的值为_解析：由题意知，kAB2，即2，解得t.答案： (教材习题改编)经过点(4，3)且在两坐标轴上的截距相等且不过原点的直线方程为_解析：由题意可设方程为xya，所以a431.所以直线方程为xy10.答案：xy10直线的倾斜角与斜率(典例迁移) (1)直线xsin y20的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_【解析】(1)设直线的倾斜角为，则有tan sin .因为sin 1，1

6、，所以1tan 1，又0，)，所以0或，故选B.(2)如图，因为kAP1，kBP，所以直线l的斜率k.【答案】(1)B(2)迁移探究1(变条件)若本例(1)的条件变为：直线2xcos y30的倾斜角的变化范围为_解析：直线2xcos y30的斜率k2cos .由于，所以cos ，因此k2cos 1，设直线的倾斜角为，则有tan 1，由于0，)，所以，即倾斜角的变化范围是.答案：迁移探究2(变条件)若将本例(2)中P(1，0)改为P(1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围解：因为P(1，0)，A(2，1)，B(0，)，所以kAP，kBP.如图可知，直线l斜率的取值范围为.(1)求倾斜角的

7、取值范围的一般步骤求出斜率ktan 的取值范围；利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角的取值范围求倾斜角时要注意斜率是否存在(2)斜率的求法定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率；公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率 1若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为_解析：因为kAC1，kABa3.由于A，B，C三点共线，所以a31，即a4.答案：42若直线l的斜率为k，倾斜角为，且，则k的取值范围是_解析：当时，ktan ；当时，ktan ，0)综上k，0).答案：，0)求直线的

8、方程(师生共研) (1)若直线经过点A(5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为_(2)若直线经过点A(，3)，且倾斜角为直线xy10的倾斜角的一半，则该直线的方程为_【解析】(1)当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为ykx，将(5，2)代入ykx中，得k，此时，直线方程为yx，即2x5y0.当横截距、纵截距都不为零时，设所求直线方程为1，将(5，2)代入所设方程，解得a，此时，直线方程为x2y10.综上所述，所求直线方程为x2y10或2x5y0.(2)由xy10得此直线的斜率为，所以倾斜角为120，从而所求直线的倾斜角为60，故所求直线的斜率为.又直线过点

9、A(，3)，所以所求直线方程为y3(x)，即xy60.【答案】(1)x2y10或2x5y0(2)xy60(1)求直线方程的两种常用方法直接法：根据已知条件，确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程(2)求直线方程应注意的问题选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否过原点；求直线方程时，如果没有特别要求，求出的方程应化为一般式AxByC0(A，B不同时为0) 1已知ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的

10、中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为()A2xy120 B2xy120C2xy80 D2xy80解析：选C.由题知M(2，4)，N(3，2)，中位线MN所在直线的方程为，整理得2xy80.2过点(1，2)，倾斜角的正弦值是的直线方程是_解析：由题知，倾斜角为或，所以斜率为1或1，直线方程为y2x1或y2(x1)，即xy10或xy30.答案：xy10或xy30直线方程的综合应用(典例迁移) (一题多解)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当AOB面积最小时，求直线l的方程【解】法一：设直线l的方程为y1k(x2)(k0，b0，因为

11、直线l过点M(2，1)，所以1，则12，故ab8，故SAOB的最小值为ab84，当且仅当时取等号，此时a4，b2，故直线l：1，即x2y40.迁移探究(变问法)在本例条件下，当|OA|OB|取最小值时，求直线l的方程解：由本例法二知，1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)332，当且仅当a2，b1时等号成立，所以当|OA|OB|取最小值时，直线l的方程为xy2.直线方程综合问题的两大类型及其解法(1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值(2)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解 1直

12、线x2yb0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是()A2，2 B(，22，)C2，0)(0，2 D(，)解析：选C.令x0，得y，令y0，得xb，所以所求三角形的面积为|b|b2，且b0，b21，所以b24，所以b的取值范围是2，0)(0，22已知直线x2y2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为_解析：直线方程可化为y1，故直线与x轴的交点为A(2，0)，与y轴的交点为B(0，1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0b1，且a2b2，从而a22b，故ab(22b)b2b22b2，由于0b1，故当b时，ab取得最大值.答案：

13、 基础题组练1若直线过点(1，1)，(2，1)，则此直线的倾斜角的大小为()A30 B45C60 D90解析：选C.设此直线的倾斜角为，则ktan .又a0，)，所以60.故选C.2(2019大连模拟)倾斜角为120，在x轴上的截距为1的直线方程是()A.xy10 B.xy0C.xy0 D.xy0解析：选D.由于倾斜角为120，故斜率k.又直线过点(1，0)，所以方程为y(x1)，即xy0.3已知函数f(x)ax(a0且a1)，当x0时，f(x)1，方程yax表示的直线是()解析：选C.因为x0时，ax1，所以0a1.则直线yax的斜率0a1，在y轴上的截距1.故选C.4直线l经过点A(1，2

14、)，在x轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范围是()A1k Bk1或kCk或k1 Dk或k1解析：选D.设直线的斜率为k，则直线方程为y2k(x1)，令y0，得直线l在x轴上的截距为1，则313，解得k或k1.5过点A(1，3)，斜率是直线y3x的斜率的的直线方程为_解析：设所求直线的斜率为k，依题意k3.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.答案：3x4y1506直线l过原点且平分ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为_解析：直线l平分ABCD的面积，则直线l过BD的中点(3，2)，则直线l：y

15、x.答案：yx7已知ABC的三个顶点分别为A(3，0)，B(2，1)，C(2，3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边的垂直平分线DE的方程解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(2，3)两点，所以BC的方程为，即x2y40.(2)由(1)知，直线BC的斜率k1，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k22.因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，所以所求直线方程为y22(x0)，即2xy20.8已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(3，4)；(2)斜率为.解：(1)设直线l的方程为yk(x3)4，它在x轴，y轴上的截

16、距分别是3，3k4，由已知，得(3k4)6，解得k1或k2.故直线l的方程为2x3y60或8x3y120.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是yxb，它在x轴上的截距是6b，由已知，得|6bb|6，所以b1.所以直线l的方程为x6y60或x6y60.综合题组练1已知点P(x，y)在直线xy40上，则x2y2的最小值是()A8 B2C. D16解析：选A.因为点P(x，y)在直线xy40上，所以y4x，所以x2y2x2(4x)22(x2)28，当x2时，x2y2取得最小值8.2若直线axbyab(a0，b0)过点(1，1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为()A1 B2C

17、4 D8解析：选C.因为直线axbyab(a0，b0)过点(1，1)，所以abab，即1，所以ab(ab)2224，当且仅当ab2时上式等号成立所以直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.3已知线段MN两端点的坐标分别为M(1，2)和N(2，3)，若直线kxyk20与线段MN有交点，则实数k的取值范围是_解析：直线kxyk20过定点P(1，2)MP平行于y轴，kNP，所以k.答案：4直线l的倾斜角是直线4x3y10的倾斜角的一半，若l不过坐标原点，则l在x轴上与y轴上的截距之比为_解析：设直线l的倾斜角为.所以tan 2.，所以tan 2或tan ，由20，180)知，0，90)所以tan

18、2.又设l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.所以tan .即.答案：5已知直线l：1.(1)若直线l的斜率等于2，求实数m的值；(2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求AOB面积的最大值及此时直线的方程解：(1)根据直线l的方程：1可得直线l过点(m，0)，(0，4m)，所以k2，解得m4.(2)直线l过点(m，0)，(0，4m)，则由m0，4m0得0m4，则SAOB，则m2时，SAOB有最大值2，此时直线l的方程为xy20.6(综合型)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB100 m，BC80 m，AE30 m，AF20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图所示，建立平面直角坐标系，则E(30，0)，F(0，20)，所以直线EF的方程为1(0x30)易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，在线段EF上取点P(m，n)，作PQBC于点Q，PRCD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S|PQ|PR|(100m)(80n)又1(0m30)，所以n20m.所以S(100m)(m5)2(0m30) 所以当m5时，S有最大值，这时51. 所以当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成51时，草坪面积最大