1 第1讲 直线的倾斜角与斜率直线的方程.docx

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1第1讲直线的倾斜角与斜率直线的方程

知识点

考纲下载

直线的方程

在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．

理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．

掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.

两直线的位置关系

能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．

能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．

掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

圆的方程

掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.

直线、圆的位置关系

能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．

能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

椭　圆

掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

双曲线

了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.

抛物线

了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.

圆锥曲线的

简单应用

了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

理解数形结合的思想，了解圆锥曲线的简单应用.

第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1．直线的倾斜角

（1）定义：

当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

（2）范围：

直线l的倾斜角的范围是[0，π）．

2．直线的斜率

（1）直线l的倾斜角为α≠，则l的斜率k＝tan__α．

（2）两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝．

3．直线方程的五种形式

名称

方程形式

适用条件

点斜式

y－y0＝k（x－x0）

不能表示斜率不存在的直线

斜截式

y＝kx＋b

两点式

＝

不能表示平行于坐标轴的直线

截距式

＋＝1

不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0

（A，B不同时为零）

可以表示所有类型的直线

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）直线的倾斜角越大，其斜率就越大．（　　）

（2）直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.（　　）

（3）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．（　　）

（4）经过点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k（x－x0）表示．（　　）

（5）经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）表示．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×　（5）√

（教材习题改编）经过点P0（2，－3），倾斜角为45°的直线方程为（　　）

A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0

C．x－y＋5＝0D．x－y－5＝0

解析：

选D.由点斜式得直线方程为y－（－3）＝tan45°（x－2）＝x－2，即x－y－5＝0，故选D.

如果AC＜0，BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析：

选C.由题意知直线的斜率k＝－＜0，直线在y轴上的截距b＝－＞0，故选C.

已知点A（－1，t），B（t，4），若直线AB的斜率为2，则实数t的值为________．

解析：

由题意知，kAB＝2，即＝2，解得t＝.

答案：

（教材习题改编）经过点（－4，3）且在两坐标轴上的截距相等且不过原点的直线方程为________．

解析：

由题意可设方程为x＋y＝a，

所以a＝－4＋3＝－1.所以直线方程为x＋y＋1＝0.

答案：

x＋y＋1＝0

　　　　　　直线的倾斜角与斜率（典例迁移）

（1）直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是（　　）

A.B.∪

C.D.∪

（2）直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．

【解析】　

（1）设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα.因为sinα∈[－1，1]，所以－1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π），所以0≤θ≤或≤θ＜π，故选B.

（2）如图，因为kAP＝＝1，

kBP＝＝－，所以直线l的斜率k∈∪.

【答案】　

（1）B

（2）∪

[迁移探究1]　（变条件）若本例

（1）的条件变为：

直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的变化范围为________．

解析：

直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈，所以≤cosα≤，因此k＝2cosα∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，]．由于θ∈[0，π），所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.

答案：

[迁移探究2]　（变条件）若将本例

（2）中P（1，0）改为P（－1，0），其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．

解：

因为P（－1，0），A（2，1），B（0，），所以kAP＝＝，kBP＝＝.

如图可知，直线l斜率的取值范围为.

（1）求倾斜角的取值范围的一般步骤

①求出斜率k＝tanα的取值范围；

②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．

求倾斜角时要注意斜率是否存在．

（2）斜率的求法

①定义法：

若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率；

②公式法：

若已知直线上两点A（x1，y1），B（x2，y2），一般根据斜率公式k＝（x1≠x2）求斜率．　

1．若点A（4，3），B（5，a），C（6，5）三点共线，则a的值为________．

解析：

因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.

由于A，B，C三点共线，

所以a－3＝1，即a＝4.

答案：

4

2．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．

解析：

当α∈时，k＝tanα∈；

当α∈时，k＝tanα∈[－，0）．

综上k∈[－，0）∪.

答案：

[－，0）∪

　　　　　　求直线的方程（师生共研）

（1）若直线经过点A（－5，2），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________________．

（2）若直线经过点A（－，3），且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．

【解析】　

（1）①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将（－5，2）代入y＝kx中，得k＝－，

此时，直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.

②当横截距、纵截距都不为零时，

设所求直线方程为＋＝1，

将（－5，2）代入所设方程，解得a＝－，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.

综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.

（2）由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，

所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，

故所求直线的斜率为.

又直线过点A（－，3），所以所求直线方程为y－3＝（x＋），即x－y＋6＝0.

【答案】　

（1）x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0

（2）x－y＋6＝0

（1）求直线方程的两种常用方法

①直接法：

根据已知条件，确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；

②待定系数法：

先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程．

（2）求直线方程应注意的问题

①选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：

选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否过原点；

②求直线方程时，如果没有特别要求，求出的方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）．　

1．已知△ABC的三个顶点坐标为A（1，2），B（3，6），C（5，2），M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为（　　）

A．2x＋y－12＝0B．2x－y－12＝0

C．2x＋y－8＝0D．2x－y＋8＝0

解析：

选C.由题知M（2，4），N（3，2），中位线MN所在直线的方程为＝，整理得2x＋y－8＝0.

2．过点（1，2），倾斜角的正弦值是的直线方程是________．

解析：

由题知，倾斜角为或，所以斜率为1或－1，直线方程为y－2＝x－1或y－2＝－（x－1），即x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.

答案：

x－y＋1＝0或x＋y－3＝0

　　　　　　直线方程的综合应用（典例迁移）

（一题多解）已知直线l过点M（2，1），且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．

【解】　法一：

设直线l的方程为y－1＝k（x－2）（k<0），A，B（0，1－2k），S△AOB＝（1－2k）·＝≥（4＋4）＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－（x－2），即x＋2y－4＝0.

法二：

设直线l：

＋＝1，且a>0，b>0，因为直线l过点M（2，1），所以＋＝1，则1＝＋≥2，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝＝时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l：

＋＝1，即x＋2y－4＝0.

[迁移探究]　（变问法）在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．

解：

由本例法二知，＋＝1，a>0，b>0，

所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝（a＋b）·

＝3＋＋≥3＋2，

当且仅当a＝2＋，b＝1＋时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y＝2＋.

直线方程综合问题的两大类型及其解法

（1）求解与直线方程有关的最值问题：

先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．

（2）求参数值或范围：

注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．　

1．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是（　　）

A．[－2，2]B．（－∞，－2]∪[2，＋∞）

C．[－2，0）∪（0，2]D．（－∞，＋∞）

解析：

选C.令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，

所以所求三角形的面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0）∪（0，2]．

2．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P（a，b）在线段AB上，则ab的最大值为________．

解析：

直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A（2，0），与y轴的交点为B（0，1），由动点P（a，b）在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝（2－2b）b＝－2b2＋2b＝－2＋，由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值.

答案：

[基础题组练]

1．若直线过点（1，1），（2，1＋），则此直线的倾斜角的大小为（　　）

A．30°　　　　B．45°

C．60°D．90°

解析：

选C.设此直线的倾斜角为α，则k＝tanα＝＝.又a∈[0，π），所以α＝60°.故选C.

2．（2019·大连模拟）倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是（　　）

A.x－y＋1＝0　　　　　B.x－y－＝0

C.x＋y－＝0D.x＋y＋＝0

解析：

选D.由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点（－1，0），所以方程为y＝－（x＋1），即x＋y＋＝0.

3．已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），当x＜0时，f（x）＞1，方程y＝ax＋表示的直线是（　　）

解析：

选C.因为x＜0时，ax＞1，所以0＜a＜1.

则直线y＝ax＋的斜率0＜a＜1，

在y轴上的截距＞1.故选C.

4．直线l经过点A（1，2），在x轴上的截距的取值范围是（－3，3），则其斜率的取值范围是（　　）

A．－1＜k＜B．k＞1或k＜

C．k＞或k＜1D．k＞或k＜－1

解析：

选D.设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k（x－1），令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，

则－3＜1－＜3，解得k＞或k＜－1.

5．过点A（－1，－3），斜率是直线y＝3x的斜率的－的直线方程为________．

解析：

设所求直线的斜率为k，依题意

k＝－×3＝－.

又直线经过点A（－1，－3），

因此所求直线方程为y＋3＝－（x＋1），

即3x＋4y＋15＝0.

答案：

3x＋4y＋15＝0

6．直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B（1，4），D（5，0），则直线l的方程为________．

解析：

直线l平分▱ABCD的面积，则直线l过BD的中点（3，2），则直线l：

y＝x.

答案：

y＝x

7．已知△ABC的三个顶点分别为A（－3，0），B（2，1），C（－2，3），求：

（1）BC边所在直线的方程；

（2）BC边的垂直平分线DE的方程．

解：

（1）因为直线BC经过B（2，1）和C（－2，3）两点，所以BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.

（2）由

（1）知，直线BC的斜率k1＝－，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点（0，2），

所以所求直线方程为y－2＝2（x－0），

即2x－y＋2＝0.

8．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：

（1）过定点A（－3，4）；

（2）斜率为.

解：

（1）设直线l的方程为y＝k（x＋3）＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，由已知，得（3k＋4）×＝±6，解得k1＝－或k2＝－.

故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.

（2）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，

由已知，得|－6b·b|＝6，

所以b＝±1.

所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.

[综合题组练]

1．已知点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是（　　）

A．8B．2

C.D．16

解析：

选A.因为点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，所以y＝4－x，所以x2＋y2＝x2＋（4－x）2＝2（x－2）2＋8，当x＝2时，x2＋y2取得最小值8.

2．若直线ax＋by＝ab（a>0，b>0）过点（1，1），则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为（　　）

A．1B．2

C．4D．8

解析：

选C.因为直线ax＋by＝ab（a>0，b>0）过点（1，1），所以a＋b＝ab，即＋＝1，

所以a＋b＝（a＋b）

＝2＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．

所以直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.

3．已知线段MN两端点的坐标分别为M（－1，2）和N（2，3），若直线kx－y＋k－2＝0与线段MN有交点，则实数k的取值范围是________．

解析：

直线kx－y＋k－2＝0过定点P（－1，－2）．MP平行于y轴，kNP＝＝，所以k≥.

答案：

4．直线l的倾斜角是直线4x＋3y－1＝0的倾斜角的一半，若l不过坐标原点，则l在x轴上与y轴上的截距之比为________．

解析：

设直线l的倾斜角为θ.

所以tan2θ＝－.

＝－，

所以tanθ＝2或tanθ＝－，

由2θ∈[0°，180°）知，θ∈[0°，90°）．

所以tanθ＝2.

又设l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.

所以tanθ＝－.即＝－＝－.

答案：

－

5．已知直线l：

＋＝1.

（1）若直线l的斜率等于2，求实数m的值；

（2）若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线的方程．

解：

（1）根据直线l的方程：

＋＝1可得直线l过点（m，0），（0，4－m），所以k＝＝2，解得m＝－4.

（2）直线l过点（m，0），（0，4－m），则由m>0，4－m>0得0

6．（综合型）为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪（如图），另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m，应如何设计才能使草坪面积最大？

解：

如图所示，建立平面直角坐标系，则E（30，0），F（0，20），　

所以直线EF的方程为＋＝1（0≤x≤30）．

易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，

在线段EF上取点P（m，n），作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，

则S＝|PQ|·|PR|＝（100－m）（80－n）．

又＋＝1（0≤m≤30），

所以n＝20－m.

所以S＝（100－m）

＝－（m－5）2＋（0≤m≤30）．

所以当m＝5时，S有最大值，这时＝5∶1.

所以当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．