高中数学 必修1第三章 函数应用 第三章31.docx

1、高中数学 必修1 第三章 函数应用 第三章 31学习目标1.理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.知识点一函数的零点概念思考函数的“零点”是一个点吗？答案不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)0的实数x.实际上是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标.梳理对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.方程、函数、图象之间的关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.知识点二零点存在性定理思考函数零点有时是不易求或求不出来

2、的.如f(x)lg xx.但函数值易求，如我们可以求出f()lg1，f(1)lg 111.那么能判断f(x)lg xx在区间内有零点吗？答案能.因为f(x)lg xx在区间内是连续的，函数值从变化到1，势必在内某点处的函数值为0.梳理一般地，有函数零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根.类型一求函数的零点例1函数f(x)(lg x)2lg x的零点为_.答案x1或x10解析由(lg x)2lg x0，得lg x(lg x

3、1)0，lg x0或lg x1，x1或x10.反思与感悟函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.跟踪训练1函数f(x)(x21)(x2)2(x22x3)的零点个数是_.答案4解析f(x)(x1)(x1)(x2)2(x3)(x1)(x1)2(x1)(x2)2(x3).可知零点为1，2,3，共4个.类型二判断函数的零点所在的区间例2根据表格中的数据，可以断定方程ex(x2)0(e2.72)的一个根所在的区间是()x10123ex0.3712.727.40

4、20.12x212345A.(1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)答案C解析令f(x)ex(x2)，则f(1)0.3710，f(0)120，f(1)2.7230.由于f(1)f(2)0，方程ex(x2)0的一个根在(1,2)内.反思与感悟在函数图象连续的前提下，f(a)f(b)0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)f(b)0，却不能判断在区间(a，b)内无零点.跟踪训练2若函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_.答案2解析函数f(x)3x7ln x在定义域上是增函数，函数f(x)3x7ln x在区间(n，n1)上只有一

5、个零点.f(1)37ln 140，f(2)67ln 20，函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(2,3)内，n2.类型三函数零点个数问题命题角度1判断函数零点个数例3求函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数.解方法一f(0)10210，f(x)在(0,1)上必定存在零点.又显然f(x)2xlg(x1)2在(1，)上为增函数.故函数f(x)有且只有一个零点.方法二在同一坐标系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的草图.由图象知g(x)lg(x1)的图象和h(x)22x的图象有且只有一个交点，即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点.反思与感悟判断函数零点个数的方法主要有：(1)可

6、以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数.(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数.跟踪训练3求函数f(x)ln x2x6零点的个数.解方法一由于f(2)0，即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点.又因为函数f(x)在定义域(0，)内是增函数，所以它仅有一个零点.方法二通过作出函数yln x，y2x6的图象，观察两图象的交点个数得出结论.也就是将函数f(x)ln x2x6的零点个数转化为函数yln x与y2x6的图象交点的个数.由图象可知两函数有一个交点，即函数f(x)有一个零点.命题角度2根据零点情况求参数范围例4f(x)2x(xa

7、)1在(0，)内有零点，则a的取值范围是()A.(，) B.(2，)C.(0，) D.(1，)答案D解析由题意可得ax()x(x0).令g(x)x()x，该函数在(0，)上为增函数，可知g(x)的值域为(1，)，故a1时，f(x)在(0，)内有零点.反思与感悟为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单.跟踪训练4若函数f(x)x22mx2m1在区间(1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m的取值范围是()A.(，11，)B.(，1)(1，)C.，D.(，)答

8、案D解析函数f(x)x22mx2m1的零点分别在区间(1,0)和(1,2)内，即函数f(x)x22mx2m1的图象与x轴的交点一个在(1,0)内，一个在(1,2)内，根据图象列出不等式组解得m，实数m的取值范围是(，).1.函数yx的零点是()A.(0,0) B.x0 C.x1 D.不存在答案B2.函数f(x)x22x的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3答案C3.若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)0，f(2)0，则下列说法正确的是()A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一

9、定有零点C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点答案C4.下列各图象表示的函数中没有零点的是()答案D5.函数f(x)x3()x的零点有()A.0个 B.1个C.2个 D.无数个答案B1.方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象与x轴交点的横坐标.2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象.4

10、.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.课时作业一、选择题1下列图象表示的函数中没有零点的是()答案A解析B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点2已知函数f(x)在区间a，b上单调，且图象是连续不断的，若f(a)f(b)0，则方程f(x)0在区间a，b上()A至少有一实数根 B至多有一实数根C没有实数根 D必有唯一的实数根答案D解析由题意知函数f(x)为连续函数f(a)f(b)0，函数f(x)在区间a，b上至少有一个零点又函数f(x)在区间a，b上是单调函数，函数

11、f(x)在区间a，b上至多有一个零点故函数f(x)在区间a，b上有且只有一个零点，即方程f(x)0在区间a，b内必有唯一的实数根故选D.3已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,4) D(4，)答案C解析由题意知，函数f(x)在(0，)上为减函数f(1)6060，f(2)3120，f(4)log2420.由零点存在性定理可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点4对于函数f(x)x2mxn，若f(a)0，f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)内()A一定有零点 B一定没有零点C可能有两个零点 D至少有一个零点答案C解析若函数

12、f(x)的图象及给定的区间(a，b)，如图(1)或图(2)所示，可知A、D错，若如图(3)所示，可知B错5已知x0是函数f(x)2x的一个零点若x1(1，x0)，x2(x0，)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0答案B解析方法一由f(x)0得2x0，2x.在同一直角坐标系中，作出函数y12x，y2的图象(图略)，观察图象可知，当x1(1，x0)时，y1y2，f(x1)0.方法二函数y2x，y在(1，)上均为增函数，函数f(x)在(1，)上为增函数，由x1(1，x0)，f(x0)0得f(x1)f(x0)0.6若函数f(x)在定义域x|xR

13、且x0上是偶函数，且在(0，)上是减函数，f(2)0，则函数f(x)的零点有()A一个 B两个C至少两个 D无法判断答案B解析f(x)在(0，)上是减函数，f(2)0，所以f(x)在(0，)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数，所以f(x)在(，0)上有且仅有一个零点2.因此函数f(x)有两个零点2与2.7函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1 B2C3 D4答案B解析函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数方程|log0.5x|x的根的个数函数y1|log0.5x|与y2x的图象的交点个数作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.二、填空

14、题8若函数f(x)mx1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是_答案m1解析f(0)1，要使函数f(x)mx1在(0,1)内有零点，需f(1)m10，即m1.9已知函数f(x)ax22axc (a0)的一个零点为1，则它的另一个零点为_答案3解析根据函数解析式，由一元二次方程根与系数的关系，得x1x22.又因为x11，所以x23.10若函数f(x)3x25xa的一个零点在区间(2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是_答案12a0解析根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象，如图由图可知即解得12a0.11函数f(x)的零点是_答案2,1解析当x0时，令2x40，得

15、x2，满足要求；当x0时，令lg x0，得x1，满足要求所以函数f(x)的零点是2,1.12若函数f(x)axxa (a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析函数f(x)的零点的个数就是函数yax与函数yxa的图象的交点的个数，如图，a1时，两函数图象有两个交点；0a1.13已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx，若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_答案(，1)解析画出函数f(x)的图象，如图所示若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)，g(x)的图象有两个交点，由图可知k，且k1.三、解答题14设函数f(x)exmx，其中

16、，xR，当m1时，判断函数f(x)在区间(0，m)内是否存在零点解f(x)exmx，f(0)em0em0，f(m)e0m1m，又m1，f(m)0，f(0)f(m)0.函数f(x)的图象在区间(0，m)上是一条连续曲线，函数f(x)exmx(m1)在区间(0，m)内存在零点15已知yf(x)是定义域为R的奇函数，当x0，)时，f(x)x22x.(1)写出函数yf(x)的解析式；(2)若方程f(x)a恰有3个不同的解，求a的取值范围解(1)当x(，0)时，x(0，)，yf(x)是奇函数，f(x)f(x)(x)22(x)x22x，f(x)(2)当x0，)时，f(x)x22x(x1)21，最小值为1；当x(，0)时，f(x)x22x1(x1)2，最大值为1.据此可作出函数yf(x)的图象，如图所示，根据图象得，若方程f(x)a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(1,1)16已知函数f(x)函数g(x)3f(2x)，求函数yf(x)g(x)的零点个数解由题意知yf(x)f(2x)3，因为f(x)f(2x)所以f(x)f(2x)在同一坐标系中分别画出函数yf(x)f(2x)，y3的图象，观察图象可知，函数yf(x)g(x)只有两个零点