高中数学 必修1第三章 函数应用 第三章31.docx

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高中数学必修1第三章函数应用第三章31

学习目标

　1.理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.

知识点一　函数的零点概念

思考　函数的“零点”是一个点吗？

答案　不是，函数的“零点”是一个数，一个使f（x）＝0的实数x.实际上是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标.

梳理　对于函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点.

方程、函数、图象之间的关系：

方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点.

知识点二　零点存在性定理

思考　函数零点有时是不易求或求不出来的.如f（x）＝lgx＋x.但函数值易求，如我们可以求出f（

）＝lg

＋

＝－1＋

＝－

，f

（1）＝lg1＋1＝1.

那么能判断f（x）＝lgx＋x在区间

内有零点吗？

答案　能.因为f（x）＝lgx＋x在区间

内是连续的，函数值从－

变化到1，势必在

内某点处的函数值为0.

梳理　一般地，有函数零点存在性定理：

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根.

类型一　求函数的零点

例1　函数f（x）＝（lgx）2－lgx的零点为________.

答案　x＝1或x＝10

解析　由（lgx）2－lgx＝0，得lgx（lgx－1）＝0，

∴lgx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10.

反思与感悟　函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的实数根，也就是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.

跟踪训练1　函数f（x）＝（x2－1）（x＋2）2（x2－2x－3）的零点个数是________.

答案　4

解析　f（x）＝（x＋1）（x－1）（x＋2）2（x－3）（x＋1）

＝（x＋1）2（x－1）（x＋2）2（x－3）.

可知零点为±1，－2,3，共4个.

类型二　判断函数的零点所在的区间

例2　根据表格中的数据，可以断定方程ex－（x＋2）＝0（e≈2.72）的一个根所在的区间是（　　）

x

－1

0

1

2

3

ex

0.37

1

2.72

7.40

20.12

x＋2

1

2

3

4

5

A.（－1,0）B.（0,1）

C.（1,2）D.（2,3）

答案　C

解析　令f（x）＝ex－（x＋2），则f（－1）＝0.37－1<0，f（0）＝1－2<0，f

（1）＝2.72－3<0，f

（2）＝7.40－4＝3.40>0.由于f

（1）·f

（2）<0，∴方程ex－（x＋2）＝0的一个根在（1,2）内.

反思与感悟　在函数图象连续的前提下，f（a）·f（b）＜0，能判断在区间（a，b）内有零点，但不一定只有一个；而f（a）·f（b）＞0，却不能判断在区间（a，b）内无零点.

跟踪训练2　若函数f（x）＝3x－7＋lnx的零点位于区间（n，n＋1）（n∈N）内，则n＝________.

答案　2

解析　∵函数f（x）＝3x－7＋lnx在定义域上是增函数，

∴函数f（x）＝3x－7＋lnx在区间（n，n＋1）上只有一个零点.

∵f

（1）＝3－7＋ln1＝－4<0，f

（2）＝6－7＋ln2<0，f（3）＝9－7＋ln3>0，

∴函数f（x）＝3x－7＋lnx的零点位于区间（2,3）内，

∴n＝2.

类型三　函数零点个数问题

命题角度1　判断函数零点个数

例3　求函数f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2的零点个数.

解　方法一　∵f（0）＝1＋0－2＝－1<0，f

（1）＝2＋lg2－2>0，∴f（x）在（0,1）上必定存在零点.又显然f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2在（－1，＋∞）上为增函数.

故函数f（x）有且只有一个零点.

方法二　在同一坐标系下作出h（x）＝2－2x和g（x）＝lg（x＋1）的草图.

由图象知g（x）＝lg（x＋1）的图象和h（x）＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2有且只有一个零点.

反思与感悟　判断函数零点个数的方法主要有：

（1）可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数.

（2）利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数.

跟踪训练3　求函数f（x）＝lnx＋2x－6零点的个数.

解　方法一　由于f

（2）<0，f（3）>0，即f

（2）·f（3）<0，说明这个函数在区间（2,3）内有零点.又因为函数f（x）在定义域（0，＋∞）内是增函数，所以它仅有一个零点.

方法二　通过作出函数y＝lnx，y＝－2x＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论.也就是将函数f（x）＝lnx＋2x－6的零点个数转化为函数y＝lnx与y＝－2x＋6的图象交点的个数.

由图象可知两函数有一个交点，即函数f（x）有一个零点.

命题角度2　根据零点情况求参数范围

例4　f（x）＝2x·（x－a）－1在（0，＋∞）内有零点，则a的取值范围是（　　）

A.（－∞，＋∞）B.（－2，＋∞）

C.（0，＋∞）D.（－1，＋∞）

答案　D

解析　由题意可得a＝x－（

）x（x＞0）.

令g（x）＝x－（

）x，该函数在（0，＋∞）上为增函数，可知g（x）的值域为（－1，＋∞），故a＞－1时，f（x）在（0，＋∞）内有零点.

反思与感悟　为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：

（1）化为常见的基本初等函数；

（2）尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单.

跟踪训练4　若函数f（x）＝x2＋2mx＋2m＋1在区间（－1,0）和（1,2）内各有一个零点，则实数m的取值范围是（　　）

A.（－∞，1－

]∪[1＋

，＋∞）

B.（－∞，1－

）∪（1＋

，＋∞）

C.[－

，－

]

D.（－

，－

）

答案　D

解析　函数f（x）＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间（－1,0）和（1,2）内，

即函数f（x）＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在（－1,0）内，一个在（1,2）内，

根据图象列出不等式组

解得

∴－

＜m＜－

，

∴实数m的取值范围是（－

，－

）.

1.函数y＝x的零点是（　　）

A.（0,0）B.x＝0C.x＝1D.不存在

答案　B

2.函数f（x）＝x2－2x的零点个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

答案　C

3.若函数f（x）的图象在R上连续不断，且满足f（0）<0，f

（1）>0，f

（2）>0，则下列说法正确的是（　　）

A.f（x）在区间（0,1）上一定有零点，在区间（1,2）上一定没有零点

B.f（x）在区间（0,1）上一定没有零点，在区间（1,2）上一定有零点

C.f（x）在区间（0,1）上一定有零点，在区间（1,2）上可能有零点

D.f（x）在区间（0,1）上可能有零点，在区间（1,2）上一定有零点

答案　C

4.下列各图象表示的函数中没有零点的是（　　）

答案　D

5.函数f（x）＝x3－（

）x的零点有（　　）

A.0个B.1个

C.2个D.无数个

答案　B

1.方程f（x）＝g（x）的根是函数f（x）与g（x）的图象交点的横坐标，也是函数y＝f（x）－g（x）的图象与x轴交点的横坐标.

2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：

（1）函数是连续的；

（2）定理不可逆；（3）至少存在一个零点.

3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：

（1）用定理；

（2）解方程；（3）用图象.

4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.

课时作业

一、选择题

1．下列图象表示的函数中没有零点的是（　　）

答案　A

解析　B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．

2．已知函数f（x）在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f（a）·f（b）＜0，则方程f（x）＝0在区间[a，b]上（　　）

A．至少有一实数根B．至多有一实数根

C．没有实数根D．必有唯一的实数根

答案　D

解析　由题意知函数f（x）为连续函数．∵f（a）f（b）＜0，∴函数f（x）在区间[a，b]上至少有一个零点．又∵函数f（x）在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f（x）在区间[a，b]上至多有一个零点．故函数f（x）在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f（x）＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．故选D.

3．已知函数f（x）＝

－log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（　　）

A．（0,1）B．（1,2）

C．（2,4）D．（4，＋∞）

答案　C

解析　由题意知，函数f（x）在（0，＋∞）上为减函数．f

（1）＝6－0＝6＞0，f

（2）＝3－1＝2＞0，f（4）＝

－log24＝

－2＝－

＜0.由零点存在性定理可知函数f（x）在区间（2,4）上必存在零点．

4．对于函数f（x）＝x2＋mx＋n，若f（a）>0，f（b）>0，则函数f（x）在区间（a，b）内（　　）

A．一定有零点B．一定没有零点

C．可能有两个零点D．至少有一个零点

答案　C

解析　若函数f（x）的图象及给定的区间（a，b），如图

（1）或图

（2）所示，可知A、D错，若如图（3）所示，可知B错．

5．已知x0是函数f（x）＝2x＋

的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，＋∞），则（　　）

A．f（x1）<0，f（x2）<0

B．f（x1）<0，f（x2）>0

C．f（x1）>0，f（x2）<0

D．f（x1）>0，f（x2）>0

答案　B

解析　方法一　由f（x）＝0得2x＋

＝0，

∴2x＝

.

在同一直角坐标系中，作出函数y1＝2x，y2＝

的图象（图略），观察图象可知，当x1∈（1，x0）时，y1

当x2∈（x0，＋∞）时，y1>y2，∴f（x1）<0，f（x2）>0.

方法二　∵函数y＝2x，y＝

在（1，＋∞）上均为增函数，∴函数f（x）在（1，＋∞）上为增函数，

∴由x1∈（1，x0），f（x0）＝0得f（x1）

由x2∈（x0，＋∞），f（x0）＝0得f（x2）>f（x0）＝0.

6．若函数f（x）在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，f

（2）＝0，则函数f（x）的零点有（　　）

A．一个B．两个

C．至少两个D．无法判断

答案　B

解析　f（x）在（0，＋∞）上是减函数，f

（2）＝0，

所以f（x）在（0，＋∞）上有且仅有一个零点2.

又f（x）是偶函数，所以f（x）在（－∞，0）上有且仅有一个零点－2.

因此函数f（x）有两个零点－2与2.

7．函数f（x）＝2x|log0.5x|－1的零点个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

答案　B

解析　函数f（x）＝2x|log0.5x|－1的零点个数⇔方程|log0.5x|＝

＝

x的根的个数⇔函数y1＝|log0.5x|与y2＝

x的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.

二、填空题

8．若函数f（x）＝mx－1在（0,1）内有零点，则实数m的取值范围是________．

答案　m>1

解析　f（0）＝－1，要使函数f（x）＝mx－1在（0,1）内有零点，需f

（1）＝m－1>0，即m>1.

9．已知函数f（x）＝ax2＋2ax＋c（a≠0）的一个零点为1，则它的另一个零点为________．

答案　－3

解析　根据函数解析式，由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－

＝－2.又因为x1＝1，所以x2＝－3.

10．若函数f（x）＝3x2－5x＋a的一个零点在区间（－2,0）内，另一个零点在区间（1,3）内，则实数a的取值范围是________．

答案　－12＜a＜0

解析　根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象，如图．

由图可知

即

解得－12＜a＜0.

11．函数f（x）＝

的零点是________．

答案　－2,1

解析　当x≤0时，令2－x－4＝0，得x＝－2，满足要求；当x＞0时，令lgx＝0，得x＝1，满足要求．所以函数f（x）的零点是－2,1.

12．若函数f（x）＝ax－x－a（a>0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是__________．

答案　（1，＋∞）

解析　函数f（x）的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a的图象的交点的个数，如图，a>1时，两函数图象有两个交点；01.

13．已知函数f（x）＝|x－2|＋1，g（x）＝kx，若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是______________．

答案　（

，1）

解析　画出函数f（x）的图象，如图所示．若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则函数f（x），g（x）的图象有两个交点，由图可知k＞

，且k＜1.

三、解答题

14．设函数f（x）＝ex－m－x，其中，x∈R，当m＞1时，判断函数f（x）在区间（0，m）内是否存在零点．

解　∵f（x）＝ex－m－x，∴f（0）＝e－m－0＝e－m＞0，f（m）＝e0－m＝1－m，又∵m＞1，∴f（m）＜0，∴f（0）·f（m）＜0.∵函数f（x）的图象在区间（0，m）上是一条连续曲线，∴函数f（x）＝ex－m－x（m＞1）在区间（0，m）内存在零点．

15．已知y＝f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞）时，f（x）＝x2－2x.

（1）写出函数y＝f（x）的解析式；

（2）若方程f（x）＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．

解　

（1）当x∈（－∞，0）时，－x∈（0，＋∞），

∵y＝f（x）是奇函数，

∴f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）2－2（－x）]＝－x2－2x，

∴f（x）＝

（2）当x∈[0，＋∞）时，f（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1，最小值为－1；当x∈（－∞，0）时，f（x）＝－x2－2x＝1－（x＋1）2，最大值为1.

∴据此可作出函数y＝f（x）的图象，如图所示，

根据图象得，若方程f（x）＝a恰有3个不同的解，

则a的取值范围是（－1,1）．

16．已知函数f（x）＝

函数g（x）＝3－f（2－x），求函数y＝f（x）－g（x）的零点个数．

解　由题意知y＝f（x）＋f（2－x）－3，

因为f（x）＝

f（2－x）＝

所以f（x）＋f（2－x）＝

在同一坐标系中分别画出函数y＝f（x）＋f（2－x），y＝3的图象，观察图象可知，函数y＝f（x）－g（x）只有两个零点．