工程数学线性代数课后答案.docx

1、工程数学线性代数课后答案习题解答1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:201仃)1 -4-1-18311 1a b c a2 b2 c2 t解(1)原式= 2x( - 4) X3 + OX(-1)x(-1)+ 1X1X8-1x(-4)x(-1)-2X(-1)X8-OX1X3 = -4；(2) 原式=acb 十 bac + cba - c - a3 - b=3abc a3 c3 ;(3) 原式=1&c2 + l*c*a2 + la*62-l*6*a2-l*c,62-l*a*c2=be2 + ca2 十 ab2 ba cb2 ac2= c2(6-a) + aZ(6-a)-c(A2-a2) = (

2、a-6)(Z)-c)(c-a);(4) 原式=x(x + y)y + yx(x + y) + (r + y)yx - (x + yV - d -=-2(x3+y).2. 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：(1) 123 4；(2) 4 132；342 1;(4) 2 413;13(2n -1)2 4 (:加)；(6) 13(2n -1)(In) (2n -2) 2.解(1)此排列为自然排列，其逆序数为0;(2) 此排列的首位元素的逆序数为0；第2位元素1的逆序数为1;第3位元 素3的逆序数为1;末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+ 1 + 1 + 2 = 4；(3) 此排

3、列的前两位元素的逆序数均为0;第3位元素2的逆序数为2；末 位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0 + 0 + 2 + 3 = 5;(4) 类似于上面,此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0,0,2, 1,故它的逆序数为0 + 0 + 2+1 = 3;(5) 注意到这2刃个数的排列中，前n位元素之间没有逆序对.第n + 1位 元素2与它前面的n - 1个数构成逆序对，故它的逆序数为“1;同理，第” +2 倍元素4的逆序数为” -2;；末位元素2n的逆序数为0.故此排列的逆序数(6)与(5)相仿，此排列的前n + 1位元素没有逆序对；第”+2位元素 (2n - 2)的逆序数为2;第m +

4、3位元素2n - 4与它前面的2n - 3,2n - 1,2”， 2n-2构成逆序对,故它的逆序为4;；末位元素2的逆序数为2(” - 1),故此 排列的逆序数为 2 + 4 + +2(m-1) = (m-1).3. 写出四阶行列式中含有因子aNa23的项.解 由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元素, 而它们又分别位于第2列和第4列，即和5或和S2 注意到排列1324-叽 bd bfac- cdcfaedeef-10-.01b-10-14 12 42 1 4 112 0 23-121; (2)10 5 2 01 2 3 20 1175 0 6 2仃)与1342的逆序数分别为

5、1与2,故此行列式中含有aua23的项为- a II a23a32a44 与 G a23aU42 4.计算下列各行列式：解仃)12 0 21 2 0 2尸严24 12 40-72-410 5 2 0O-lOr,0 -15 2 -200 1170 11.71202 11202011711.70-152-20口 +7巾0017850-72-4-:00945=0 (因第3、4行成比例);25151=0 (因有两行相同);222r. + ariD=-b c eCi v 6-1 1 1b c : eabcdefCt T C1 -1 1b c - 1 1 -1ri -rd(3) D = adfrj abc

6、def0-100-1001 + abb-102.90001 + a-1 c0 -Idad1 + cd0=(1 + a6)(l + cd) + ad 5.求解下列方程：互不相等.按心展开(-1)(-l)5工+1 2 -12 x +1 1=0；解左式=吊=“)12-1C2 一 C|=(文 + 3)= (x + 3)12-1j -12x - I21x +1x + 1101bb21 + ab-10ldad1 + cd=(x + 3)(x2 -3)(2) 注意到方程左式为4阶范徳蒙徳行列式，由例12的结果得 (x-a)(x-6)(x-c)(a-6)(a - c)(6 - c) =0.因a、b、c互不相等

7、，故方程的解为：4 = q、工讦b6证明:a2a1aha + b12b1(a - b)3 i1 a1b1cId(4)a2b22 Cd24 ab44 c(6 + 1)2(C+1)2(d + l)2ax + by ay + bz az + bxx y z(2)ay + bz az + bx ax + by=(a3 + 63)y z xaz + bx ax + by ay + bzz x ya2 (a + I) (a + 2)2 (a+ 3)2=0;(b + 2)2 (c + 2)2 ( + 2)2b2(6 + 3)2 (c + 3)2 3 + 3)2= (a -b) (a -c) (a -d)(b

8、-c)(b-d)(cd)(a + b + cd)i证(1)左式a2 b2 ab _ b b2(a * b)2 ab - b2 b22(a - 6) a - b 2bf 小一A O AU a n Lo0 0 10 0 1-1=+ fl.-jTaxay 十 bzaz 十 bxbyay 十 bzaz 十 bx左式=az bjcax + bybza& 亠 bjcajc + byazax byay + bzbxax + byay + bz=(a - bY =右式;(2)将左式按第1列拆开得=aDj + bD2 其中x ay + bz az + bxjc ay + bz zCj - bciy az + b

9、x ax + byiMf=7T7,M ay az + bx xCj TD.(2) 计算D2.注意到D2的第1,2,，”行恰好依次是D的第”，”-1,， 1列,故若把D2上下翻转得庁2,则D2的第1,2,-,n行依次是D的第1, 2.-.列，即D2 = Dt.于是由(1)D2 = ( - 1)卜u =(3) 计算D).注意到若把D3逆时针旋转90得戸),则Dy的第1,2,，” 列恰好是D的第歹9,于是再把D左右翻转就得到D.由(1)之注 及，有D3 = (-l)(-,) d3 = d.注 本例的结论值得记取，即对行列式D作转置、依副对角线翻转、旋转 180所得行列式不变;作上下翻转佐右翻转、逆(

10、顺)时针旋转90所得行列式为8计算下列各行列式(D*为&阶行列式)：a 1(1) Dn= . ，其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;1 aDw =a t a xa (a - 1)a_， (a T)- (a-n)(a - n)1(3) D.厂= a a - 1 a - m1 1 1提示：利用范總蒙徳行列式的结果dy其中未写出的元素都是0；(5) D. =det(a4),其中 ah = i-jl;1 +! 1 1 1 + a2 (1)解一1 1 1 + aw把D“按第一行展开得0 a 0= aw + (-l)wM解二a01a 1101.aOfaQ0a0a(a2-l).按第一列 展开(2)本

11、题中臥是教材例8中行列式的一般形式，它是一个非常有用的行列 式,在以后各章中有不少应用.解 利用各列的元素之和相同，提取公因式.+ (并一 l)ax + (n- l)a x + (n l)ax + (n-l)a= (x-a)wlx + (n-l)a.(3)解 把所给行列式上下翻转，即为范德蒙徳行列式，若再将它左右翻 转由于上下翻转与左右翻转所用交换次数相等故行列式经上下翻转再左右翻 转(相当于转180,参看题7)其值不变.于是按范徳蒙德行列式的结果，可得1n(D !/； “(a - nVn + l)w (4) 解 本题与例11相仿，解法也大致相同，用递推法.由例10 , 上 f 5 ” (4血

12、b第C J2(H-1) V即有递推公式D2a = (aA - 6工Dgt).另一方面，归纳基础为D2 =bya-ss利用这些结果递推得（5）解(6)解 将原行列式化为上三角形行列式为此，从第2行起，各行均减去 第1行，得与例13相仿的行列式其中6 = 1 + a. + 右i（l +拿）.于是D“（1 + 命廿.3-521 -1 2： ? .D的（i.j）元的代数余子式记作A,求0 1 - 1-5 3 -3A si + 3A、2 一 2 Ajj + 2AU 解 与例13相仿+3A32-2Aa+2A“等于用1,3,-2,2替换D的第3行对应元素所得行列式即10.(1)1411-13:J11-3-2

13、23i-53-31 -531-1115220113-20按展开1 1130Aj| +3Au -2Ar +2A54-13-23-13_5100 = 24.用克拉默法则解下列方程组： X| + + x3 + x4 =5;X| + 2x2 - x3 + 4x4 = -2;V24-4-14-1-23=1=0,+ 6x4 =0f+孔+ 2 j*j + 11= 0 ；巧+ 5x111I1i1112 一1401-232-3-1_50_5-3_731211宀10-2-18彳D =12xj -3=2 - 5x4 = -210001-2-13_5-13一514=_ 142;5-2121-1c “13131015-

14、2_3_ 1-53-20_401211-10-109140按门风开335-270323-2-4230-22n -2r3 -10-19-10_19=一 142；-272332-2215 1115 111-2-1 40 -7 -2 32 -2 -1 -50 -12 -3 -73 0 2 1120 -15 -1 8_7-2=-12-3-15-1按巾展开23332333-150 -130 -31-1 8115 1115 112-240 1-732 -3 -2 -5rj_2r0 -5 -12 -73 1 0 110 一2 - 15 811 1一47 80 1-29 14=一 426;0-29141152

15、1231-2rj_120111501-270013-4700-5-290110001381235-7-47卩+ 5心r+ 2“1*5_21-2_3-13 -47-5 -29由克拉默法则得4三労=1,516506(2) D =01500100655-7-12-15142.= = 2,x3 = = 3,x4 = = -1;=5于是 D = 325-114 = 211；= 65;(*)6 0 01 5 6 =114,0 1 56 05 61 50 1按展开65-216 1;D2 =-19 + 180=161；d3 =51001 5 05 6 0按展开n （ aU 1 01 0 u0 0 50 1 6

16、0065001=5- 114 =0651651000由（）式-109;10 01115 65 6 00 1 5+1 5 60 0 10 1 5按“展开109由克拉默法则，得d = -2n*X2= o-=m3=d = 2n*X4 = %=m-工=21151 - _D2 16111.问4尸取何值时，齐次线性方程组Aj：i + x2 + =0X| +牛2十工=0工1 +2耳2十工3 =0有非零解?解 由定理5此时方程组的系数行列式必须为0.1 0A 1D= 1 JJL1 2“故只有当或入=1时，方程组才可能有非零解. 当原方程组成为J Aj：i + x2 + =01工1 +工 3=0显然X! =1,

17、X2 = 1-Atx3= -1是它的一个非零解; 当A=L原方程组成为X| +x2 + x3 = 0t X： + jtzx2 + x3 =0,X| +2牛2 + X3 = 0,显然，4 = - l,x2 =0,x3 = 1是它的一个非零解. 因此，当“ =0或4 = 1时，方程组有非零解.注 定理5（或定理5）仅表明齐次线性方程组要有非零解，它的系数行列式必为零至于这条件是否充分将在第三章中予以解决，目前还是应验证它有非 零解.下题也是同样情形.12.问A取何值时，齐次线性方程组(1 A)X| - 2x2 +v 2| + (3 -入)比 +4 +4x3=0f x3 =0, 工2 +(1 一入)

18、工=01-A -2 4rirj1 1 1-A2 3-A 1 2 3-A 11 1 1 - A1-A -2 410011-A-3+A有非零解？解 若方程组有非零解由定理5：它的系数行列式D = 0.1-A 211 - A A-3 +A 4-(1-A)2A 3 3入入21-A2A-1 4-(1-A)1-A1故D = 0=A = 0或入=2或A =3并且不难验证:-A(A -3)=一入 Q-2)(入一 3).当入=0 时,xt= -2,x2 = ltx3 = l；当入=2 时.4= 一 2,工 2 = 3,6 = 1;当 23时严=-1,工2 =5,6=2均是该方程组的非容解所以当入=0,2,3时 方程组有非零解.习题解答1.计算下列乘积:3-2772.1322；(3).1.13,(2) (1.2,3)1-110143-30121-2解3(2) (1,2,3)“ 2 =(10)lxI=10；1 312