工程数学线性代数课后答案.docx
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工程数学线性代数课后答案
习题解答
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:
2
0
1
仃）
1-4
-1
-1
8
3
1
11
⑶
abca2b2c2
•t
解
（1）原式=2x（-4）X3+OX（-1）x（-1）+1X1X8
-1x（-4）x（-1）-2X（-1）X8-OX1X3=-4；
（2）原式=acb十bac+cba-c‘-a3-b'
=3abc—a3——c3;
（3）原式=1•&•c2+l*c*a2+l'a*62-l*6*a2-l*c,62-l*a*c2
=be2+ca2十ab2—ba'—cb2~ac2
=c2（6-a）+aZ>（6-a）-c（A2-a2）=（a-6）（Z）-c）（c-a）;
（4）原式=x（x+y）y+yx（x+y）+（«r+y）yx-（x+yV-d-
=-2（x3+y）.
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
（1）1
2
34；
（2）41
3
2；
⑶3
4
21;
（4）24
1
3;
⑸1
3
…（2n-
-1）
24…（:
加）；
（6）1
3
…（2n-
•1）
（In）（2n-
2）
…2.
解
（1）此排列为自然排列，其逆序数为0;
（2）此排列的首位元素的逆序数为0；第2位元素1的逆序数为1;第3位元素3的逆序数为1;末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+1+1+2=4；
（3）此排列的前两位元素的逆序数均为0;第3位元素2的逆序数为2；末位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0+0+2+3=5;
（4）类似于上面,此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0,0,2,1,故它的逆序数为0+0+2+1=3;
（5）注意到这2刃个数的排列中，前n位元素之间没有逆序对.第n+1位元素2与它前面的n-1个数构成逆序对，故它的逆序数为“・1;同理，第”+2倍元素4的逆序数为”-2;…；末位元素2n的逆序数为0.故此排列的逆序数
（6）与（5）相仿，此排列的前n+1位元素没有逆序对；第”+2位元素（2n-2）的逆序数为2;第m+3位元素2n-4与它前面的2n-3,2n-1,2”，2n-2构成逆序对,故它的逆序为4;…；末位元素2的逆序数为2（”-1）,故此排列的逆序数为2+4+•••+2（m-1）=»（m-1）.
3.写出四阶行列式中含有因子aNa23的项.
解由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元素,而它们又分别位于第2列和第4列，即％和5或％和S2•注意到排列1324
-叽bdbf
ac
-cd
cf
ae
de
ef
-1
0-
.0
1
b
-1
0
-1
4124
2141
1202
3-121
;
（2）
10520
1232
0117
5062
仃）
与1342的逆序数分别为1与2,故此行列式中含有aua23的项为-aIIa23a32a44与G"a23aU°42•
4.计算下列各行列式：
解仃）
1202
1202
尸严「2
4124
0-72-4
10520
O-lOr,
0-152-20
0117
011.7
1
2
0
2
•1
1
2
0
2
0
1
1
7
°
1
1.
7
0
-15
2
-20
口+7巾
0
0
17
85
0
-7
2
-4
-:
0
0
9
45
=0（因第3、4行成比例）;
2
5
1
5
1
=0（因有两行相同）;
2
2
2
r.+ari
⑷D^=
-bce
Civ6
-111
b■c:
'e
abcdef
CtTC
1-11
bc-£
11-1
ri-rd
（3）D==adf
rj«
abcdef
0
-1
0
0
-1
0
0
1+ab
b
-1
0
2.
9
0
0
0
1+a
-1c
0-
-Id
ad
1+cd
0
=（1+a6）（l+cd）+ad・
5.求解下列方程：
互不相等.
按心展开
（-1）（-l）5
工+12-1
2x+11
=0；⑵
解⑴左式=^吊=“）
1
2
-1
C2一C|
=（文+3）
=（x+3）
1
2
-1
j-1
2
x-I
2
1
x+1
x+1
1
0
1
b
b2
1+ab
-1
0
~ld
ad
1+cd
=（x+3）（x2-3）>
（2）注意到方程左式为4阶范徳蒙徳行列式，由例12的结果得（x-a）（x-6）（x-c）（a-6）（a-c）（6-c）=0.
因a、b、c互不相等，故方程的解为：
4=q、工讦b
6•证明:
a
2a
1
ah
a+b
1
2b
1
（a-b）3i
1a
1
b
1
c
I
d
（4）
a2
b2
2C
d2
4a
b4
4c
（6+1）2
（C+1）2
（d+l）2
ax+byay+bzaz+bx
xyz
（2）
ay+bzaz+bxax+by
=（a3+63）
yzx
az+bxax+byay+bz
zxy
a2（a+I）'（a+2）2（
a+3）2
⑶
=0;
（b+2）2（c+2）2（£+2）2
b2
（6+3）2（c+3）23+3）2
=（a-b）（a-c）（a-d）（b-c）（b-d）（c~d）（a+b+c^d）i
证
（1）左式
a2•"b2ab_b"b2
・■
（a•*b）2ab-b2b2
2（a-6）a-b2b
f\小一AOA
UanLo
001
001
-1
=+fl.-jT
ax
ay十bz
az十bx
by
ay十bz
az十bx
左式=
az"bjc
ax+by
bz
a&亠bjc
ajc+by
az
axby
ay+bz
bx
ax+by
ay+bz
=（a-bY=右式;
（2）将左式按第1列拆开得
=aDj+bD2■
其中
xay+bzaz+bx
jcay+bzz
Cj-bci
yaz+bxax+by
iMf~=7T7,,Ma
yaz+bxx
CjT<4
zar+byay+bz
zax+byy
0=
y
ay+bz
az+bx
y
z
az+bx
C2-呵
z
az•卜bx
ax+by
===b
X
ax+by
b
X
ax+by
ay+bz
工
y
ay+bz
D
y
y
兀y
C一"2
CJ-T&
于是
D=aD,+心=（/+沪）
二右式.
a2
2a+1
2a+3
2a+5
b2
26+1
26+3
26+5
c2
2c+1
2c+3
2c+5
d2
2d+1
2d+3
2d+5
（3）左式
C\-C2
2a+1
26+1
2c+1
=0（因有两列相同）;
（4）左式二
r-g尸2-a/|
d2
1
0
B0
ba
b（b—a）b2（b2~a2）c2（c2—a2）
1
b
（c一a）
d（d—a）
dz（dl-a2）
1
各列珮公因子g）g）（D
ri—6（6+a）ri
-.--—n-.（b・a）（c-a）Q-a）
62（6+a）c2（c+a）J2（J+a）
111
0c-bd-b
0xy
=（〃一a）（c-4）（/-a）
工y
其中：
工=c2（c+a）-（6c）（6+a）=c（c2+ac-62-aA）=c（a+6+c）（c-6）;y=d'（d十q）-bd（b+a）=d（a+b十d）（d一b）.
=（c-b）（d-b）
11
c（a+6+c）d（a+b十d）
=（c—b）（d-b）[d（a+b+d）-e（4+b+c）]
=（c-6）（^-6）[（J-c）（a+6）+^2-c2]
=（c-6）（d-b）（〃・c）（a+b+c十d）,
因此，左式=（b-a）（e-a）（d-a）（c-b）（d-6）（/-e）（a+b+c+〃）:
=右式.
（5）证一递推法•按第1列展开，以建立递推公式，
-1
x-1
Dwf,=xDn+（-l）wf2a0
=+（-l）2"*2a0=zD.+aQ.又，归纳基础为:
D|=a.（注意不是工），于是
D^g=+a0
=x（xDn.|+fi|）+a0
=x2Dh.|+«|X+a0
=xMD}+aR.|xw"+•••+fl|x+a0
+…+a^x•
=a0+a,x+a2x
证二按最后一行展开得
=士（-1）5—匕+
j・o
==a0+fljx+a2x2+…+an^xxa^x+anxn.
7•设"阶石列式D二det（勺），把D上下翻转、或逆时针旋转90•、或依副对角线翻转，依次得・
J…5
5…％
%…5
••
••
••
，。
2=
•••
••
••
4=
••
••
••
«11…4“
…J
J…«||
证明D,=D,=（-l）d2：
r22D,D3=D.
证
（1）先计算D“为此通过交换行将D,变换成D,从而找出0与D的关系.
D,的最后一行是D的第1行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1行,共进行«-1次交换；这时最后一行是D的第2行，把它依次与前面的行交换，直至换到第2行，共进行W-2次交换;……，直至最后一行是D的第n-1行,再通过一次交换将它换到第h-1行，这样就把D,变换成D,共进行
（n-l）+（n-2）+-+l=yW（n-l）
次交换，故D产
注1*上述交换行列式的行（列）的方法，在解题时，经常用到.它的待点是在把最后一行换到某一行的同时，保持其余"-1个行之间原有的先后次序（但行的序号可能改变）.2・同理把D左右翻转所得行列式为（-i）b（--'>D.
（2）计算D2.注意到D2的第1,2,…，”行恰好依次是D的第”，”-1,…，1列,故若把D2上下翻转得庁2,则D2的第1,2,-,n行依次是D的第1,2.-.«列，即D2=Dt.于是由
（1）
D2=（-1）卜u=
（3）计算D）.注意到若把D3逆时针旋转90•得戸）,则Dy的第1,2,…，”列恰好是D的第歹9,于是再把D｝左右翻转就得到D.由
（1）之注及⑵，有
D3=（-l）^（"-,）d3=d.
注本例的结论值得记取，即对行列式D作转置、依副对角线翻转、旋转180>所得行列式不变;作上下翻转佐右翻转、逆（顺）时针旋转90°所得行列式为
8•计算下列各行列式（D*为&阶行列式）：
a1
（1）Dn=•・.，其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;
1a
⑵Dw=
■
•
a
••
••
ta•••x
a'（a-1）
a"_，（aT）"
-…（a-n）・
・・・（a-n）"'1
（3）D.■厂
=
••
••
••
■
•
■
aa-1
…a-m
11
…1
提示：
利用范總蒙徳行列式的结果・
■
dy
■其中未写出的元素都是0；
（5）D.=det（a4>）,其中ah=\i-jl;
1+«!
1•••
11+a2…
（1）解一
11•••1+aw
把D“按第一行展开得
0a0
=aw+（-l）wM
解二
a
0
1
a1
1
0
1.
a
Of
••
a
•
•••
Q
0
a
0
a
（a2-l）.
按第一列展开
（2）本题中臥是教材例8中行列式的一般形式，它是一个非常有用的行列式,在以后各章中有不少应用.
解利用各列的元素之和相同，提取公因式.
+（并一l）a
x+（n-l）a
…x+（n—l）a
x+（n-l）a]
=（x-a）w'l[x+（n-l）a].
（3）解把所给行列式上下翻转，即为范德蒙徳行列式，若再将它左右翻转•由于上下翻转与左右翻转所用交换次数相等•故行列式经上下翻转再左右翻转（相当于转180・,参看题7）其值不变.于是按范徳蒙德行列式的结果，可得
1
n（D!
＜/＜；＜・“
（a-nV
n+l）w•
（4）解本题与例11相仿，解法也大致相同，用递推法.
由例10,上f5”（4■血—b第CJ©2（H-1）V
即有递推公式
D2a=（aA-6工」Dgt）.
另一方面，归纳基础为D2=
by
a-ss利用这些结果■递推得
（5）解
（6）解将原行列式化为上三角形行列式•为此，从第2行起，各行均减去第1行，得与例1・3相仿的行列式
其中6=1+a.+右i（l+拿£）.于是
D—“（1+命廿.
3
-5
2
1-12
：
?
[.D的（i.j）元的代数余子式记作A,求
01-1
-53-3
Asi+3A、2一2Ajj+2AU・
解与例13相仿+3A32-2Aa+2A“等于用1,3,-2,2替换D的第
3行对应元素所得行列式•即
10.
（1）
1
4
1
1
-1
3
:
J
1
1
-
3
-2
2
3
i
-5
3
-3
1-
•5
3
1
-1
1
1
5
2
2
0
1
1
3
-2
0
按
展开
1
••
1
1
3
0
Aj|+3Au-2Ar+2A54
-1
3
-2
3
-1
3
_5
1
0
0=24.
用克拉默法则解下列方程组：
X|++x3+x4=5;
X|+2x2-x3+4x4=-2;
V
—2
4
-4
-1
4
-1
-2
3
=1>
=0,
+6x4=0f
+孔
+2j*j+11
=0；
巧
+5x
1
1
1
I
1
i
1
1
1
2一1
4
0
1
-2
3
2
-3
-1
_5
0
_5
-3
_7
3
1
2
11
宀1
0
-2
-1
8
⑵彳
D=
1
2xj-3=2-"5x4=-2»
1
0
0
0
1
-2
-13
_5
-13
一5
14
=_142;
5
-2
1
2
1
-1
c“1
3
1
3
1
0
1
5
-2
_3
_1
-5
3
-2
0
_4
0
1
2
11
-10
-1
0
9
14
0
按门风开
3
3
5
-27
0
32
3
-2
-4
23
0
-22
n-2r3
••
-10
-1
9
-10
_1
9
=一142；
-27
23
32
-22
1511
1511
1-2-14
0-7-23
2-2-1-5
0-12-3-7
30211
2
0-15-18
_7
-2
=
-12
-3
-15
-1
按
巾展开
23
33
23
33
-15
0-13
0-31
-18
1151
1151
12-24
01-73
2-3-2-5
rj_2r'
0-5-12-7
31011
0一2-158
1
11
■
一478
01
-2914
=一426;
0
-29
14
1
1
5
2
—
1
■2
3
••
1
-2
rj_
1
2
0
1
1
1
5
0
1
-2
7
0
0
•13
-47
0
0
-5
-29
0
1
1
0
0
0
1
3
8
1
2
3
5
-7
-47
卩+5心
r+2“
1
*5
_2
1
-2
_3
-13-47
-5-29
由克拉默法则•得
4三労=1,
5
1
6
5
0
6
（2）D=
0
1
5
0
0
1
0
0
6
5
5
-7
-12
-15
142.
=^=2,x3=^=3,x4=^=-1;
=5
于是D=325-114=211；
=65;
（*）
600
156=114,
015
60
56
15
01
按"展开
^^65-216—1;
D2=
=-19+180=161；
d3=
5
1
0
0
150
560
按展开
n（a
U10
10u
005
016
0
0
6
5
0
0
1
=5-114=
0
6
5
1
6
5
1
0
0
0
由（•）式
-109;
1
00
1
1156
560
015
+
156
001
015
按“展开
109
由克拉默法则，得
~d=-2n*X2=o-=m^3="d="2n*X4=%=m-
工=21—151-_D2^161
11.问4尸取何值时，齐次线性方程组
Aj：
i+x2+=0>
・X|+牛2十工］=0>
工1+2耳2十工3=0
有非零解?
解由定理5’•此时方程组的系数行列式必须为0.
10
A1
D=1JJL
12“
故只有当或入=1时，方程组才可能有非零解.•当原方程组成为
JAj：
i+x2+=0>
1工1+工3=0>
显然X!
=1,X2=1-Atx3=-1是它的一个非零解;当A=L原方程组成为
X|+x2+x3=0t
■X：
+jtzx2+x3=0,
X|+2牛2+X3=0,
显然，4=-l,x2=0,x3=1是它的一个非零解.因此，当“=0或4=1时，方程组有非零解.
注定理5（或定理5‘）仅表明齐次线性方程组要有非零解，它的系数行列
式必为零•至于这条件是否充分将在第三章中予以解决，目前还是应验证它有非零解.下题也是同样情形.
12.问A取何值时，齐次线性方程组
（1—A）X|-2x2+
v2^|+（3-入）比+
4+
4x3=0fx3=0,工2+（1一入）工］=0
1-A-24
ri^rj
111-A
23-A1
23-A1
111-A
1-A-24
1
0
0
1
1-A
-3+A
有非零解？
解若方程组有非零解■由定理5：
它的系数行列式D=0.
1-A2—1
1-AA
-3+A4-（1-A）2
A—33入—入2
1-A
2A-14-（1-A）
1-A
1
故D=0=>A=0或入=2或A=3»并且不难验证:
-A（A-3）
=一入Q-2）（入一3）.
当入=0时,xt=-2,x2=ltx3=l；当入=2时.4=一2,工2=3,6=1;当23时严=-1,工2=5,6=2均是该方程组的非容解•所以当入=0,2,3时方程组有非零解.
习题解答
1.计算下列乘积:
3
-2
7
7
2
.1
3
2
2
；（3）.
1
.1
3,
（2）（1.2,3）
1
-1
1
0
1
4
3
-3
0
1
2
1
-2
⑸
解
3
（2）（1,2,3）“2=（10）lxI=10；
13«1
2
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