初中数学9大几何模型证明结论及推导.docx

1、初中数学9大几何模型证明结论及推导初中数学9大几何模型（证明结论及推导）一、手拉手模型-旋转型全等（1）等边三角形【条件】：OAB和OCD均为等边三角形；【结论】：OACOBD；AEB=60；OE平分AED（2）等腰直角三角形【条件】：OAB和OCD均为等腰直角三角形；【结论】：OACOBD；AEB=90；OE平分AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：OAB和OCD均为等腰三角形；且COD=AOB【结论】：OACOBD；AEB=AOB；OE平分AED二、模型二：手拉手模型-旋转型相似（1）一般情况【条件】：CDAB，将OCD旋转至右图的位置【结论】：右图中OCDOABOACOBD；延

2、长AC交BD于点E，必有BEC=BOA（2）特殊情况 【条件】：CDAB，AOB=90将OCD旋转至右图的位置【结论】：右图中OCDOABOACOBD；延长AC交BD于点E，必有BEC=BOA；tanOCD；BDAC；连接AD、BC，必有；三、模型三、对角互补模型（1）全等型-90【条件】：AOB=DCE=90；OC平分AOB【结论】：CD=CE；OD+OE=OC；证明提示：作垂直，如图2，证明CDMCEN过点C作CFOC，如图3，证明ODCFEC当DCE的一边交AO的延长线于D时（如图4）： 以上三个结论：CD=CE；OE-OD=OC；（2）全等型-120【条件】：AOB=2DCE=120；

3、OC平分AOB【结论】：CD=CE；OD+OE=OC； 证明提示：可参考“全等型-90”证法一；如右下图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明OCF为等边三角形。 （3）全等型-任意角【条件】：AOB=2，DCE=180-2；CD=CE；【结论】：OC平分AOB；OD+OE=2OCcos； 当DCE的一边交AO的延长线于D时（如右下图）：原结论变成： ； ； 。可参考上述第种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。对角互补模型总结：常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；注意OC平分AOB时，CDE=CED=COA

4、=COB如何引导？四、模型四：角含半角模型90（1）角含半角模型90-1【条件】：正方形ABCD；EAF=45；【结论】：EF=DF+BE；CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；也可以这样：【条件】：正方形ABCD；EF=DF+BE；【结论】：EAF=45；（2）角含半角模型90-2【条件】：正方形ABCD；EAF=45；【结论】：EF=DF-BE；（3）角含半角模型90-3【条件】：RtABC；DAE=45；【结论】：（如图1）若DAE旋转到ABC外部时，结论仍然成立（如图2）（4）角含半角模型90变形【条件】：正方形ABCD；EAF=45；【结论】：AHE为等腰直角三角形；证明：连接AC

5、（方法不唯一）DAC=EAF=45，DAH=CAE，又ACB=ADB=45；DAHCAE，AHEADC，AHE为等腰直角三角形模型五：倍长中线类模型（1）倍长中线类模型-1【条件】：矩形ABCD；BD=BE； DF=EF；【结论】：AFCF模型提取：有平行线ADBE；平行线间线段有中点DF=EF；可以构造“8”字全等ADFHEF。（2）倍长中线类模型-2【条件】：平行四边形ABCD；BC=2AB；AM=DM；CEAB；【结论】：EMD=3MEA辅助线：有平行ABCD，有中点AM=DM，延长EM，构造AMEDMF，连接CM构造 等腰EMC，等腰MCF。（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大

6、小转化）模型六：相似三角形360旋转模型（1）相似三角形（等腰直角）360旋转模型-倍长中线法【条件】：ADE、ABC均为等腰直角三角形；EF=CF；【结论】：DF=BF；DFBF 辅助线：延长DF到点G，使FG=DF，连接CG、BG、BD，证明BDG为等腰直角三角形； 突破点：ABDCBG； 难点：证明BAO=BCG（2）相似三角形（等腰直角）360旋转模型-补全法【条件】：ADE、ABC均为等腰直角三角形；EF=CF；【结论】：DF=BF；DFBF辅助线：构造等腰直角AEG、AHC；辅助线思路：将DF与BF转化到CG与EF。（3）任意相似直角三角形360旋转模型-补全法【条件】：OABOD

7、C；OAB=ODC=90；BE=CE；【结论】：AE=DE；AED=2ABO辅助线：延长BA到G，使AG=AB，延长CD到点H使DH=CD，补全OGB、OCH构造旋转模型。转化AE与DE到CG与BH，难点在转化AED。（4）任意相似直角三角形360旋转模型-倍长法【条件】：OABODC；OAB=ODC=90；BE=CE；【结论】：AE=DE；AED=2ABO辅助线：延长DE至M，使ME=DE，将结论的两个条件转化为证明AMDABO，此为难点，将AMDABC继续转化为证明ABMAOD，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在证明ABM=AOD模型七：最短路程模型（1）最短路程模型一（将军饮马类）总结

8、：右四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决；特点：动点在直线上；起点，终点固定（2）最短路程模型二（点到直线类1）【条件】：OC平分AOB；M为OB上一定点；P为OC上一动点；Q为OB上一动点；【问题】：求MP+PQ最小时，P、Q的位置？辅助线：将作Q关于OC对称点Q，转化PQ=PQ，过点M作MHOA，则MP+PQ=MP+PQMH(垂线段最短）（3）最短路程模型二（点到直线类2）【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n）【问题】：n为何值时，最小？求解方法：x轴上取C(2,0),使sinOAC=；过B作BDAC，交y轴于点E，即为所求；tanEBO

9、=tanOAC=，即E（0，1）（4）最短路程模型三（旋转类最值模型）【条件】：线段OA=4，OB=2；OB绕点O在平面内360旋转；【问题】：AB的最大值，最小值分别为多少？【结论】：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。最大值：OA+OB；最小值：OA-OB 【条件】：线段OA=4，OB=2；以点O为圆心，OB，OC为半径作圆； 点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；【结论】：若PA的最大值为10，则OC= 6 ；若PA的最小值为1，则OC= 3 ； 若PA的最小值为2，则PC的取值范围是 0PC2 【条件】：RtOBC，O

10、BC=30；OC=2；OA=1；点P为BC上动点（可与端点重合）；OBC绕点O旋转【结论】：PA最大值为OA+OB=；PA的最小值为如下图，圆的最小半径为O到BC垂线段长。模型八：二倍角模型【条件】：在ABC中，B=2C；辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点A，连接AA、BA、CA、 则BA=AA=CA(注意这个结论）此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。模型九：相似三角形模型（1）相似三角形模型-基本型平行类：DEBC； A字型 8字型 A字型结论：(注意对应边要对应）（2）相似三角形模型-斜交型【条件】：如右图，AED=ACB=90；【结论】：AEA

11、B=ACAD【条件】：如右图，ACE=ABC；【结论】：AC2=AEAB第四个图还存在射影定理：AEEC=BCAC；BC2=BEBA；CE2=AEBE；（3）相似三角形模型-一线三等角型【条件】：（1）图：ABC=ACE=CDE=90； （2）图：ABC=ACE=CDE=60； （3）图：ABC=ACE=CDE=45；【结论】：ABCCDE；ABDE=BCCD；一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。（4）相似三角形模型-圆幂定理型【条件】：（2）图：PA为圆的切线；【结论】：（1）图：PAPB=PCPD； （2）图：PA2=PCPB; （3）图：PAPB=PCPD；以上结论均可以通过相似三角形进行证明。