初中数学9大几何模型证明结论及推导.docx
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初中数学9大几何模型证明结论及推导
初中数学9大几何模型（证明结论及推导）
一、
手拉手模型----旋转型全等
（1）等边三角形
【条件】：
△OAB和△OCD均为等边三角形；
【
结论】：
①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED
（2）等腰直角三角形
【条件】：
△OAB和△OCD均为等腰直角三角形；
【
结论】：
①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED
（3）顶角相等的两任意等腰三角形
【条件】：
△OAB和△OCD均为等腰三角形；
且∠COD=∠AOB
【结论】：
①△OAC≌△OBD；
②∠AEB=∠AOB；
③OE平分∠AED
二、
模型二：
手拉手模型----旋转型相似
（1）一般情况
【条件】：
CD∥AB，
将△OCD旋转至右图的位置
【
结论】：
①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；
②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA
（2）特殊情况
【条件】：
CD∥AB，∠AOB=90°
将△OCD旋转至右图的位置
【结论】：
①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；
②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA；
③
tan∠OCD；④BD⊥AC；
⑤连接AD、BC，必有
；⑥
三、模型三、对角互补模型
（1）全等型-90°
【条件】：
①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB
【结论】：
①CD=CE；②OD+OE=
OC；③
证明提示：
①作垂直，如图2，证明△CDM≌△CEN
②过点C作CF⊥OC，如图3，证明△ODC≌△FEC
※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如图4）：
以上三个结论：
①CD=CE；②OE-OD=
OC；
③
（2）全等型-120°
【条件】：
①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB
【结论】：
①CD=CE；②OD+OE=OC；③
证明提示：
①可参考“全等型-90°”证法一；
②如右下图：
在OB上取一点F，使OF=OC，证明△OCF为等边三角形。
（3）全等型-任意角ɑ
【条件】：
①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；
【结论】：
①OC平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ；
③
※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如右下图）：
原结论变成：
①；
②；
③。
可参考上述第②种方法进行证明。
请思考初始条件的变化对模型的影响。
对角互补模型总结：
①常见初始条件：
四边形对角互补，注意两点：
四点共圆有直角三角形斜边中线；
②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；
③注意OC平分∠AOB时，
∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引导？
四、模型四：
角含半角模型90°
（1）角含半角模型90°---1
【条件】：
①正方形ABCD；②∠EAF=45°；
【结论】：
①EF=DF+BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；
也可以这样：
【条件】：
①正方形ABCD；②EF=DF+BE；
【结论】：
①∠EAF=45°；
（2）角含半角模型90°---2
【条件】：
①正方形ABCD；②∠EAF=45°；
【结论】：
①EF=DF-BE；
（3）角含半角模型90°---3
【条件】：
①Rt△ABC；②∠DAE=45°；
【结论】：
（如图1）
若∠DAE旋转到△ABC外部时，结论
仍然成立（如图2）
（4）
角含半角模型90°变形
【条件】：
①正方形ABCD；②∠EAF=45°；
【结论】：
△AHE为等腰直角三角形；
证明：
连接AC（方法不唯一）
∵∠DAC=∠EAF=45°，
∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°；
∴△DAH∽△CAE，∴
∴△AHE∽△ADC，∴△AHE为等腰直角三角形
模型五：
倍长中线类模型
（1）倍长中线类模型---1
【条件】：
①矩形ABCD；②BD=BE；
③DF=EF；
【结论】：
AF⊥CF
模型提取：
①有平行线AD∥BE；②平行线间线段有中点DF=EF；
可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF。
（2）倍长中线类模型---2
【条件】：
①平行四边形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；
【结论】：
∠EMD=3∠MEA
辅助线：
有平行AB∥CD，有中点AM=DM，延长EM，构造△AME≌△DMF，连接CM构造
等腰△EMC，等腰△MCF。
（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）
模型六：
相似三角形360°旋转模型
（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---倍长中线法
【条件】：
①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF；
【结论】：
①DF=BF；②DF⊥BF
辅助线：
延长DF到点G，使FG=DF，连接CG、BG、BD，证明△BDG为等腰直角三角形；
突破点：
△ABD≌△CBG；
难点：
证明∠BAO=∠BCG
（2）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---补全法
【条件】：
①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF；
【结论】：
①DF=BF；②DF⊥BF
辅助线：
构造等腰直角△AEG、△AHC；
辅助线思路：
将DF与BF转化到CG与EF。
（3）任意相似直角三角形360°旋转模型---补全法
【条件】：
①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；
【结论】：
①AE=DE；②∠AED=2∠ABO
辅助线：
延长BA到G，使AG=AB，延长CD到点H使DH=CD，补全△OGB、△OCH构造旋转模型。
转化AE与DE到CG与BH，难点在转化∠AED。
（4）任意相似直角三角形360°旋转模型---倍长法
【条件】：
①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；
【结论】：
①AE=DE；②∠AED=2∠ABO
辅助线：
延长DE至M，使ME=DE，将结论的两个条件转化为证明△AMD∽△ABO，此为难点，
将△AMD∽△ABC继续转化为证明△ABM∽△AOD，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在证明∠ABM=∠AOD
模型七：
最短路程模型
（1）最短路程模型一（将军饮马类）
总结：
右四图为常见的轴对称类最短路程问题，
最后都转化到：
“两点之间，线段最短：
解决；
特点：
①动点在直线上；②起点，终点固定
（2）最短路程模型二（点到直线类1）
【条件】：
①OC平分∠AOB；②M为OB上一定点；③P为OC上一动点；④Q为OB上一动点；
【问题】：
求MP+PQ最小时，P、Q的位置？
辅助线：
将作Q关于OC对称点Q’，转化PQ’=PQ，过点M作MH⊥OA，
则MP+PQ=MP+PQ’
MH（垂线段最短）
（3）最短路程模型二（点到直线类2）
【条件】：
A（0,4）,B（-2,0）,P（0,n）
【问题】：
n为何值时，
最小？
求解方法：
①x轴上取C（2,0）,使sin∠OAC=
；②过B作BD⊥AC，交y轴于点E，即为所求；③tan∠EBO=tan∠OAC=
，即E（0，1）
（4）最短路程模型三（旋转类最值模型）
【条件】：
①线段OA=4，OB=2；②OB绕点O在平面内360°旋转；
【问题】：
AB的最大值，最小值分别为多少？
【结论】：
以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为
“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。
最大值：
OA+OB；最小值：
OA-OB
【条件】：
①线段OA=4，OB=2；②以点O为圆心，OB，OC为半径作圆；
③点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；
【结论】：
若PA的最大值为10，则OC=6；若PA的最小值为1，则OC=3；
若PA的最小值为2，则PC的取值范围是0
【条件】：
①Rt△OBC，∠OBC=30°；
②OC=2；③OA=1；④点P为BC上动点（可与端点重合）；
⑤△OBC绕点O旋转
【结论】：
PA最大值为OA+OB=
；PA的最小值为
如下图，圆的最小半径为O到BC垂线段长。
模型八：
二倍角模型
【条件】：
在△ABC中，∠B=2∠C；
辅助线：
以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点A’，连接AA’、BA’、CA’、
则BA=AA’=CA’（注意这个结论）
此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。
模型九：
相似三角形模型
（1）相似三角形模型--基本型
平行类：
DE∥BC；
A字型8字型A字型
结论：
（注意对应边要对应）
（2）相似三角形模型---斜交型
【条件】：
如右图，∠AED=∠ACB=90°；
【结论】：
AE×AB=AC×AD
【条件】：
如右图，∠ACE=∠ABC；
【结论】：
AC2=AE×AB
第四个图还存在射影定理：
AE×EC=BC×AC；BC2=BE×BA；CE2=AE×BE；
（3）
相似三角形模型---一线三等角型
【条件】：
（1）图：
∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°；
（2）图：
∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°；
（3）图：
∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°；
【结论】：
①△ABC∽△CDE；②AB×DE=BC×CD；
一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。
（4）
相似三角形模型---圆幂定理型
【条件】：
（2）图：
PA为圆的切线；
【结论】：
（1）图：
PA×PB=PC×PD；
（2）图：
PA2=PC×PB;
（3）图：
PA×PB=PC×PD；
以上结论均可以通过相似三角形进行证明。
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