北师大版三角形的证明.docx

1、北师大版三角形的证明等腰三角形（基础）知识讲解【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，

2、在ABC中，ABAC，ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,A是顶角，B、C是底角2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)BC； (3)BDCD，AD为底边上的中线.(4)ADBADC90，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等

3、的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.A1802B，BC .（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰

4、三角形三线合一”2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.要点三、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件

5、和结论，不要与性质定理混淆判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形2.等边三角形的判定定理三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.3. 含有30角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点四、反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法

6、叫做反证法.要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题一般证明步骤如下：（1） 假定命题的结论不成立； （2） 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果； （3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关角度的计算题1、如图，在ABC中，D在BC上，且ABACBD，130，求2的度数.举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，ACBCBD，ADAE，DECE，求B的度数类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中

7、，有一个角为40，求其余各角3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边举一反三：【变式】已知等腰三角形的底边BC8，且|ACBC|2，那么腰AC的长为( ) A10或6 B10 C6 D8或6类型三、等腰三角形的性质及其运用4、如图，在ABC中，边ABAC求证：ACBABC举一反三：【变式】已知：如图，在ABC中，AB=AC，A=60，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD求证：DB=DE5、已知：如图，ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB=OC，求证：ABC是等腰三角形举一反三【变式1】如图，在ABC中，AB=AC，BAD=CAE，点D、E在BC上，试说明ADE是等腰三角

8、形类型三、 含有30角的直角三角形6. 如图所示，ABC中，ACB=90，CDAB，垂足是D，A=60.求证：BD=3AD. 举一反三：【变式】如图，等边三角形ABC内一点P，AP=3，BP=4，CP=5，求APB的度数类型四、反证法7. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。举一反三：【变式】下列选项中，可以用来证明命题“若a21，则a1”是假命题的反例是（） A . a= 2 B . a= 1 C . a=1 D. a=2【巩固练习】一.选择题1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( ) A16 B17 C16或17 D10或122. 用反证法证明命题：如果

9、ABCD，ABEF，那么CDEF，证明的第一个步骤是（） A. 假设CDEF ;B. 假设ABEFC. 假设CD和EF不平行D. 假设AB和EF不平行3. 将两个全等的且有一个角为30的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个4. 已知实数x，y满足|x4|+(y8)20，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A20或16 B20 C16 D以上答案均不对5. 如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则度数是（ ） A60 B70 C80 D不确定 6. 如图，在

10、ABC中，AB=AC，BD是ABC的平分线，若ADB=93，则A=（）A31 B C56 D62二.填空题7如图，ABC中，D为AC边上一点，ADBDBC，若A40，则CBD_ 8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大30，则顶角的度数为 9.用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行“的第一步应假设_.10. 等腰三角形的一个角是70，则它的顶角的度数是 .11.如图，AD是ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出ABC是等腰三角形的是_（把所有正确答案的序号都填写在横线上）BAD=ACD；BAD=CAD；AB+BD=AC+CD；ABBD=ACCD12. 如图，ABC的周长

11、为32，且AB=AC，ADBC于D，ACD的周长为24，那么AD的长为 .三.解答题13已知：如图，ABC中，ABAC，D是AB上一点，延长CA至E，使AEAD试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论14.如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，BECE于点EADCE于点D求证：BECCDA15. 用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角角的平分线的性质（基础）【学习目标】1掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质2掌握角平分线的判定及角平分线的画法3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠

12、释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分ADB，点P是CD上一点，且PEAD于点E，PFBD于点F，则PEPF.要点二、角的平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PEAD于点E，PFBD于点F，PEPF，则PD平分ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫

13、做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：ABC的内心为，旁心为，这四个点到ABC三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1如图，ACB90,BD平分ABC交AC于D，DEAB于E，ED的延长线交BC的延长线于F. 求证：AECF.2、如图, ABC中, C 90 , AC BC, AD平分CAB, 交BC于D, DEAB于E, 且AB6, 则DEB的周长为( ) A. 4 B. 6 C.10 D. 以上都不对举一反三：【

14、变式】已知：如图，AD是ABC的角平分线，且，则ABD与ACD的面积之比为（ ）A3：2 B C2：3 D.3、如图，OC是AOB的角平分线，P是OC上一点，PDOA交于点D，PEOB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论类型二、角的平分线的判定4、已知，如图，CEAB,BDAC,BC，BFCF.求证：AF为BAC的平分线.举一反三：【变式】如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，BECF求证：AD是ABC的角平分线.【巩固练习】一.选择题1. AD是ABC的角平分线, 自D点向AB、AC两边作垂线, 垂足为E

15、、F, 那么下列结论中错误的是( ) DF B. AE AF CD D. ADE ADF2如图，在RtABC中，C90，BD是ABC的平分线，交AC于D，若CD，AB，则ABD的面积是（ ）A B C D23. 如图，平分于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（ ） .2 C D. 44. 到三角形三边距离相等的点是（ ）A.三角形三条高线的交点 B.三角形三条中线的交点C三角形三边垂直平分线的交点D.三角形三条内角平分线的交点5. 如图，下列条件中不能确定点O在APB的平分线上的是（ ） APBAPDC B. AODCOB C. ABPD，DCPB D.点O到APB两边的距离相等.6.

16、 已知，如图，ABCD，BAC、ACD的平分线交于点O，OEAC于E，且OE5，则直线AB与CD的距离为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20二.填空题7如图，已知C90，AD平分BAC，BD2CD，若点D到AB的距离等于5，则BC的长为_8. 如图，在ABC中，C90，DEAB，12，且AC6，那么线段BE是ABC的 ，AEDE。9. 已知：如图，在ABC中，BD、CE分别平分ABC、ACB，且BD、CE交于点O，过O作OPBC于P，OMAB于M，ONAC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_10.如图,直线、表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离

17、相等,可供选择的地址有 处.11已知：如图，在RtABC中，C90，沿着过点B的一条直线BE折叠ABC，使C点恰好落在AB边的中点D处，则A的度数等于_12.已知如图点D是ABC的两外角平分线的交点，下列说法（1）ADCD (2)D到AB、BC的距离相等（3）D到ABC的三边的距离相等 （4）点D在B的平分线上其中正确的说法的序号是_.三.解答题13已知，如图，CD90,E是CD上一点，AE、BE分别平分DAB、ABC.求证：E是CD的中点.14如图，在ABC中，C90，BD平分ABC，DEAB于E，若BCD与BCA的面积比为38，求ADE与BCA的面积之比15. 已知：如图，ABC的外角CB

18、D和BCE的平分线BF、CF交于点F.求证：一点F必在DAE的平分线上线段的垂直平分线-知识讲解(基础)【学习目标】1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形. 4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线2.线段垂直平分线的做法求作线段AB的垂直平分线.作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB

19、的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到两弧的交点了(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：

20、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心外心. 要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. 3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求

21、作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理 1、如图，ABC中ACBC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则BCD的周长是（ ） A9 B8 C7 D6举一反三：【变式1】如图，在ABC中，AB=AC，A=36，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）ABD平分ABC BBCD的周长等于AB+BCCAD=BD=BC D点D是线段AC的中点【变式2】如图所示，在ABC中，DE是AC的中垂线，AE3cm，AB

22、D的周长为13cm，则ABC的周长是 cm类型二、线段的垂直平分线的逆定理2、如图，已知AB=AC,ABD=ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线举一反三：【变式】如图，P是MON的平分线上的一点，PAOM,PBON,垂足分别为A、B求证：PO垂直平分AB类型三、线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用3、已知：如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点 求证：BE=CE 4、如图所示，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC边上的中点，CEAD于点E，BFAC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF举一反三：【变式】如图，在ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分线M

23、N分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM. 类型四、尺规作图5、如图，A，B，C是新建的三个居民小区，我们已经在到三个小区距离相等的地方修建了一所学校，你能确定学校的位置吗？线段的垂直平分线巩固练习（基础）【巩固练习】一选择题1如图，在RtABC中，B=90，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E已知BAE=10，则C的度数为（）A30 B40 C50 D602如图，ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm，ACD的周长为12cm，则ABC的周长是（）A13cm B14cm C15cm D16cm3 如图，在ABC中，A=105，AE

24、的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC=BE，则B的度数是（）A45 B60 C50 D554如图，已知直角三角形ABC中，ACB=90，E为AB上一点，且CE=EB，EDCB于D，则下列结论中不一定成立的是（）AAE=BE BCE=AB CCEB=2A DAC=AB5如图，等腰ABC中，AB=AC，A=20线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则CBE等于（） A、80 B、70 C、60 D、506如图所示，BEAC于点D，且ADCD，BDED，若ABC54，则E（ ）A25 B27 C30 D45二填空题7 ABC中，若ABAC2cm，BC的垂直平分线交AB于D点，且

25、ACD的周长为14cm，则AB_，AC_8如图，ABC中，ABAC，AB的垂直平分线交AC于P点（1）若A35，则BPC_；（2）若AB5 cm，BC3 cm，则PBC的周长_9如图，在ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E若EDC的周长为24，ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 10如图，在ABC中，C90，A30，CD2cm， AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，则AC的长是_cm 11如图，在ABC中，C90，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E 若CBD : DBA 3:1，则A的度数为_ 12如图，在ABC中，AC16c

26、m，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC10 cm，那么BCD的周长是 cm三解答题： 13已知ABC中，AD是BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F求证：BAF=ACF14如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连接AE、BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD15为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹 三角形的证明全

27、章复习与巩固(提高)【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三

28、线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a的等边三角形他的高是，面积是；含有30的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.