北师大版三角形的证明.docx

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北师大版三角形的证明

等腰三角形（基础）知识讲解

【学习目标】

1.了解等腰三角形、等边三角形的有关概念,掌握等腰三角形的轴对称性；

2.掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．

3.理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.

4.理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.

【要点梳理】

要点一、等腰三角形的定义

1.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

2.等腰三角形的作法

已知线段a,b（如图）.用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.

作法：

1.作线段BC=a；

2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧

相交于点A;

3.连接AB,AC.

△ABC为所求作的等腰三角形

3.等腰三角形的对称性

（1）等腰三角形是轴对称图形；

（2）∠B＝∠C；

（3）BD＝CD，AD为底边上的中线.

（4）∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.

结论：

等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线）所在的直线是它的对称轴.

4.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴.

要点诠释：

（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝

.

（2）等边三角形与等腰三角形的关系：

等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.

要点二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：

等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．

推论：

等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.

性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．

2.等腰三角形中重要线段的性质

　　等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.

要点诠释：

这条性质，还可以推广到一下结论：

（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.

（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.

（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.

要点三、等腰三角形的判定定理

1.等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：

在一个三角形中，等角对等边.

要点诠释：

（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.

（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．

2.等边三角形的判定定理

三个角相等的三角形是等边三角形.

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

3.含有30°角的直角三角形

定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

要点四、反证法

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.

要点诠释：

反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：

（1）假定命题的结论不成立；

（2）从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；

（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.

【典型例题】

类型一、等腰三角形中有关角度的计算题

1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.

举一反三：

【变式】已知：

如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，

求∠B的度数．

类型二、等腰三角形中的分类讨论

2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．

3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．

举一反三：

【变式】已知等腰三角形的底边BC＝8

，且|AC－BC|＝2

，那么腰AC的长为（）．

A．10

或6

B．10

C．6

D．8

或6

类型三、等腰三角形的性质及其运用

4、如图，在△ABC中，边AB＞AC．

求证：

∠ACB＞∠ABC

举一反三：

【变式】已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．

求证：

DB=DE．

5、已知：

如图，△ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB=OC，求证：

△ABC是等腰三角形．

举一反三

【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，点D、E在BC上，试说明

△ADE是等腰三角形．

类型三、含有30°角的直角三角形

6.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：

BD=3AD.

举一反三：

【变式】如图，等边三角形ABC内一点P，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数．

类型四、反证法

7.求证：

在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

举一反三：

【变式】下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（　　）

A.a=—2B.a=—1C.a=1D.a=2

【巩固练习】

一.选择题

1.已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为（）

A．16B．17C．16或17D．10或12

2.用反证法证明命题：

如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（　　）

A.假设CD∥EF;

B.假设AB∥EF

C.假设CD和EF不平行

D.假设AB和EF不平行

3.将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　A.4个　　　B.3个　　　C.2个　　　D.1个

4.已知实数x，y满足|x−4|+（y−8）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）

A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对

5.如图，D是AB边上的中点，将

沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若

，则

度数是（）

A．60°B．70°C．80°D．不确定

6.如图，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，若∠ADB=93°，则∠A=（　　）

A．31°B．°C．56°D．62°

二.填空题

7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．

8.等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°，则顶角的度数为．

9.用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行“的第一步应假设_________.

10.等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是.

11.如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是　_________　．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）

①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．

12.如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为.

三.解答题

13．已知：

如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．

试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．

14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．

求证：

△BEC≌△CDA．

15.用反证法证明：

等腰三角形的底角是锐角．

角的平分线的性质（基础）

【学习目标】

1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．

2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．

3.熟练运用角的平分线的性质解决问题．

【要点梳理】

要点一、角的平分线的性质

　　角的平分线的性质：

角的平分线上的点到角两边的距离相等.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

要点二、角的平分线的判定

　角平分线的判定：

角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

要点三、角的平分线的尺规作图

角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分别以D、E为圆心，大于

DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

　　（3）画射线OC.

射线OC即为所求.

要点四、三角形角平分线的性质

三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.

三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：

△ABC的内心为

，旁心为

，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.

【典型例题】

类型一、角的平分线的性质

1．如图，∠ACB＝90°,BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F.求证：

AE＝CF.

2、如图,△ABC中,∠C＝90,AC＝BC,AD平分∠CAB,交BC于D,DE⊥AB于E,且AB＝6

则△DEB的周长为（）

A.4

B.6

C.10

D.以上都不对

举一反三：

【变式】已知：

如图，AD是△ABC的角平分线，且

，则△ABD与△ACD的面积之比为（　）

A．3：

2B．

C．2：

3D.

3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？

证明你的结论．

类型二、角的平分线的判定

4、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：

AF为∠BAC的平分线.

举一反三：

【变式】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．

求证：

AD是△ABC的角平分线.

【巩固练习】

一.选择题

1.AD是△ABC的角平分线,自D点向AB、AC两边作垂线,垂足为E、F,那么下列结论中错误的是（）

＝DFB.AE＝AF＝CDD.∠ADE＝∠ADF

2．如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD＝

，AB＝

，则ΔABD的面积是（）

A．

B．

C．

D．2

3.如图，平分于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（）

.2CD.4

4.到三角形三边距离相等的点是（）

　　A.三角形三条高线的交点　　　　　　　B.三角形三条中线的交点

　　C．三角形三边垂直平分线的交点　　　　D.三角形三条内角平分线的交点

5.如图，下列条件中不能确定点O在∠APB的平分线上的是（）

A．△PBA≌△PDCB.△AOD≌△COB

C.AB⊥PD，DC⊥PBD.点O到∠APB两边的距离相等.

6.已知，如图，AB∥CD，∠BAC、∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于E，且OE＝5

，则直线AB与CD的距离为（）

A.5

B.10

C.15

D.20

二.填空题

7．如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5

，则BC的长为_____

．

8.如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB，∠1＝∠2，且AC＝6

，那么线段BE是△ABC的　　　，AE＋DE＝　　　。

9.已知：

如图，在ΔABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于点O，过O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____．

10.如图,直线、、表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可供选择的地址有处.

11．已知：

如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，沿着过点B的一条直线BE折叠ΔABC，使C点恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于_____．

12.已知如图点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法

（1）AD＝CD　　　　　　　　　　

（2）D到AB、BC的距离相等

　　（3）D到△ABC的三边的距离相等（4）点D在∠B的平分线上

　　其中正确的说法的序号是_____________________.

三.解答题

13．已知，如图，∠C＝∠D＝90°,E是CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC.

　　求证：

E是CD的中点.

14．如图，在ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD与△BCA的面积比为3∶8，求△ADE与△BCA的面积之比．

15.已知：

如图，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.

求证：

一点F必在∠DAE的平分线上．

线段的垂直平分线----知识讲解（基础）

【学习目标】

1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．

2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.

3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.

4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．

【要点梳理】

要点一、线段的垂直平分线

1.定义

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．

2.线段垂直平分线的做法

求作线段AB的垂直平分线.

作法：

（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；

（2）作直线CD，CD即为所求直线．

要点诠释：

（1）作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到两弧的交点了．

（2）线段的垂直平分线的实质是一条直线.

要点二、线段的垂直平分线定理

线段的垂直平分线定理：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

要点诠释：

线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．

要点三、线段的垂直平分线逆定理

线段的垂直平分线逆定理：

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

要点诠释：

到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．

要点四、三角形的外心

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.

要点诠释:

1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.

2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.

3.外心到三顶点的距离相等.

要点五、尺规作图

作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.

【典型例题】

类型一、线段的垂直平分线定理

1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）

A．9B．8C．7D．6

举一反三：

【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（　　）

A．BD平分∠ABCB．△BCD的周长等于AB+BC

C．AD=BD=BCD．点D是线段AC的中点

【变式2】如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是　cm．

类型二、线段的垂直平分线的逆定理

2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：

AD是线段BC的垂直平分线．

举一反三：

【变式】如图，P是∠MON的平分线上的一点，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A、B．求证：

PO垂直平分AB．

类型三、线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用

3、已知：

如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点．求证：

BE=CE．

4、如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：

AB垂直平分DF．

举一反三：

【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.求证：

CM=2BM.

类型四、尺规作图

5、如图，A，B，C是新建的三个居民小区，我们已经在到三个小区距离相等的地方修建了一所学校，你能确定学校的位置吗？

线段的垂直平分线——巩固练习（基础）

【巩固练习】

一．选择题

1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（　　）

A．30°B．40°C．50°D．60°

2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm，

△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（　　）

A．13cmB．14cmC．15cmD．16cm

3．如图，在△ABC中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC=BE，则∠B的度数是（　　）

A．45°B．60°C．50°D．55°

4．如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，E为AB上一点，且CE=EB，ED⊥CB于D，则下列结论中不一定成立的是（　　）

A．AE=BEB．CE=ABC．∠CEB=2∠AD．AC=AB

5．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（　　）

A、80°B、70°

C、60°D、50°

6．如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（）．

A．25°　B．27°　C．30°　D．45°

二．填空题

7．ΔABC中，若AB－AC＝2cm，BC的垂直平分线交AB于D点，且ΔACD的周长为14cm，则AB＝_____，AC_____．

8．如图，ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．

（1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；

（2）若AB＝5cm，BC＝3cm，则ΔPBC的周长＝_____．

9．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为．

10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，CD＝2cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，则AC的长是___________cm．

11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E．若∠CBD:

∠DBA＝3:

1，则∠A的度数为________．

12．如图，在△ABC中，AC＝16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC＝10cm，

那么△BCD的周长是cm．

三．解答题：

13．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．

求证：

∠BAF=∠ACF．

14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：

（1）FC=AD；

（2）AB=BC+AD．

15．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：

写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．

《三角形的证明》全章复习与巩固（提高）

【学习目标】

1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.

2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.

3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、等腰三角形

1.三角形全等的性质及判定

全等三角形的对应边相等，对应角也相等.

判定：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

2.等腰三角形的判定、性质及推论

性质：

等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

判定：

有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）

推论：

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）

3.等边三角形的性质及判定定理

性质定理：

等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.

判定定理：

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.

4.含30°的直角三角形的边的性质

定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

要点诠释：

等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a的等边三角形他的高是

，面积是

；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.