人教版必修一第1章《集合与函数概念》全章知识小结.docx

1、人教版必修一第1章集合与函数概念全章知识小结数学必修1(人教A版)一、集合1集合：某些指定的对象集在一起成为集合(1)集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作aA；若b不是集合A的元素，记作bA.(2)集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法列举法：把集合

2、中的元素一一列举出来，写在大括号内描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征特别关注：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法(4)常用数集及其记法非负整数集(或自然数集)，记作N；正整数集，记作N*或N；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.2集合的包含关系(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集(或B包含A)，记作AB(或BA)集合相等：构成

3、两个集合的元素完全一样若AB且BA，则称A等于B，记作AB；若AB且AB，则称A是B的真子集，记作AB.(2)简单性质：AA；A；若AB，BC，则AC；若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集(其中2n1个真子集)3全集与补集(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U.(2)若S是一个集合，AS，则SAx|xS且xA称S中子集A的补集(3)简单性质：S(SA)A；SS；SS.4交集与并集(1)一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集交集ABx|xA且xB(2)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并

4、集并集ABx|xA或xB特别关注：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法5集合的简单性质(1)AAA，A，ABBA；(2)AA，ABBA；(3)(AB)(AB)；(4)ABABA；ABABB；(5)S(AB)(SA)(SB)，S(AB)(SA)(SB)二、函数1函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称

5、f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作yf(x)，xA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域特别关注：(1)“yf(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“yg(x)”；(2)函数符号“yf(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：自然型指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，等等)限制型指命题的条件或人为

6、对自变量x的限制，这是函数学习中的重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误实际型解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考查自变量x的实际意义(2)求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题：配方法(将函数转化为二次函数)；判别式法(将函数转化为二次方程)；不等式法(运用不等式的各种性质)；函数法(运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等)3两个函数的相等函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当

7、两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数4区间(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示5映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记作“f：AB”函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这样的对应就叫映射特别关注：(1)这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不

8、同的其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述(2)“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个，二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思6常用的函数表示法(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系7分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数8复合函数若yf(u)，ug(x)，x(a，b)，u(m，n)，那么yfg(x)称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域三、函数性质

9、1奇偶性(1)定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)f(x)，则称f(x)为偶函数如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数特别关注：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)(2)利用定义判断函数奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称

10、确定f(x)与f(x)的关系作出相应结论：若f(x)f(x)或f(x)f(x)0，则f(x)是偶函数；若f(x)f(x)或f(x)f(x)0，则f(x)是奇函数(3)简单性质图象的对称性质：一个函数是奇函数则它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数则它的图象关于y轴对称设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇2单调性(1)定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数)

11、特别关注：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，总有f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)(2)如果函数yf(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间(3)设复合函数yfg(x)，其中ug(x)，A是yfg(x)定义域的某个区间，B是映射g：xug(x)的象集：若ug(x)在A上是增(或减)函数，yf(u)在B上也是增(或减)函数，则函数yfg(x)在A上是增函数若ug(x)在A上是增(或减)函数，而yf(u)在B上是减(或增)函数

12、，则函数yfg(x)在A上是减函数(4)判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：任取x1，x2D，且x1x2；作差f(x1)f(x2)；变形(通常是因式分解和配方)；定号即判断差f(x1)f(x2)的正负；下结论即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性(5)简单性质奇函数在其对称区间上的单调性相同偶函数在其对称区间上的单调性相反在公共定义域内：增函数f(x)增函数g(x)是增函数；减函数f(x)减函数g(x)是减函数；增函数f(x)减函数g(x)是增函数；减函数f(x)增函数g(x)是减函数3最值(1)定义最大值：一般地，设函数yf(x)的定义域为

13、I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最大值最小值：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)是最小值特别关注：函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0)M.函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的xI，都有f(x)Mf(x)M(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值利用图象求函数的最大(小)值利用函数的单调性判断函数

14、的最大(小)值：如果函数yf(x)，xa，c在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减，则函数yf(x)在xb处有最大值f(b)如果函数yf(x)，xa，c在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增，则函数yf(x)在xb处有最小值f(b)集合中元素个数的计算设card(X)表示有限集X所含元素的个数，则card(AB)card(A)card(B)card(AB)，特别地，当AB时，card(AB)card(A)card(B)；card(ABC)card(A)card(B)card(C)card(AB)card(AC)card(BC)card(ABC)某班有36名同学分别参加数学、物理

15、、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有_人解析：由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组，设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，则card(ABC)0，card(AB)6，card(BC)4.由公式：card(ABC)card(A)card(B)card(C)card(AB)card(AC)card(BC)，知3626151364card(AC)，故card(AC)

16、8.即同时参加数学和化学小组的有8人答案：8跟踪训练1已知全集UAB中有m个元素，(UA)(UB)中有n个元素若AB非空，则AB的元素个数为()Amn个 Bmn个Cnm个 Dmn个解析：因为AB(AB)(UA)(UB)，所以AB共有mn个元素，选D.答案：D2某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_人解析：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有(15x)人，只喜爱乒乓球的有(10x)人，由此可得(15x)(10x)x830，解得x3，所以15x12.即所求人数为12人答案：12集合中的简单推理1若aA，

17、则aUA；若aUA，则aA.2若aAB，则aA且aB.3设a3，故由a23, 解得a1.答案：1有关集合的新定义问题有关集合的新定义问题，高考中常见的有两类题型：一是定义集合的新概念，二是定义集合的新运算一、定义集合的新概念对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必定包含于，则称为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是_(写出所有凸集相应图形的序号)解析：由题中凸集的定义，观察所给图形知，不是凸集，而满足条件，是凸集答案：二、定义集合的新运算在集合a，b，c，d上定义两种运算和如下： abcdaabcdbbbbbccbcbddbbdabcdaaaaAb

18、abcDcaccAdadaD那么( )Aa BbCc Dd解析：由上表可知：(a c)c，故d (a c)dca，选A.答案：A跟踪训练4设P是一个数集，且至少含有两个数若对任意a，bP，都有ab、ab，ab、P(除数b0)，则称P是一个数域例如有理数集Q是数域有下列结论：数域必含有0,1两个数；整数集是数域；若有理数集QM，则M必为数域；数域必为无限集其中正确的结论的序号是_(把你认为正确结论的序号都填上)解析：设a，b数域P，按照定义得P，P，从而1P.又a，bP，则abP，abP，baP，从而0(ab)(ba)P，于是数域必含有0,1两个数；因此正确；以此类推下去，可知数域必为无限集，正

19、确对除法如Z不满足，所以排除；取MQ，1，M，但对除法M. 所以正确答案： 集合的子集个数设集合M有N个元素，那么集合M的所有子集共有2n个，集合M的所有真子集共有2n1个，集合M的所有非空真子集共有2n2个若集合M，显然M的所有子集共有1个；若集合M只有一个元素，即Ma1，M的所有子集分别是和Ma1，所有子集共有2个；设集合M含有n1个元素， M的所有子集共有Mn1个，当集合M含有n个元素时，不妨设Ma1，a2，a3，an1，an，M的所有子集共分为两类：一类是不含an的子集，即a1，a2，a3，an1的子集，共有Mn1个，另一类是含an的子集，只需将an添加到a1，a2，a3，an1的所有

20、子集中去，便得到含an的所有子集，显然也有Mn1个，故Mn2 Mn1.由此可知， M12 M02, M22 M14, M32 M28，Mn2 Mn12n.设M为非空的数集，M1,2,3，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有()A6个 B5个C4个 D3个解析：集合1,2,3的所有子集共有238个，集合2的所有子集共有2个，故满足要求的集合M共有826个答案：A满足0,1,2 A0,1,2,3,4,5的集合A的个数是_个解析：集合3,4,5的所有非空真子集共有2317个，满足要求的集合A就是这7个真子集与集合0,1,2的并集，故满足要求的集合A共有7个答案：7跟踪训练5已知集合A1,2

21、,3,4，那么A的真子集的个数是()A3个 B4个 C15个 D16个答案：C6已知集合M0,1，则满足MN0,1,2的集合N的个数是()A2个 B3个 C4个 D8个答案：C函数的概念、表示及其应用对于函数的概念及其表示要注意：1函数的三要素：定义域、值域、对应关系2定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数3求抽象函数定义域的方法：(1)已知f(x)的定义域为a，b，求fg(x)的定义域，就是求不等式ag(x)b的解集；(2)已知fg(x)的定义域为a，b，求f(x)的定义域，就是求当xa，b时，g(x)的值域4求函数解析式的常用方法：(1)凑配法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)构造

22、法5求函数值域的方法：(1)配方法；(2)分离常数法；(3)换元法随着学习的深入，我们会有更多的求值域的方法设x0时，f(x)2，x0时，f(x)1，又规定g(x)(x0)，试写出yg(x)的表达式，画出其图象分析：对于x0的不同区间，讨论x1与x2的符号可求出g(x)的表达式解析：当0x1时，x10，x20，g(x)1；当1x2时，x10，x20，g(x)；当x2时，x10，x20.g(x)2.故g(x)其图象如右图所示点评：此题要注意分类讨论，做题时要分段求解析式画图要注意端点的取舍跟踪训练7求下列函数的定义域(1)f(x)x；解析：(1)x10，x1，函数的定义域是(，1)(1，)(2)

23、f(x)；解析：函数的定义域是(，1)(1,4(3)f(x)；解析：x1，函数的定义域是1(4)f(x).解析：x2x1的判别式1241130，x2x10对一切xR恒成立，函数的定义域由x22x10确定，由x22x10，得x1.函数的定义域是(，1)(1，)点评：求函数的定义域要注意使函数解析式中每个式子都有意义，有时需解不等式组函数的单调性、奇偶性及其应用1判断函数单调性的步骤：(1)任取x1，x2D，且x1x2；(2)作差f(x1)f(x2)；(3)变形(通分、配方、因式分解)；(4)判断差的符号，下结论2求函数单调性要先确定函数的定义域3若f(x)为增(减)函数，则f(x)为减(增)函数

24、4复合函数yfg(x)的单调性遵循“同增异减”的原则5奇函数的性质：(1)图象关于原点对称；(2)在关于原点对称的区间上单调性相同；(3)若在x0处有定义，则有f(0)0.6偶函数的性质：(1)图象关于y轴对称；(2)在关于原点对称的区间上单调性相反；(3)f(x)f(x)f(|x|)7若奇函数f(x)在a，b上有最大值M，则在区间b，a上有最小值M.已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)x|x2|，求f(x)在R上的表达式解析：(1)当x0时，f(x)是奇函数，f(0)f(0)，f(0)0.(2)当x0时，x0.f(x)x|x2|x|x2|.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f

25、(x)x|x2|，f(x)x|x2|.综上可知，f(x)在R上的表达式为f(x)点评：解决本题的关键在于通过区间的过渡，将(，0)上的变量转换到(0，)上，从而利用函数的奇偶性和函数在(0，)上的解析式求出函数在(，0)上的解析式，但不要忘记f(x)为奇函数且xR时，f(0)0.跟踪训练8设函数f(x)x22|x|1(3x3)(1)证明：f(x)是偶函数；解析：(1)证明：f(x)(x)22|x|1x22|x|1f(x)，即f(x)f(x)，f(x)是偶函数(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；解析：当x0时，f(x)x22x1(x1)22；当x0

26、时，f(x)x22x1(x1)22.f(x)根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如下图所示函数f(x)的单调区间为3，1)，1,0)，0,1)，1,3f(x)在区间3，1)，0,1)上为减函数，在1,0)，1,3上为增函数(3)求函数的值域解析：由图象可知，函数值域为2,2点评：利用函数的奇偶性，可以作出相应的图象9若f(x)是奇函数，且在(0，)内是增函数，又f(3)0，则xf(x)0的解集是()Ax|3x0或x3Bx|x3或0x3Cx|x3或x3Dx|3x0或0x3解析：因为f(x)在(0，)内是增函数，f(3)0，所以当0x3时，f(x)0；当x3时，f(x)0，又因f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以当3x0时，f(x)0；当x3时，f(x)0，可见x