人教版必修一第1章《集合与函数概念》全章知识小结.docx
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人教版必修一第1章《集合与函数概念》全章知识小结
数学·必修1（人教A版）
一、集合
1．集合：
某些指定的对象集在一起成为集合．
（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a∈A；若b不是集合A的元素，记作b∉A.
（2）集合中的元素必须满足：
确定性、互异性与无序性．
确定性：
设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．
互异性：
一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．
无序性：
集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关．
（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法．
列举法：
把集合中的元素一一列举出来，写在大括号{ }内．
描述法：
把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内．具体方法：
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
特别关注：
列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．
（4）常用数集及其记法．
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N*或N＋；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R.
2．集合的包含关系．
（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作A⊆B（或B⊇A）．
集合相等：
构成两个集合的元素完全一样．若A⊆B且B⊆A，则称A等于B，记作A＝B；若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A
B.
（2）简单性质：
①A⊆A；②∅⊆A；③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；④若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）．
3．全集与补集．
（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U.
（2）若S是一个集合，A⊆S，则∁SA＝{x|x∈S且x∉A}称S中子集A的补集．
（3）简单性质：
①∁S（∁SA）＝A；②∁SS＝∅；③∁S∅＝S.
4．交集与并集．
（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集．交集A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．并集A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
特别关注：
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．
5．集合的简单性质．
（1）A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；
（2）A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；
（3）（A∩B）⊆（A∪B）；
（4）A⊆B⇔A∩B＝A；A⊆B⇔A∪B＝B；
（5）∁S（A∩B）＝（∁SA）∪（∁SB），
∁S（A∪B）＝（∁SA）∩（∁SB）．
二、函数
1．函数的概念．
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：
A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f（x），x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．
特别关注：
（1）“y＝f（x）”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g（x）”；
（2）函数符号“y＝f（x）”中的f（x）表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.
2．构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域．
（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：
①自然型．指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：
分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，等等）．
②限制型．指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中的重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误．
③实际型．解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考查自变量x的实际意义．
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题：
①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）．
3．两个函数的相等．
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
4．区间．
（1）区间的分类：
开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
5．映射的概念．
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：
A→B为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：
A→B”．
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这样的对应就叫映射．
特别关注：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：
一是必有一个，二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．
6．常用的函数表示法．
（1）解析法：
就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．
（2）列表法：
就是列出表格来表示两个变量的函数关系．
（3）图象法：
就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
7．分段函数．
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．
8．复合函数．
若y＝f（u），u＝g（x），x∈（a，b），u∈（m，n），那么y＝f[g（x）]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g（x）的值域．
三、函数性质
1．奇偶性．
（1）定义：
如果对于函数f（x）定义域内的任意x都有f（－x）＝－f（x），则称f（x）为奇函数；如果对于函数f（x）定义域内的任意x都有f（－x）＝f（x），则称f（x）为偶函数．
如果函数f（x）不具有上述性质，则f（x）不具有奇偶性．如果函数同时具有上述两条性质，则f（x）既是奇函数，又是偶函数．
特别关注：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
（2）利用定义判断函数奇偶性的步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称．
②确定f（－x）与f（x）的关系．
③作出相应结论：
若f（－x）＝f（x）或f（－x）－f（x）＝0，则f（x）是偶函数；
若f（－x）＝－f（x）或f（－x）＋f（x）＝0，则f（x）是奇函数．
（3）简单性质．
①图象的对称性质：
一个函数是奇函数则它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数则它的图象关于y轴对称．
②设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，
偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．单调性．
（1）定义：
一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）[f（x1）＞f（x2）]，那么就说f（x）在区间D上是增函数（减函数）．
特别关注：
①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质．
②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，总有f（x1）＜f（x2）[f（x1）＞f（x2）]．
（2）如果函数y＝f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
（3）设复合函数y＝f[g（x）]，其中u＝g（x），A是y＝f[g（x）]定义域的某个区间，B是映射g：
x→u＝g（x）的象集：
①若u＝g（x）在A上是增（或减）函数，y＝f（u）在B上也是增（或减）函数，则函数y＝f[g（x）]在A上是增函数．
②若u＝g（x）在A上是增（或减）函数，而y＝f（u）在B上是减（或增）函数，则函数y＝f[g（x）]在A上是减函数．
（4）判断函数单调性的方法步骤．
利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）－f（x2）；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号[即判断差f（x1）－f（x2）的正负]；
⑤下结论[即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性]．
（5）简单性质．
①奇函数在其对称区间上的单调性相同．
②偶函数在其对称区间上的单调性相反．
③在公共定义域内：
增函数f（x）＋增函数g（x）是增函数；
减函数f（x）＋减函数g（x）是减函数；
增函数f（x）－减函数g（x）是增函数；
减函数f（x）－增函数g（x）是减函数．
3．最值．
（1）定义．
最大值：
一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M.那么，称M是函数y＝f（x）的最大值．
最小值：
一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M.那么，称M是函数y＝f（x）是最小值．
特别关注：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f（x0）＝M.
②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f（x）≤M[f（x）≥M]．
（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法．
①利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值．
②利用图象求函数的最大（小）值．
③利用函数的单调性判断函数的最大（小）值：
如果函数y＝f（x），x∈[a，c]在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f（x）在x＝b处有最大值f（b）．
如果函数y＝f（x），x∈[a，c]在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f（x）在x＝b处有最小值f（b）．
集合中元素个数的计算
设card（X）表示有限集X所含元素的个数，则
①card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B），
特别地，当A∩B＝∅时，card（A∪B）＝card（A）＋card（B）；
②card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－card（A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）．
某班有36名同学分别参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
解析：
由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组，设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，则card（A∩B∩C）＝0，card（A∩B）＝6，card（B∩C）＝4.
由公式：
card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－card（A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C），
知36＝26＋15＋13－6－4－card（A∩C），
故card（A∩C）＝8.
即同时参加数学和化学小组的有8人．
答案：
8
►跟踪训练
1．已知全集U＝A∪B中有m个元素，（∁UA）∪（∁UB）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（ ）
A．mn个 B．m＋n个
C．n－m个D．m－n个
解析：
因为A∩B＝（A∪B）－（∁UA）∪（∁UB），所以A∩B共有m－n个元素，选D.
答案：
D
2．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______人．
解析：
设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15－x）人，只喜爱乒乓球的有（10－x）人，由此可得（15－x）＋（10－x）＋x＋8＝30，解得x＝3，所以15－x＝12.即所求人数为12人．
答案：
12
集合中的简单推理
1．若a∈A，则a∉∁UA；若a∈∁UA，则a∉A.
2．若a∈A∩B，则a∈A且a∈B.
3．设a⇔a≤x≤b.
已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，（∁UB）∩A＝{9}，则A＝（ ）
A．{1,3}B．{3,7,9}
C．{3,5,9}D．{3,9}
解析：
∵A∩B＝{3}，
∩A＝{9}，且B∪
＝U，∴A＝{3,9}．选D.
本题也可以用Venn图（如下图）帮助理解并解决问题．
答案：
D
►跟踪训练
3．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
解析：
∵3∈A∩B，∴3∈B.又a2＋4>3，故由a＋2＝3,解得
a＝1.
答案：
1
有关集合的新定义问题
有关集合的新定义问题，高考中常见的有两类题型：
一是定义集合的新概念，二是定义集合的新运算．
一、定义集合的新概念
对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：
其中为凸集的是_____________（写出所有凸集相应图形的序号）．
解析：
由题中凸集的定义，观察所给图形知，①④不是凸集，而②③满足条件，是凸集．
答案：
②③
二、定义集合的新运算
在集合{a，b，c，d}上定义两种运算
和
如下：
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
b
b
b
c
c
b
c
b
d
d
b
b
d
a
b
c
d
a
a
a
a
A
b
a
b
c
D
c
a
c
c
A
d
a
d
a
D
那么
（）
A．aB．b
C．cD．d
解析：
由上表可知：
（ac）＝c，故d
（ac）＝d
c＝a，选A.
答案：
A
►跟踪训练
4．设P是一个数集，且至少含有两个数．若对任意a，b∈P，都有a＋b、a－b，ab、
∈P（除数b≠0），则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域．有下列结论：
①数域必含有0,1两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集Q⊆M，则M必为数域；
④数域必为无限集．
其中正确的结论的序号是__________（把你认为正确结论的序号都填上）．
解析：
设a，b∈数域P，按照定义得
∈P，
∈P，从而
·
＝1∈P.又a，b∈P，则a＋b∈P，a－b∈P，b－a∈P，从而0＝（a－b）＋（b－a）∈P，于是数域必含有0,1两个数；因此①正确；以此类推下去，可知数域必为无限集，④正确．②对除法如
∉Z不满足，所以排除；③取M＝Q∪
，1，
∈M，但对除法
∉M.所以①④正确．
答案：
①④
集合的子集个数
设集合M有N个元素，那么集合M的所有子集共有2n个，集合M的所有真子集共有2n－1个，集合M的所有非空真子集共有2n－2个．
若集合M＝∅，显然M的所有子集共有1个；若集合M只有一个元素，即M＝{a1}，M的所有子集分别是∅和M＝{a1}，所有子集共有2个；设集合M含有n－1个元素，M的所有子集共有Mn－1个，当集合M含有n个元素时，不妨设M＝{a1，a2，a3，…，an－1，an}，M的所有子集共分为两类：
一类是不含an的子集，即{a1，a2，a3，…，an－1}的子集，共有Mn－1个，另一类是含an的子集，只需将an添加到{a1，a2，a3，…，an－1}的所有子集中去，便得到含an的所有子集，显然也有Mn－1个，故Mn＝2Mn－1.由此可知，M1＝2M0＝2,M2＝2M1＝4,M3＝2M2＝8，…，Mn＝2Mn－1＝2n.
设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有（ ）
A．6个B．5个
C．4个D．3个
解析：
集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8个，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M共有8－2＝6个．
答案：
A
满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数是________个．
解析：
集合{3,4,5}的所有非空真子集共有23－1＝7个，满足要求的集合A就是这7个真子集与集合{0,1,2}的并集，故满足要求的集合A共有7个．
答案：
7
►跟踪训练
5．已知集合A＝{1,2,3,4}，那么A的真子集的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．15个 D．16个
答案：
C
6．已知集合M＝{0,1}，则满足M∪N＝{0,1,2}的集合N的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．8个
答案：
C
函数的概念、表示及其应用
对于函数的概念及其表示要注意：
1．函数的三要素：
定义域、值域、对应关系．
2．定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．
3．求抽象函数定义域的方法：
（1）已知f（x）的定义域为[a，b]，求f[g（x）]的定义域，就是求不等式a≤g（x）≤b的解集；
（2）已知f[g（x）]的定义域为[a，b]，求f（x）的定义域，就是求当x∈[a，b]时，g（x）的值域．
4．求函数解析式的常用方法：
（1）凑配法；
（2）换元法；（3）待定系数法；（4）构造法．
5．求函数值域的方法：
（1）配方法；
（2）分离常数法；（3）换元法．
随着学习的深入，我们会有更多的求值域的方法．
设x≥0时，f（x）＝2，x＜0时，f（x）＝1，又规定g（x）＝
（x＞0），试写出y＝g（x）的表达式，画出其图象．
分析：
对于x＞0的不同区间，讨论x－1与x－2的符号可求出g（x）的表达式．
解析：
当0＜x＜1时，x－1＜0，x－2＜0，
∴g（x）＝
＝1；
当1≤x＜2时，x－1≥0，x－2＜0，
∴g（x）＝
＝
；
当x≥2时，x－1＞0，x－2≥0.
∴g（x）＝
＝2.
故g（x）＝
其图象如右图所示．
点评：
此题要注意分类讨论，做题时要分段求解析式．画图要注意端点的取舍．
►跟踪训练
7．求下列函数的定义域．
（1）f（x）＝x＋
；
解析：
（1）∵x－1≠0，∴x≠1，
∴函数的定义域是（－∞，1）∪（1，＋∞）．
（2）f（x）＝
；
解析：
∵
∴
∴函数的定义域是（－∞，1）∪（1,4]．
（3）f（x）＝
＋
；
解析：
∵
∴
∴x＝1，∴函数的定义域是{1}．
（4）f（x）＝
＋
.
解析：
∵x2＋x＋1的判别式Δ＝12－4×1×1＝－3＜0，
∴x2＋x＋1＞0对一切x∈R恒成立，
∴函数的定义域由x2－2x＋1≠0确定，
由x2－2x＋1≠0，得x≠1.
∴函数的定义域是（－∞，1）∪（1，＋∞）．
点评：
求函数的定义域要注意使函数解析式中每个式子都有意义，有时需解不等式组．
函数的单调性、奇偶性及其应用
1．判断函数单调性的步骤：
（1）任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
（2）作差f（x1）－f（x2）；
（3）变形（通分、配方、因式分解）；
（4）判断差的符号，下结论．
2．求函数单调性要先确定函数的定义域．
3．若f（x）为增（减）函数，则－f（x）为减（增）函数．
4．复合函数y＝f[g（x）]的单调性遵循“同增异减”的原则．
5．奇函数的性质：
（1）图象关于原点对称；
（2）在关于原点对称的区间上单调性相同；
（3）若在x＝0处有定义，则有f（0）＝0.
6．偶函数的性质：
（1）图象关于y轴对称；
（2）在关于原点对称的区间上单调性相反；
（3）f（－x）＝f（x）＝f（|x|）．
7．若奇函数f（x）在[a，b]上有最大值M，则在区间[－b，－a]上有最小值－M.
已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x|x－2|，求f（x）在R上的表达式．
解析：
（1）当x＝0时，∵f（x）是奇函数，
∴f（－0）＝－f（0），∴f（0）＝0.
（2）当x＜0时，－x＞0.
∴f（－x）＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|.
又∵f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），
∴－f（x）＝－x|x＋2|，
∴f（x）＝x|x＋2|.
综上可知，f（x）在R上的表达式为
f（x）＝
点评：
解决本题的关键在于通过区间的过渡，将（－∞，0）上的变量转换到（0，＋∞）上，从而利用函数的奇偶性和函数在（0，＋∞）上的解析式求出函数在（－∞，0）上的解析式，但不要忘记f（x）为奇函数且x∈R时，f（0）＝0.
►跟踪训练
8．设函数f（x）＝x2－2|x|－1（－3≤x≤3）．
（1）证明：
f（x）是偶函数；
解析：
（1）证明：
∵f（－x）＝（－x）2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f（x），即f（－x）＝f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）指出函数f（x）的单调区间，并说明在各个单调区间上f（x）是增函数还是减函数；
解析：
当x≥0时，f（x）＝x2－2x－1＝（x－1）2－2；当x＜0时，f（x）＝x2＋2x－1＝（x＋1）2－2.
∴f（x）＝
根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如下图所示．
函数f（x）的单调区间为[－3，－1），[－1,0），[0,1），[1,3]．f（x）在区间[－3，－1），[0,1）上为减函数，在[－1,0），[1,3]上为增函数
（3）求函数的值域．
解析：
由图象可知，函数值域为[－2,2]．
点评：
利用函数的奇偶性，可以作出相应的图象．
9．若f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）内是增函数，又f（3）＝0，则xf（x）＜0的解集是（ ）
A．{x|－3＜x＜0或x＞3}
B．{x|x＜－3或0＜x＜3}
C．{x|x＜－3或x＞3}
D．{x|－3＜x＜0或0＜x＜3}
解析：
因为f（x）在（0，＋∞）内是增函数，f（3）＝0，所以当0＜x＜3时，f（x）＜0；当x＞3时，f（x）＞0，又因f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，所以当－3＜x＜0时，f（x）＞0；当x＜3时，f（x）＜0，可见x
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