《振动力学》习题集含答案.docx

1、振动力学习题集含答案振动力学习题集（含答案）1.1质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。lxm1m图E1.1解：系统的动能为：T12mxl212Ix2其中I为杆关于铰点的转动惯量：Il0m1ldx2xl0m1lx2dx13ml12则有：T12ml1122223xmlx166mm1l22x系统的势能为：Umgl1cosxmg1l21cosx12mglx214mglx12142mm1glx2n和TU可得：利用xx32mm1gn23mm1l1.2质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹

2、性刚度系数为k的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。kAaCR图E1.2解：如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：T12IB212mR212mR2234mR22U122kRakRa222利用n和TU可得：24kRaRa4kn23mRR3m1.3转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为k，k和12k的轴约束，如图E1.3所示。3求系统的固有频率。Jk1k2k3图E1.3解：系统的动能为：12TJ2k和k3相当于串联，则有：22,kk32233以上两式联立可得：k32,kk233k2k2k3系统的势能为：U12k1212k22212k32312k1k2k2k3k3kk232利用n

3、和TU可得：kk23k1k2k3nJk2k31.4在图E1.4所示的系统中，已知kimabi1,2,3,和，横杆质量不计。求固有频率。x1k1k2ax0bx2xbabF1amgbk3mgaF2mgabm图E1.4答案图E1.4解：对m进行受力分析可得：mg3x，即k3x3mgk3如图可得：Fmgb1x1,kabk11x2F2k2amgabk2x0x1xx1ax2ax1baa2k1b2b2k22kk1mgxx0x32ak1ab2b2k2kk121k3mg1k0mg则等效弹簧刚度为：ke2akk13abb2k2kk12ka23k3b2kk12则固有频率为：kekkk123ab2nmmkka12b2

4、k3ka12kb221.7质量m在倾角为的光滑斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量1m，如图E1.7所2示。确定系统由此产生的自由振动。m1x12m2hx2kx0x图E1.7答案图E1.7解：对m1由能量守恒可得（其中v1的方向为沿斜面向下）：12mghmv，即v12gh1112对整个系统由动量守恒可得：m1m1vmmv，即ghv211200mm12令m引起的静变形为2x，则有：2m2gsinkx，即2x2mg2sink令m+1m引起的静变形为2x，同理有：12x12m1m2kgsin得：x0x12x2m1gsink则系统的自由振动可表示为：xxcos0x0ntsintnn其中系统的固有频率为：k

5、nm1m2注意到v0与x方向相反，得系统的自由振动为：xxcos0v0ntsintnn1.9质量为m、长为l的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统，如图E1.9所示。以杆偏角为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？aOkckacl图E1.9答案图E1.9解：利用动量矩定理得：Ikaacll，I13ml223ka222ml3cl3ka0，nml23clml222n，3c12amk1c2ml3nmgl2kaa0，0mgl2ka21.12面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下

6、端，在粘性流体中振动，如图E1.12所示。作用于薄板的阻尼力为Fd2Sv，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为T，在粘性流体中自由振动的周期为0T。求系数。d图E1.12解：平面在液体中上下振动时：mx2Sxkx0k2n，mT0dn122Td2SS2nmmn，222Sk22kS21k22kTTd0k22S2mSTT0d2Td2T02.1图E2.2所示系统中，已知m，c，k，1k，2F和。求系统动力学方程和稳态响0应。k2c2mxk2xcx2mx1x2k1k2mc12k1c1x1k1xxc1xx11图E2.1答案图E2.1(a)答案图E2.1(b)解：等价于分别为x和1x

7、的响应之和。先考虑2x，此时右端固结，系统等价为图（a），受1力为图（b），故：mxk1k2xc1c2xkx1cx1m11sin1111cos1（1）xcxkxkAcAtcc1c，2kk1k，2nk1mk2（1）的解可参照释义（2.56），为：kAsintcAcost111111111Yt（2）22kk22221s2s1s2s其中：s1n2s1tg，211s212s1ck11k22k1k22k1c1k2c2221122221ssk12m1k222cc121kk12k1k2m212c1c2221k1k2故（2）为：xtkA11sink1t1k21m21cA112cos1c1c2t12211A1k

8、1k22k1m212c1221c1c2221sint112tg112ss2tg1c11k1k1k22m1k2tg1k1c1k2c21211m2tg1c1k11考虑到x2t的影响，则叠加后的xt为：xti2222Akciiii22212kkmcc12i12isinittg1k1c1c2i2km2itg1cikii2.1一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T2-1所示。已知，30，m=1kg，k=49N/cm，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。kx0mxmg图T2-1答案图T2-1解：119.8mgsin2mgsinkx，x0.1cm00k492k4910n70rad/sm1x

9、x0cosnt0.1cos70tcm2.2如图T2-2所示，重物W悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物1W2从高度为h处自由下落到W上而无弹跳。求1W下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规2律。kx1x12W2x0h平衡位置W1x图T2-2答案图T2-2解：1W22Whv，v22gh222g动量守恒：WWW2v12v212ggW2，v2gh12WW12平衡位置：W1kx，1x1W1kW1Wkx，212x12W1kW2故：x0x12x1Wk2kkgnW1WgWW212故：xx0costnx0sinntnx0costnv12sintnn2.4在图E2.4所示系统中，已知m，k，1k，2F

10、和，初始时物块静止且两弹簧均为0原长。求物块运动规律。k1k2x1x2mk1x1k2xx21k2xx21mF0sintF0sintmx2图E2.4答案图E2.4解：取坐标轴x1和x2，对连接点A列平衡方程：k1xkxxFsint122100即：kkxsin1kxFt（1）21220对m列运动微分方程：mx2kxx221即：mx2kxkx（2）2221由（1），（2）消去x得：1kkFk1202mx2xsint（3）2kkkk1212故：2kk12nmk1k2由（3）得：Fk02xtsintsinnt222mkk12nn2.5在图E2.3所示系统中，已知m，c，k，F0和，且t=0时，xx0，x

11、v0，求系统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。kF0costmc图E2.3解：t0xteCcosdtDsindtAcostF10A，2k221s2stg112ss2x0x0CAcosCxA0cosxte0t0CcostDsinddtteCsintDcostAsint0ddddx0v0CDAsin0dDv0C0Asindd求出C，D后，代入上面第一个方程即可得。2.7由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如图E2.7所示。当齿轮转动角速度为时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为2。已知偏心重W=125.5N，偏心距e=15.0cm

12、，支承弹簧总刚度系数k=967.7mesintN/cm，测得垂直方向共振振幅Xm1.07cm，远离共振时垂直振幅趋近常值X00.32cm。求支承阻尼器的阻尼比及在300rmin运行时机器的垂直振幅。2mesint12me212me2图E2.7解：2mesxtsinM2221s2st，tg112ss2s=1时共振，振幅为：me11（1）X1.07cmM2远离共振点时，振幅为：meX0.32cmM2（2）me由（2）MX2me1me1X2由（1）0.15M2X1meX2X2X211300rmin，k0，Ms01故：XmeM12s2s22s23.8103m2.7求图T2-7中系统的固有频率，悬臂梁端

13、点的刚度分别是k及k3，悬臂梁的质量忽1略不计。1k1k3k2k2k3无质量k4k4mm图T2-7答案图T2-7解：k和k2为串联，等效刚度为：1kk12k。（因为总变形为求和）12kk12k和k3为并联（因为12k的变形等于k3的变形），则：12k123k12k3kk1k12k2k3kk12kk13k1k2k2k3k和k4为串联（因为总变形为求和），故：123kek123k123k4k4kk1kk12k24kk13kkk331kk24k2kk1k34k4k2k4故：kenm2.9如图T2-9所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅锤平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。x1xl1l2x2k1k2F1l1l2l2