《振动力学》习题集含答案.docx
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《振动力学》习题集含答案
《振动力学》习题集（含答案）
1.1质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，
如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
l
x
m1
m
图E1.1
解：
系统的动能为：
T
1
2
m
xl
2
1
2
I
x
2
其中I为杆关于铰点的转动惯量：
I
l
0
m
1
l
dx
2
x
l
0
m
1
l
x
2
dx
1
3
ml
1
2
则有：
T
1
2
ml
11
22223
xmlx
1
66
m
m
1
l
2
2
x
系统的势能为：
Umgl1cosx
mg
1
l
2
1
cos
x
1
2
mglx
2
1
4
mglx
1
2
1
4
2m
m
1
glx
2
n和TU可得：
利用xx
32m
m
1
g
n
23m
m
1
l
1.2质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点
系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
k
A
a
C
R
图E1.2
解：
如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
T
1
2
I
B
2
1
2
mR
2
1
2
mR
2
2
3
4
mR
2
2
U
1
2
2kRakRa
2
2
2
利用n和TU可得：
2
4kRaRa4k
n
2
3mRR3m
1.3转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为
k，k和
12
k的轴约束，如图E1.3所示。
3
求系统的固有频率。
J
k1k2k
3
图E1.3
解：
系统的动能为：
1
2
TJ
2
k和k3相当于串联，则有：
2
2,kk
322
33
以上两式联立可得：
k
3
2,
kk
23
3
k
2
k
2
k
3
系统的势能为：
U
1
2
k
1
2
1
2
k
2
2
2
1
2
k
3
2
3
1
2
k
1
k
2
k
2
k
3
k
3
kk
2
3
2
利用n和TU可得：
kk
23
k
1
k
2
k
3
n
Jk
2
k
3
1.4在图E1.4所示的系统中，已知kimab
i1,2,3,,和，横杆质量不计。
求固有
频率。
x1
k1k2
ax0b
x2
xb
ab
F
1
a
mgb
k3
mg
a
F2mg
ab
m
图E1.4答案图E1.4
解：
对m进行受力分析可得：
mg3x，即
k
3
x
3
mg
k
3
如图可得：
Fmgb
1
x1,
kabk
11
x
2
F
2
k
2
a
mga
b
k
2
x
0
x
1
x
x
1
a
x
2
a
x
1
b
a
a
2
k
1
b
2
b
2
k
2
2
kk
1
mg
x
x
0
x
3
2
a
k
1
a
b
2
b
2
k
2
kk
12
1
k
3
mg
1
k
0
mg
则等效弹簧刚度为：
k
e
2
a
kk
13
ab
b
2
k
2
kk
12
ka
23
k
3
b
2
kk
12
则固有频率为：
k
e
kkk
123
ab
2
n
m
m
kka
12
b
2
k
3
ka
1
2
kb
2
2
1.7质量
m在倾角为的光滑斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量
1
m，如图E1.7所
2
示。
确定系统由此产生的自由振动。
m1
x12
m2
h
x2
k
x0
x
图E1.7答案图E1.7
解：
对m1由能量守恒可得（其中v1的方向为沿斜面向下）：
1
2
mghmv，即v12gh
111
2
对整个系统由动量守恒可得：
m
1
m1vmmv，即gh
v211200
mm
12
令
m引起的静变形为
2
x，则有：
2
m2gsinkx，即
2
x
2
mg
2
sin
k
令
m+
1
m引起的静变形为
2
x，同理有：
12
x
12
m
1
m
2
k
g
sin
得：
x
0
x
12
x
2
m
1
g
sin
k
则系统的自由振动可表示为：
xxcos
0
x
0
ntsin
t
n
n
其中系统的固有频率为：
k
n
m1m
2
注意到v0与x方向相反，得系统的自由振动为：
xxcos
0
v
0
ntsin
t
n
n
1.9质量为m、长为l的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统，如图E1.9所示。
以
杆偏角为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。
若在弹簧原长处
立即释手，问杆的最大振幅是多少？
发生在何时？
最大角速度是多少？
发生在何时？
是否在
过静平衡位置时？
a
O
k
c
kacl
图E1.9答案图E1.9
解：
利用动量矩定理得：
Ikaacll，
I
1
3
ml
2
2
3ka
222
ml3cl3ka0，
n
ml
2
3cl
ml
2
2
2
n
，
3c12amk
1c
2ml3
n
mg
l
2
kaa
0
，
0
mgl
2ka
2
1.12面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图E1.12所
示。
作用于薄板的阻尼力为Fd2Sv，2S为薄板总面积，v为速度。
若测得薄板无阻尼
自由振动的周期为
T，在粘性流体中自由振动的周期为
0
T。
求系数。
d
图E1.12
解：
平面在液体中上下振动时：
mx2Sxkx0
k2
n，
mT
0
dn
1
2
2
T
d
2SS
2
n
mm
n
，
2
2
2
S
k
22
kS2
1
k
22k
T
T
d
0
k
2
2
S
2
m
STT
0d
2
T
d
2
T
0
2.1图E2.2所示系统中，已知m，c，
k，
1
k，
2
F和。
求系统动力学方程和稳态响
0
应。
k2c2
mx
k2xcx
2
m
x1x2
k1k2
m
c
12
k1c1
x1
k1xxc1xx1
1
图E2.1答案图E2.1（a）答案图E2.1（b）
解：
等价于分别为
x和
1
x的响应之和。
先考虑
2
x，此时右端固结，系统等价为图（a），受
1
力为图（b），故：
mx
k
1
k
2
x
c
1
c
2
x
kx
1
cx
1
m11sin1111cos1
（1）
xcxkxkAcAt
cc1c，
2
kk1k，
2
n
k
1
m
k
2
（1）的解可参照释义（2.56），为：
kAsintcAcost
111111111
Yt
（2）
22
kk
2222
1s2s1s2s
其中：
s
1
n
2s
1
tg
，2
1
1s
2
12s1
c
k
1
1
k
2
2
k
1
k
2
2
k
1
c
1
k
2
c
2
2
2
1
1
2
2
221
ss
k
1
2
m
1
k
2
22
cc
12
1
k
k
1
2
k
1
k
2
m
2
1
2
c
1
c
2
2
2
1
k
1
k
2
故
（2）为：
xt
kA
11
sin
k
1
t
1
k
2
1
m
2
1
cA
11
2
cos
1
c
1
c
2
t
1
2
2
1
1
A
1
k
1
k
2
2
k
1
m
2
1
2
c
1
2
2
1
c
1
c
2
2
2
1
sin
t
1
12
tg
1
1
2
s
s
2
tg
1
c
1
1
k
1
k
1
k
2
2
m
1
k
2
tg
1
k
1
c
1
k
2
c
2
1
2
1
1
m
2
tg
1
c
1
k
1
1
考虑到x2t的影响，则叠加后的xt为：
xt
i
2
2
2
2
A
k
c
i
i
i
i
2
2
2
1
2
kkmcc
12i12i
sin
i
t
tg
1
k
1
c
1
c
2
i
2
km
2i
tg
1
c
i
k
i
i
2.1一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T2-1所示。
已知，30，m=1kg，
k=49N/cm，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。
k
x0
m
x
mg
图T2-1答案图T2-1
解：
1
19.8
mgsin
2
mgsinkx，x0.1cm
00
k49
2
k4910
n70rad/s
m1
xx0cosnt0.1cos70tcm
2.2如图T2-2所示，重物
W悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物
1
W
2
从高度为h处自由下落到
W上而无弹跳。
求
1
W下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规
2
律。
k
x1
x12
W2
x0
h
平衡位置
W1
x
图T2-2答案图T2-2
解：
1W
2
2
Whv，v22gh
22
2g
动量守恒：
WWW
2v
12
v
212
gg
W
2
，v2gh
12
WW
12
平衡位置：
W1kx，
1
x
1
W
1
k
W1Wkx，
212
x
12
W
1
k
W
2
故：
x
0
x
12
x
1
W
k
2
kkg
n
W1WgWW
212
故：
x
x
0
cost
n
x
0
sin
n
t
n
x
0
cos
t
n
v
12
sin
t
n
n
2.4在图E2.4所示系统中，已知m，
k，
1
k，
2
F和，初始时物块静止且两弹簧均为
0
原长。
求物块运动规律。
k1k2
x1x2
m
k1x
1
k
2xx
21
k
2xx
21
m
F0sint
F0sintm
x
2
图E2.4答案图E2.4
解：
取坐标轴x1和x2，对连接点A列平衡方程：
k1xkxxFsint
12210
0
即：
kkxsin
1kxFt
（1）
21220
对m列运动微分方程：
mx2kxx
221
即：
mx2kxkx
（2）
2221
由
（1），
（2）消去
x得：
1
kkFk
1202
mx2xsint（3）
2
kkkk
1212
故：
2
kk
1
2
n
m
k
1
k
2
由（3）得：
Fk
02
xtsintsinnt
2
22
mkk
12nn
2.5在图E2.3所示系统中，已知m，c，k，F0和，且t=0时，xx0，xv0，求系
统响应。
验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。
k
F0cost
m
c
图E2.3
解：
t
0
xteCcosdtDsind
tAcost
F1
0
A，
2
k2
2
1s2s
tg
1
1
2
s
s
2
x
0
x0CAcosCxA
0
cos
xt
e
0
t
0
C
cos
t
Dsin
dd
t
t
eCsintDcostAsint
0
dddd
x0
v
0
CDAsin
0d
D
v
0
C
0
Asin
dd
求出C，D后，代入上面第一个方程即可得。
2.7由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成
的支承上，如图E2.7所示。
当齿轮转动角速度为时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为
2。
已知偏心重W=125.5N，偏心距e=15.0cm，支承弹簧总刚度系数k=967.7mesint
N/cm，测得垂直方向共振振幅Xm1.07cm，远离共振时垂直振幅趋近常值X00.32cm。
求支承阻尼器的阻尼比及在300rmin运行时机器的垂直振幅。
2
mesin
t
1
2
me
2
1
2
me
2
图E2.7
解：
2
mes
xtsin
M
2
2
2
1s2s
t
，
tg
1
1
2
s
s
2
s=1时共振，振幅为：
me1
1
（1）X1.07cm
M2
远离共振点时，振幅为：
me
X0.32cm
M
2
（2）
me
由
（2）
M
X
2
me1me1X
2
由
（1）0.15
M2X1meX2X2X
211
300rmin，
k
0，
M
s
0
1
故：
X
me
M
1
2
s
2
s
2
2
s
2
3.8
10
3
m
2.7求图T2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是
k及k3，悬臂梁的质量忽
1
略不计。
1
k1
k3
k2
k2
k3
无质量
k4
k4
m
m
图T2-7答案图T2-7
解：
k和k2为串联，等效刚度为：
1
kk
12
k。
（因为总变形为求和）
12
kk
12
k和k3为并联（因为
12
k的变形等于k3的变形），则：
12
k
123
k
12
k
3
kk
1
k
1
2
k
2
k
3
k
k
12
kk
13
k
1
k
2
k
2
k
3
k和k4为串联（因为总变形为求和），故：
123
ke
k
123
k
123
k
4
k
4
kk
1
kk
1
2
k
2
4
kk
13
kk
k
3
3
1
k
k
2
4
k
2
kk
1
k
3
4
k
4
k
2
k
4
故：
k
e
n
m
2.9如图T2-9所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系
统作垂直振动的固有频率：
（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；
（2）杆可以在铅锤平面内微幅转动；
（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
x1
x
l1l2
x2
k1k2
F
1
l
1
l
2
l
2
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