172 勾股定理的逆定理2旋转勾股.docx

1、172 勾股定理的逆定理2旋转勾股17.2 勾股定理的逆定理（二） 基础版【教学目标】1掌握勾股定理及逆定理与旋转综合的图形特征、基本思路以及问题类型，熟练解此类问题2掌握勾股定理及逆定理与常规问题的图形特征、基本思路以及问题类型，熟练解此类问题3掌握勾股定理及逆定理与夹半角综合的图形特征、基本思路和变式类型，熟练解此类问题【重点难点】1旋转问题（构手拉手全等&Rt）；2常规问题（导角导线、Rt斜边中点处的直角、逆命题）；3夹半角模型（构Rt）【夯实基础】1勾股定理及逆定理与旋转问题的图形特征： 2勾股定理及逆定理与旋转问题的基本思路： 3勾股定理及逆定理与旋转问题的问题类型： 【基本图形】1

2、旋转问题： 2等腰Rt夹半角：（1）基本图已知 等腰RtABC，ACB90，E、F是斜边AB上两点，ECF45结论 AE2BF2EF2证法 旋转法（vs 过A作AFAB且AFBF，连CF、EF）； 轴对称法CEF CEF（SAS），RtAEF CFA CFB（SAS），RtAEF （2）变式图已知 等腰RtABC，ACB90，E、F是直线AB上两点，ECF45结论 AE2BF2EF2证法 旋转法（vs 过A作AFAB且AFBF，连CF、EF）；轴对称法CEF CEF（SAS），RtAEF CFA CFB（SAS），RtAEF 重难点1 勾股定理及逆定理与旋转问题例一（手拉手）（1）问题发现如图

3、1，ACB和DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE填空：AEB的度数为 ；线段AD、BE之间的数量关系为 ；（2）拓展探究如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A、D、E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题如图3，在ABC中，ACB90，ACBC5，平面上一动点P到点B的距离为3，将线段CP绕点C顺时针旋转90，得到线段CD，连DA、DB、PB，则BD是否有最大值和最小值，若有直接写出，若没有说明理由？ 图1 图2 图3巩固练习1如图，在ABC中，ACB9

4、0，ACBC，P是ABC内一点，且PA3，PB1，CDCP2，CDCP，求BPC的度数例二如图，在ABD中，ABAD，BAD90，PAa，PBb（1）若P点在ABD外，且APB45，求PD的长；（2）若P点在ABD内，且APB135，求PD的长 巩固练习1正方形ABCD内一点P，连接PA、PB、PC（1）若PA：PB：PC1：2：3，求APB的度数；（2）若PA2PC22PB2，求证：点P在对角线AC上例三（1）利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法如图1，点P是等边三角形ABC内一点，PA1，PB，PC2求BPC的度数为利用已知条件，不妨把BPC绕点C顺时针旋转60得APC，连接PP，则P

5、P的长为 ；在PAP中，易证PAP90，且PPA的度数为 ，综上可得BPC的度数为 ；（2）类比迁移如图2，点P是等腰RtABC内一点，ACB90，PA2，PB，PC1求APC的度数；（3）拓展应用如图3，在四边形ABCD中，BC4，CD5，ABACAD，BAC2ADC，请直接写出BD的长 图1 图2 图3巩固练习1在ACD中，AD4，CD3；在ABC中，ABAC（1）如图1，若CAB60，ADC30，在ACD外作等边ADD，求证：BDCD；求BD的长；（2）如图2，若CAB90，ADC45，求BD的长 图1 图22请阅读下面的材料：问题：如图，在等边ABC内有一点P，且PA2，PB，PC1，

6、求BPC的度数和等边ABC的边长；李明同学的思路是：将BPC绕点B顺时针旋转60，画出旋转后的图形（如图）连接PP根据李明同学的思路，进一步思考后可求得BPC ，等边ABC的边长为 （2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA，BP，PC1，求BPC的度数和正方形ABCD的边长 例四如图，在等腰RtABC中，ACB90，点P是ABC内一点，连接PA、PB、PC，且PAPC，设APB，CPB（1）如图1，若ACP45，将PBC绕点C顺时针旋转90至DAC，连结DP，易证DAP为等边三角形，则 ， ；（2）如图2，若PBPA，则 ， ；（3）如图3，试

7、猜想与之间的数量关系，并给予证明 图1 图2 图3巩固练习1如图，P是正ABC内一点，且PA6，PB8，PC10，求SPABSPAC的值重难点2 勾股定理及逆定理与常规问题例五等边ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边APD和等边APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图）（1）求证：AMAN；（2）连接DE分别与边AB、AC交于点G、H，如图，当BAD是多少度时，ADDH？（3）在（2）的条件下，以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，并说明理由 巩固练习1如图，在ABC中，ABC45，CDAB，BEAC，垂足分别为

8、D、E，F为BC中点，BE与DF、CD分别交于点G、H，ABECBE（1）线段HB与AC相等吗？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由；（2）求证：BG2GE2EA2例六（Rt斜边中点处的直角）如图，在ABC中，D是BC的中点，点M是AB上的点，点N在AC边上，并且MDN90，如果BM2CN2DM2DN2，求证：BAC90巩固练习1如图，在ABC中，CACB，ACB90，D为AB的中点，M、N分别为AC、BC上的点，且DMDN（1）求证：CMCNBD；（2）如图，若M、N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系 2如图，在ABC中，AB6，AC10，AD是BC边上的中线

9、，且AD4，延长AD到点E，使DEAD，连接CE（1）求证：AEC是直角三角形；（2）求BC边的长3如图，CD是ABC的高，D在边AB上，且CD2ADDB，求证：ABC为直角三角形重难点3 勾股定理及逆定理与夹半角模型例七ABC中，BAC90，ABAC，点D、E在直线BC上，如图1，若DAE45，求证：BD2CE2DE2【阅读理解】要证明BD2CE2DE2，设法将BD、CE、DE转化为某直角三角形的三边即可，故过A作AFAD，且AFAD连接CF、EF再通过证明ABDACF，AEDAEF即可将BD、CE、DE三边转化到直角ECF中解决问题【拓展应用】如图2，若DAE135，其他条件不变，请探究：

10、以线段BE、CD、DE的长度为三边长的三角形是何种三角形？并说明理由 图1 图2巩固练习1（1）如图，在正方形ABCD中，AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求EAF的度数（2）如图，在RtABD中，BAD90，ABAD，点M、N是BD边上的任意两点，且MAN45，将ABM绕点A逆时针旋转90至ADH位置，连接NH，试判断MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接BD分别交AE、AF于点M、N，若EG4，GF6，BM，求AG、MN的长 2如图，已知在RtAOB中，OAOB，AOB90，E、F在AB上，且EOF45（1）求证：EF2AE2BF2；（

11、2）如图，过E作EMOA于M，过F作FNOB于N，ME、NF交于点P，若设NFx，MEy，PEa，则x2y2与a2之间的关系式为 ，若AME、BFN、PEF的面积分别为S1、S2、S3，则S1S2与S3之间的数量关系为 例八某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰ABC中，ABAC，BAC90，小敏将一块三角板中含45角的顶点放在点A处，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分BAM，则AE也平分MAC请你证明小敏发现的结论；（2）当045时，小敏

12、在旋转中还发现线段BD、CE、DE存在等量关系：BD2CE2DE2同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的想法：将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF，连接EF（如图2）；小亮的想法：将ABD绕点A逆时针旋转90得到ACG，连接EG（如图3）；请你从中任选一种方法进行证明；（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45135且90时，等量关系BD2CE2DE2仍然成立，现请你继续研究：当135180时（如图4）等量关系BD2CE2DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由 图1 图2 图3 图4巩固练习1已知RtABC中，ACB90，CACB，有一个圆心角为45，半

13、径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N（1）如图，当AMBN时，将ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PMAM，PNBN，PMN的形状是 ，线段AM、BN、MN之间的数量关系是 （2）如图，当扇形CEF绕点C在ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是 试证明你的猜想；（3）当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是 （无需证明） 2（1）如图，在ABC中，BABC，D、E是AC边上的两点，且满足DBEABC（0CBEABC）以点B为旋转中心，将BEC按逆时针旋转ABC，得到BEA（点C与点A重合，点E到点E处）连接DE，求证：DEDE（2）如图2，在ABC中，BABC，ABC90，D、E是AC边上的两点，且满足DBEABC（0CBE45）求证：DE2AD2EC2（3）如图3，在ABC中，BABC，ABC90，点E是AC边上的点，点D是CA边延长线上的点，且DBE45第（2）题中的结论：DE2AD2EC2还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 图1 图2 图3