172 勾股定理的逆定理2旋转勾股.docx

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172勾股定理的逆定理2旋转勾股

17.2勾股定理的逆定理

（二）基础版

【教学目标】

1．掌握勾股定理及逆定理与旋转综合的图形特征、基本思路以及问题类型，熟练解此类问题．

2．掌握勾股定理及逆定理与常规问题的图形特征、基本思路以及问题类型，熟练解此类问题．

3．掌握勾股定理及逆定理与夹半角综合的图形特征、基本思路和变式类型，熟练解此类问题．

【重点难点】

1．旋转问题（构手拉手全等&Rt△）；2．常规问题（导角导线、Rt△斜边中点处的直角、逆命题）；3．夹半角模型（构Rt△）．

【夯实基础】

1．勾股定理及逆定理与旋转问题的图形特征：

．

2．勾股定理及逆定理与旋转问题的基本思路：

．

3．勾股定理及逆定理与旋转问题的问题类型：

．

【基本图形】

1．旋转问题：

2．等腰Rt△夹半角：

（1）基本图

已知等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，E、F是斜边AB上两点，∠ECF＝45°．

结论AE2＋BF2＝EF2．

证法①旋转法（vs过A作AF′⊥AB且AF′＝BF，连CF′、EF′）；②轴对称法．

△CEF′≌△CEF（SAS），Rt△AEF′△CFA′≌△CFB（SAS），Rt△A′EF

（2）变式图

已知等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，E、F是直线AB上两点，∠ECF＝45°．

结论AE2＋BF2＝EF2．

证法①旋转法（vs过A作AF′⊥AB且AF′＝BF，连CF′、EF′）；②轴对称法．

△CEF′≌△CEF（SAS），Rt△AEF′△CFA′≌△CFB（SAS），Rt△A′EF

重难点1勾股定理及逆定理与旋转问题

♀例一♀．（手拉手）

（1）问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．

填空：

①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系为；

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；

（3）解决问题

如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，平面上一动点P到点B的距离为3，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连DA、DB、PB，则BD是否有最大值和最小值，若有直接写出，若没有说明理由？

图1图2图3

♂巩固练习♂

1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，CD＝CP＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．

♀例二♀．如图，在△ABD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，PA＝a，PB＝b．

（1）若P点在△ABD外，且∠APB＝45°，求PD的长；

（2）若P点在△ABD内，且∠APB＝135°，求PD的长．

♂巩固练习♂

1．正方形ABCD内一点P，连接PA、PB、PC．

（1）若PA：

PB：

PC＝1：

2：

3，求∠APB的度数；

（2）若PA2＋PC2＝2PB2，求证：

点P在对角线AC上．

♀例三♀．

（1）利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P是等边三角形ABC内一点，PA＝1，PB＝

，PC＝2．求∠BPC的度数．为利用已知条件，不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C，连接PP′，则PP′的长为；

在△PAP′中，易证∠PAP′＝90°，且∠PP′A的度数为，综上可得∠BPC的度数为；

（2）类比迁移

如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，∠ACB＝90°，PA＝2，PB＝

，PC＝1．求∠APC的度数；

（3）拓展应用

如图3，在四边形ABCD中，BC＝4，CD＝5，AB＝AC＝

AD，∠BAC＝2∠ADC，请直接写出BD的长．

图1图2图3

♂巩固练习♂

1．在△ACD中，AD＝4，CD＝3；在△ABC中，AB＝AC．

（1）如图1，若∠CAB＝60°，∠ADC＝30°，①在△ACD外作等边△ADD′，求证：

BD＝CD′；②求BD的长；

（2）如图2，若∠CAB＝90°，∠ADC＝45°，求BD的长．

图1图2

2．请阅读下面的材料：

问题：

如图①，在等边△ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝

，PC＝1，求∠BPC的度数和等边△ABC的边长；

李明同学的思路是：

将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图②）．连接PP′．

根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC＝°，等边△ABC的边长为．

（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：

如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝

，BP＝

，PC＝1，求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．

①②③

♀例四♀．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，且PA＝

PC，设∠APB＝α，∠CPB＝β．

（1）如图1，若∠ACP＝45°，将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC，连结DP，易证△DAP为等边三角形，则α＝，β＝；

（2）如图2，若PB＝

PA，则α＝，β＝；

（3）如图3，试猜想α与β之间的数量关系，并给予证明．

图1图2图3

♂巩固练习♂

1．如图，P是正△ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，求S△PAB＋S△PAC的值．

重难点2勾股定理及逆定理与常规问题

♀例五♀．等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图①）．

（1）求证：

AM＝AN；

（2）连接DE分别与边AB、AC交于点G、H，如图②，当∠BAD是多少度时，AD＝DH？

（3）在

（2）的条件下，以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，并说明理由．

①②

♂巩固练习♂

1．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、CD分别交于点G、H，∠ABE＝∠CBE．

（1）线段HB与AC相等吗？

若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由；

（2）求证：

BG2－GE2＝EA2．

♀例六♀．（Rt△斜边中点处的直角）如图，在△ABC中，D是BC的中点，点M是AB上的点，点N在AC边上，并且∠MDN＝90°，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2，求证：

∠BAC＝90°．

♂巩固练习♂

1．如图①，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M、N分别为AC、BC上的点，且DM⊥DN．

（1）求证：

CM＋CN＝

BD；

（2）如图②，若M、N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系．

①②

2．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，AD是BC边上的中线，且AD＝4，延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．

（1）求证：

△AEC是直角三角形；

（2）求BC边的长．

3．如图，CD是△ABC的高，D在边AB上，且CD2＝AD·DB，求证：

△ABC为直角三角形．

重难点3勾股定理及逆定理与夹半角模型

♀例七♀．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E在直线BC上，如图1，若∠DAE＝45°，求证：

BD2＋CE2＝DE2．

【阅读理解】要证明BD2＋CE2＝DE2，设法将BD、CE、DE转化为某直角三角形的三边即可，故过A作AF⊥AD，且AF＝AD．连接CF、EF．再通过证明△ABD≌△ACF，△AED≌△AEF．即可将BD、CE、DE三边转化到直角△ECF中解决问题．

【拓展应用】如图2，若∠DAE＝135°，其他条件不变，请探究：

以线段BE、CD、DE的长度为三边长的三角形是何种三角形？

并说明理由．

图1图2

♂巩固练习♂

1．

（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．

（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，点M、N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．

（3）在图①中，连接BD分别交AE、AF于点M、N，若EG＝4，GF＝6，BM＝

，求AG、MN的长．

①②

2．如图，已知在Rt△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90°，E、F在AB上，且∠EOF＝45°．

（1）求证：

EF2＝AE2＋BF2；

（2）如图，过E作EM⊥OA于M，过F作FN⊥OB于N，ME、NF交于点P，若设NF＝x，ME＝y，PE＝a，则x2＋y2与a2之间的关系式为，若△AME、△BFN、△PEF的面积分别为S1、S2、S3，则S1＋S2与S3之间的数量关系为．

♀例八♀．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在点A处，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．

（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：

若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；

（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE存在等量关系：

BD2＋CE2＝DE2．

同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：

小颖的想法：

将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；

小亮的想法：

将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；

请你从中任选一种方法进行证明；

（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立，现请你继续研究：

当135°＜α＜180°时（如图4）等量关系BD2＋CE2＝DE2是否仍然成立？

若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

图1图2图3图4

♂巩固练习♂

1．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．

（1）如图①，当AM＝BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM＝AM，PN＝BN，△PMN的形状是，线段AM、BN、MN之间的数量关系是．

（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是．试证明你的猜想；

（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是．（无需证明）

①②③

2．

（1）如图①，在△ABC中，BA＝BC，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝

∠ABC（0°＜∠CBE＜

∠ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′，

求证：

DE′＝DE．

（2）如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝

∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．求证：

DE2＝AD2＋EC2．

（3）如图3，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点E是AC边上的点，点D是CA边延长线上的点，且∠DBE＝45°．第

（2）题中的结论：

DE2＝AD2＋EC2还成立吗？

如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

图1图2图3