距离的计算教案.docx

1、距离的计算教案6距离的计算三维目标1知识与技能(1)理解立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的概念(2)掌握各种距离的计算方法2过程与方法(1)通过空间中距离的计算，培养学生运用算法化思想解决问题的能力(2)通过对空间几何图形的探究，使学生会恰当地建立空间直角坐标系3情感、态度与价值观学生经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过程，从而提高分析问题、解决问题的能力重点难点重点：点到直线、点到平面距离公式的推导及应用难点：把空间距离转化为向量知识求解引导学生探索空间距离的计算公式和计算方法，在探索中，深化学生对空间距离求法的认识，通过具体例子，让学生感知求空间距离时，综合法的

2、“难”和向量法的“易”，体会向量法在研究空间问题中的作用三、教学建议1引导学生自主发现问题、分析问题并解决问题，比如，为什么引入空间距离？怎样求空间距离？用向量法去求的优越性是什么？教学中，要以问题为主线，引导学生体验探索全过程，在这个过程中，形成并深化对空间距离求法的认识2在教学中，要渗透符号化、模型化、运算化和程序化的思想3教学中，应把立体几何问题作为学习向量法的载体，以向量法作为主要教学目标教学流程设置情境引入课题空间距离的定义空间距离的计算公式通过例子，深化对空间距离的认识比较综合法的“难”，向量法的“易”通过练习进行反馈矫正提炼思想方法：数形结合、化归转化，形成整体认识课标解读1.理

3、解点到直线的距离、点到平面的距离的概念(重点)2.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式(重点)3.通过转化，会利用空间向量解决距离问题，从而培养准确的运算能力(难点)点到直线的距离【问题导思】1如图，已知向量s是直线l的方向向量，点P在直线l上，点A是空间中一点，则向量在s上的投影是什么？其几何意义是什么？【提示】向量在s上的投影为.作AAl于A，则投影的几何意义是有向线段PA的数量2如何利用在s上的投影求点A到直线l的距离？【提示】由勾股定理得，d.d.利用向量求点A到直线l的距离步骤：(1)找到直线l的方向向量s；(2)在直线l上任取一点P；(3)计算点P到点A的距离|；(4)计算在

4、向量s上的投影s0；(5)计算点A到直线l的距离d.点到平面的距离【问题导思】如图，已知向量n是平面的法向量，点P在平面内，点A是空间中一点，试用向量在n上的投影表示点A到平面的距离【提示】d|.利用向量求点A到平面的距离步骤：(1)找到平面的法向量n；(2)在平面内任取一点P；(3)计算在向量n上的投影n0；(4)计算点A到平面的距离d|n0|.求点到直线的距离在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，点F，G分别是AB，CC1的中点，求点D1到直线GF的距离【思路探究】建系求D1、F、G坐标、的坐标求在上的投影利用公式求解【自主解答】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直

5、线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，F(1,1,0)，G(0,2,1)，于是有(1，1，1)，(0，2,1)，所以，|，所以点D1到直线GF的距离d. 用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点：1点P可以在直线l上任意选取，因此可选取易求得坐标的特殊点2直线l的方向向量可任意选取3点到直线的距离公式中s0是单位向量，在求得直线l的方向向量s后，要将其单位化已知ABCDEFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为()A.BC.D【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)(，)又(1,0,0)，在上的投影

6、为，点P到AB的距离为.【答案】A求点到平面的距离图261如图261直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1，底面ABC中，C90，ACBC1，求点B1到平面A1BC的距离【思路探究】建坐标系确定向量的坐标形式找出平面A1BC的一个法向量为n代入d|求解【自主解答】如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,0)，A1(1,0，)，B1(0,1，)，C1(0,0，)(1,1，)，(1,0，)，(1，1,0)设平面A1BC的一个法向量为n(x，y，z)，则即n(，0,1)，所以，点B1到平面A1BC的距离d.1本题是一个基本的点面距离的求解

7、问题，要从几何角度作出表示这个距离的线段有很大的困难，利用向量方法求解较为容易2求点到平面的距离的步骤可简化为：(1)求平面的法向量；(2)求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离图262如图262所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，求点A1到平面AD1C的距离【解】以D为原点建立空间直角坐标系，则(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，设平面AD1C的一个法向量为n(x，y,1)，则得则n(1,1,1)，d.求直线与平面的距离图263如图263所示，在已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为直角梯形，ABCD，且ADC90，AD1，CD，BC

8、2，AA12，E是CC1的中点求A1B1与平面ABE的距离【思路探究】求A1B1与平面ABE的距离，因为直线A1B1平行于平面ABE，所以直线A1B1上任意一点到平面ABE的距离相等，所以A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离，从而转化为点到平面的距离求解【自主解答】如图所示，以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，1)，过C作AB的垂线交AB于F，易得BF，B(1,2，0)，(0,2，0)，(1，1)设平面ABE的法向量为n(x，y，z)，则由得y0，xz，不妨取n(1,0,1)直线A1

9、B1平面ABE，直线A1B1到平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离(0,0,2)，A1B1到平面ABE的距离为|.求直线与平面的距离，在直线与平面平行的条件下，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因线面距可用点面距求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDDA2，F，E分别为AD，PC的中点(1)证明：DE平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离【解】证明：(1)以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系则P(0,0,2)，F(1,0,0)，B

10、(2,2,0)，E(0,1,1)，(1,0,2)，(1,2,0)，(0,1,1)，.平面PFB又D平面PFB，DE平面PFB(2)DE平面PFB，E到平面PFB的距离等于D到平面PFB的距离设平面PFB的一个法向量n(x，y，z)，则令x2，得y1，z1.n(2，1,1)，(1,0,0)D到平面PFB的距离为d.利用向量求点到平面的距离的常见错误在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2，以AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N，求点N到平面ACM的距离【错因分析】(1)不知条件AC为直径的球面交PD于点M，交PC于N点如何使用(2)不知道转化，求点N的

11、坐标，增加了运算量(3)求点到平面的距离公式d|Pn0|中n0是单位法向量而不是法向量【防范措施】(1)认真分析图形性质；(2)进行合理转化；(3)掌握好公式，尤其是公式中各个量的几何意义【正解】分别以AB、AD、AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)，A(2,4,0)，A(0,2,2)，设平面ACM的一个法向量n(x，y，z)，由nA，nA，可得令z1，则n(2，1,1)由已知得，ANNC，在RtPAC中，PA2PNPC，所以PN，则NCPCPN，.所以所求距离为点P到平面ACM距

12、离的，又点P到平面ACM的距离为|.所以点N到平面ACM的距离为.空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离.1已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向向量为n(0,1,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为()A.BC.D【解析】(2,0，1)，|，则点P到直线l的距离d .【答案】A图2642如图264所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()A. BC. D【解析】建立如图所示坐标系，则D(0,0,0)，A1

13、(1,0,1)，O(，1)，则(1,0,1)，(，0)，由题意知为平面ABC1D1的法向量，O到平面ABC1D1的距离为d.【答案】B3已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB6，BC4，BB13，则点B1到平面A1BC1的距离为_【解析】如图所示建立空间直角坐标系， 则A1(4,0,3)，B1(4,6,3)，B(4,6,0)，C1(0,6,3)，(4,6,0)，(0,6，3)，(4,0,3)，(0,6,0)，设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，由解得n(1，)d.【答案】4已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D1的中点(1)求证：E、F、D、B共面；(2)求点A1

14、到平面的DBEF的距离【解】如图，建立空间直角坐标系Dxyz.则知A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，E(，1,1)，F(0，1)(1)证明：由(1，1,0)，(，0)，得B，E，EFDB，E、F、D、B共面(2)设n(x，y，z)是平面DBEF的法向量由n，n，(1,1,0)，(0，1)得则令y1，得n(1,1，)，又(1,0,1)，则A1到平面DBEF的距离d1.一、选择题1已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在直线间的距离是()A.a BaC.aD【解析】如图建立空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，B(a，a,0)，C1(0，a，a

15、)(0，a，a)，|a，(a,0，a)，|a.点A1到BC1的距离d 2)a.【答案】A2.图265如图265已知ABCA1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，点C1到平面AB1D的距离为()A.a BaC.a Da【解析】ABB1A1为正方形，A1BAB1，又平面AB1D平面ABB1A1，A1B面AB1D，是平面AB1D的一个法向量，由于C1DCD，所以C1到平面AB1D的距离等于C到平面AB1D的距离，设点C到平面AB1D的距离为d，则da.【答案】A3正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，EFBDG.则三棱锥

16、B1EFD1的体积V等于()A.BC.D16【解析】以D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则B1(2，2，4)，D1(0,0,4)，E(2，0)，F(，2，0)，(2，4)，(，2，4)，(2，2，0)，cos，sin，所以SD1EF|D|DF|sin5，又平面D1EF的法向量为n(1,1，)，点B1到平面D1EF的距离d，VB1EFD1SEFD1d5.【答案】C4ABC的顶点分别为A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC边上的高BD等于()A5 B C4 D2【解析】设，D(x，y，z)则(x1，y1，z2)(0,4，3)x1，y41，z23，(4,45，3)4(45

17、)3(3)0，(4，)，| 5.【答案】A5正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.aBaC.aDa【解析】由正方体的性质易得平面AB1D1平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离明显，A1C平面AB1D1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n(1，1,1)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，(0，a,0)，则两平面间的距离d|a.【答案】D二、填空题6若平面平面，直线l ，且平面与之间的距离为d，下面给出了四个命题：内有且仅有一条直线与l的

18、距离等于d；内所有直线与l的距离等于d；内无数条直线与l的距离等于d；内所有的直线与的距离都等于D其中正确的命题的序号为_【解析】由面面平行的性质可知正确【答案】7设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，则点D到平面ABC的距离为_【解析】设平面ABC的法向量n(x，y，z)，nA0，nA0，即令z2，则n(3,2，2)又A(7，7,7)，点D到平面ABC的距离为d|A|.【答案】8设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是_【解析】如图建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,

19、0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0)，设平面A1BD的法向量n(x，y，z)，则令x1，则n(1，1，1)，点D1到平面A1BD的距离d.【答案】三、解答题9已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E是AD1的中点，求点E到直线BD的距离【解】建立如图所示的空间直角坐标系设EFBD，F为垂足，由于F的位置未确定，设(R)，则F(，0)(，0，)，(，)，(1,1,0)，0，即()0.(，)|，故点E到直线BD的距离为.10正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，试求点F到平面A1D1E的距离【解】取AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，

20、y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则A1(0,0,1)，E(1,0，)，D(0,1,0)，F(，1,0)，D1(0,1,1)(1,0，)，A1D1(0,1,0)设平面A1D1E的一个法向量为n(x，y，z)则，即令z2，则x1.n(1,0,2)又(，1，1)，点F到平面A1D1E的距离d.11如图266已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点(1)设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为，二面角AB1D1A1的大小为.求证：tan tan ；(2)若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高图266【解】设正四棱柱的高为

21、h.(1)证明：连AO1，AA1底面A1B1C1D1，AB1A1是AB1与底面A1B1C1D1所成角，AB1A1.在等腰AB1D1中，AO1B1D1.又A1C1B1D1，AO1A1是二面角AB1D1A1的一个平面角，AO1A1.在RtAB1A1中，tan h；在RtAO1A1中，tan h.tan tan .(2)如图建立空间直角坐标系，有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1,1，h)，则(1,0，h)，(0,1，h)，(1,1,0)设平面AB1D1的法向量为n(u，v，w)n，n，n0，n0.由得uhw，vhw，n(hw，hw，w)令w1，得n(h，h,1)由点C

22、到平面AB1D1的距离为d，解得高h2.(教师用书独具)在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点，求：直线MN与平面OCD的距离，平面MNR与平面OCD的距离【思路探究】由题意得到MN平面OCD，平面MNR平面OCD，将线面距离、面面距离转化为点到面的距离求解【自主解答】因为M，R分别为AO，AD的中点，所以MROD在正方形ABCD中，N，R分别为BC，AD的中点，所以NRCD又MRNRR，所以平面MNR平面OCD又MN 平面MNR，所以MN平面OCD所以直线MN与平面OCD的距离，平面MNR与平面OCD的距离都等于

23、点N到平面OCD的距离以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0，2,0)，N(2,1,0)所以(0,1,0)，(0,2，2)，(2,0,0)设平面OCD的法向量为n(x，y，z)，则，令z1，得n(0,1,1)所以点N到平面OCD的距离d|.所以直线MN与平面OCD的距离，平面MNR与平面OCD的距离都等于.求线面距离或面面距离前，应先判断线面或面面的位置关系，只有直线(平面)与平面平行时，才能将线面(面面)距离转化为点到面的距离求解如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，EB11，D、F、G分别为CC1、B1C1

24、、A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.(1)求证：B1D平面ABD；(2)求证：平面EGF平面ABD；(3)求平面EGF与平面ABD的距离【解】(1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设A1(a,0,0)，则C1(0,2,0)，F(0,1,0)，E(0,0,1)，A(a,0,4)，B(0,0,4)，D(0,2,2，)，G(，1,0)(0,2,2)，A(a,0,0)，B(0,2，2)，A0000，B0440.B1DAB，B1DBD又ABBDB，B1D平面ABD(2)证明：A(a,0,0)，B(0,2，2)，G(，0,0)，E(0,1，1)GFAB，EFBD又GFEFF，ABBDB，平面EGF平面ABD(3)由(1)、(2)知DH为平面EFG与平面ABD的公垂线段设(0,2，2)，则E(0,2，21)，E(0,1，1)E与E共线，即，(0，)，H(0，)，|H|.因此，平面EGF与平面ABD的距离为.