距离的计算教案.docx

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距离的计算教案

§6距离的计算

●三维目标

1．知识与技能

（1）理解立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的概念．

（2）掌握各种距离的计算方法．

2．过程与方法

（1）通过空间中距离的计算，培养学生运用算法化思想解决问题的能力．

（2）通过对空间几何图形的探究，使学生会恰当地建立空间直角坐标系．

3．情感、态度与价值观

学生经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过程，从而提高分析问题、解决问题的能力．

●重点难点

重点：

点到直线、点到平面距离公式的推导及应用．

难点：

把空间距离转化为向量知识求解．

引导学生探索空间距离的计算公式和计算方法，在探索中，深化学生对空间距离求法的认识，通过具体例子，让学生感知求空间距离时，综合法的“难”和向量法的“易”，体会向量法在研究空间问题中的作用．

三、教学建议

1．引导学生自主发现问题、分析问题并解决问题，比如，为什么引入空间距离？

怎样求空间距离？

用向量法去求的优越性是什么？

教学中，要以问题为主线，引导学生体验探索全过程，在这个过程中，形成并深化对空间距离求法的认识．

2．在教学中，要渗透符号化、模型化、运算化和程序化的思想．

3．教学中，应把立体几何问题作为学习向量法的载体，以向量法作为主要教学目标．

●教学流程

设置情境引入课题空间距离的定义空间距离的计算公式通过例子，深化对空间距离的认识比较综合法的“难”，向量法的“易”通过练习进行反馈矫正提炼思想方法：

数形结合、化归转化，形成整体认识

课标解读

1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念．（重点）

2.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．（重点）

3.通过转化，会利用空间向量解决距离问题，从而培养准确的运算能力．（难点）

点到直线的距离

【问题导思】　

1．如图，已知向量s是直线l的方向向量，点P在直线l上，点A是空间中一点，则向量在s上的投影是什么？

其几何意义是什么？

【提示】　向量在s上的投影为·.作AA′⊥l于A′，则投影·的几何意义是有向线段PA′的数量．

2．如何利用在s上的投影求点A到直线l的距离？

【提示】　由勾股定理得，

d＝.

∴d＝.

　利用向量求点A到直线l的距离步骤：

（1）找到直线l的方向向量s；

（2）在直线l上任取一点P；

（3）计算点P到点A的距离||；

（4）计算在向量s上的投影·s0；

（5）计算点A到直线l的距离d＝.

点到平面的距离

【问题导思】　

　如图，已知向量n是平面π的法向量，点P在平面π内，点A是空间中一点，试用向量在n上的投影表示点A到平面π的距离．

【提示】　d＝|·|.

　利用向量求点A到平面π的距离步骤：

（1）找到平面π的法向量n；

（2）在平面π内任取一点P；

（3）计算在向量n上的投影·n0；

（4）计算点A到平面π的距离d＝|·n0|.

求点到直线的距离

　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，求点D1到直线GF的距离．

【思路探究】　建系⇒求D1、F、G坐标⇒、的坐标⇒求在上的投影⇒利用公式求解

【自主解答】　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

D1（0,0,2），F（1,1,0），G（0,2,1），

于是有＝（1，－1，－1），

＝（0，－2,1），

所以＝＝，||＝，

所以点D1到直线GF的距离

d＝＝＝.

　用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点：

1．点P可以在直线l上任意选取，因此可选取易求得坐标的特殊点．

2．直线l的方向向量可任意选取．

3．点到直线的距离公式中s0是单位向量，在求得直线l的方向向量s后，要将其单位化．

　已知ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为（　　）

A.　　　B．　　　C.　　　D．

【解析】　建立如图所示空间直角坐标系，则

＝（1,0,0）＋（0,1,0）＋（0,0,1）＝（，，）．

又∵＝（1,0,0），

∴在上的投影为·＝，

∴点P到AB的距离为＝.

【答案】　A

求点到平面的距离

图2－6－1

　如图2－6－1直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝，底面△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，求点B1到平面A1BC的距离．

【思路探究】　

建坐标系确定向量

的坐标形式找出平面A1BC的

一个法向量为n代入d＝

||求解

【自主解答】　如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：

A（1,0,0），B（0，1,0），C（0,0,0），A1（1,0，），B1（0,1，），C1（0,0，）

∴＝（－1,1，－），＝（－1,0，－），＝（1，－1,0）．

设平面A1BC的一个法向量为n＝（x，y，z），

则⇒⇒

即n＝（－，0,1），

所以，点B1到平面A1BC的距离d＝＝.

1．本题是一个基本的点面距离的求解问题，要从几何角度作出表示这个距离的线段有很大的困难，利用向量方法求解较为容易．

2．求点到平面的距离的步骤可简化为：

（1）求平面的法向量；

（2）求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．

图2－6－2

　如图2－6－2所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，求点A1到平面AD1C的距离．

【解】　以D为原点建立空间直角坐标系，则＝（0,0,1），＝（－1,1,0），＝（－1,0,1），

设平面AD1C的一个法向量为n＝（x，y,1），

则

得则

∴n＝（1,1,1），∴d＝＝＝.

求直线与平面的距离

图2－6－3

　如图2－6－3所示，在已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点．求A1B1与平面ABE的距离．

【思路探究】　求A1B1与平面ABE的距离，因为直线A1B1平行于平面ABE，所以直线A1B1上任意一点到平面ABE的距离相等，所以A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离，从而转化为点到平面的距离求解．

【自主解答】　如图所示，以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则

A1（1,0,2），A（1,0,0），E（0，，1），

过C作AB的垂线交AB于F，

易得BF＝，∴B（1,2，0），

∴＝（0,2，0），＝（－1，－，1）．

设平面ABE的法向量为n＝（x，y，z），

则由得

∴y＝0，x＝z，不妨取n＝（1,0,1）．

∵直线A1B1∥平面ABE，

∴直线A1B1到平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离．

∵＝（0,0,2），

∴A1B1到平面ABE的距离为|·|＝＝.

求直线与平面的距离，在直线与平面平行的条件下，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因线面距可用点面距求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡．

　四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．

（1）证明：

DE∥平面PFB；

（2）求点E到平面PFB的距离．

【解】　证明：

（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

则P（0,0,2），F（1,0,0），B（2,2,0），E（0,1,1），＝（－1,0,2），＝（1,2,0），＝（0,1,1），

∴＝＋.∴∥平面PFB．又∵D∉平面PFB，∴DE∥平面PFB．

（2）∵DE∥平面PFB，∴E到平面PFB的距离等于D到平面PFB的距离．设平面PFB的一个法向量n＝（x，y，z），

则⇒

令x＝2，得y＝－1，z＝1.∴n＝（2，－1,1），＝（－1,0,0）．

∴D到平面PFB的距离为d＝＝＝.

利用向量求点到平面的距离的常见错误

　在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，以AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N，求点N到平面ACM的距离．

【错因分析】　

（1）不知条件AC为直径的球面交PD于点M，交PC于N点如何使用．

（2）不知道转化，求点N的坐标，增加了运算量．

（3）求点到平面的距离公式d＝|P·n0|中n0是单位法向量而不是法向量．

【防范措施】　

（1）认真分析图形性质；

（2）进行合理转化；（3）掌握好公式，尤其是公式中各个量的几何意义．

【正解】　分别以AB、AD、AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0,0,0），P（0,0,4），B（2,0,0），C（2,4,0），D（0,4,0），M（0,2,2），

∴A＝（2,4,0），A＝（0,2,2），设平面ACM的一个法向量n＝（x，y，z），由n⊥A，n⊥A，可得

令z＝1，则n＝（2，－1,1）．

由已知得，AN⊥NC，在Rt△PAC中，PA2＝PN·PC，所以PN＝，则NC＝PC－PN＝，＝.

所以所求距离为点P到平面ACM距离的，又点P到平面ACM的距离为||＝.所以点N到平面ACM的距离为.

　空间距离包括：

点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离.

1．已知直线l过定点A（2,3,1），且方向向量为n＝（0,1,1），则点P（4,3,2）到l的距离为（　　）

A.　　　B．　　　C.　　　D．

【解析】　＝（－2,0，－1），||＝，·＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝.

【答案】　A

图2－6－4

2．如图2－6－4所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是（　　）

A.B．

C.D．

【解析】　建立如图所示坐标系，则D（0,0,0），A1（1,0,1），

O（，，1），

则＝（1,0,1），

＝（－，，0），

由题意知为平面ABC1D1的法向量，∴O到平面ABC1D1的距离为

d＝＝＝.

【答案】　B

3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，则点B1到平面A1BC1的距离为________．

【解析】　如图所示建立空间直角坐标系，则A1（4,0,3），B1（4,6,3），B（4,6,0），C1（0,6,3），

＝（－4,6,0），＝（0,6，－3），

＝（－4,0,3），＝（0,6,0），

设平面A1BC1的法向量为n＝（x，y，z），由

解得n＝（1，，）．

∴d＝＝.

【答案】　

4．已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D1的中点．

（1）求证：

E、F、D、B共面；

（2）求点A1到平面的DBEF的距离．

【解】　如图，建立空间直角坐标系D－xyz.

则知A1（1,0,1），B（1,1,0），D（0,0,0），E（，1,1），F（0，，1）．

（1）证明：

由＝（－1，－1,0），＝（－，－，0），

得＝B，E∥，

∴EF∥DB，

∴E、F、D、B共面．

（2）设n＝（x，y，z）是平面DBEF的法向量．

由n⊥，n⊥，＝（1,1,0），＝（0，，1）

得则

令y＝1，得n＝（－1,1，－），又＝（1,0,1），

则A1到平面DBEF的距离d＝＝1.

一、选择题

1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在直线间的距离是（　　）

A.aB．a　　　　C.a　　　　D．

【解析】　如图建立空间直角坐标系，则A1（a,0，a），B（a，a,0），C1（0，a，a）．

∴＝（0，a，－a），||＝a，

＝（－a,0，a），||＝a.

点A1到BC1的距离d＝2）

＝＝a.

【答案】　A

2.

图2－6－5

如图2－6－5已知ABC－A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，点C1到平面AB1D的距离为（　　）

A.a　　B．a

C.aD．a

【解析】　∵ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，又平面AB1D⊥平面ABB1A1，

∴A1B⊥面AB1D，

∴是平面AB1D的一个法向量，

由于C1D＝CD，所以C1到平面AB1D的距离等于C到平面AB1D的距离，

设点C到平面AB1D的距离为d，则

d＝＝

＝＝

＝a.

【答案】　A

3．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，EF∩BD＝G.则三棱锥B1－EFD1的体积V等于（　　）

A.　　　B．　　　C.　　　D．16

【解析】　以D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则B1（2，2，4），D1（0,0,4），E（2，，0），F（，2，0），∴＝（2，，－4），

＝（，2，－4），＝（2，2，0），

∴cos<，>＝

＝＝，

∴sin<，>＝，

所以S△D1EF＝|D|·|DF|·sin＝×××＝5，

又∵平面D1EF的法向量为n＝（1,1，），

∴点B1到平面D1EF的距离d＝＝，

∴VB1－EFD1＝·S△EFD1·d＝×5×＝.

【答案】　C

4．△ABC的顶点分别为A（1，－1,2），B（5，－6,2），C（1,3，－1），则AC边上的高BD等于（　　）

A．5B．C．4D．2

【解析】　设＝λ，D（x，y，z）．则（x－1，y＋1，z－2）＝λ（0,4，－3）．

∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ，

∴＝（－4,4λ＋5，－3λ）．

∴4（4λ＋5）－3（－3λ）＝0，∴λ＝－，

∴＝（－4，，），

∴||＝＝5.

【答案】　A

5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为（　　）

A.a　　　B．a　　　C.a　　　D．a

【解析】　由正方体的性质易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．

明显，A1C⊥平面AB1D1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n＝（1，－1,1），A（a,0,0），B（a，a,0），＝（0，－a,0），则两平面间的距离d＝|·|＝＝a.

【答案】　D

二、填空题

6．若平面α∥平面β，直线lα，且平面α与β之间的距离为d，下面给出了四个命题：

①β内有且仅有一条直线与l的距离等于d；

②β内所有直线与l的距离等于d；

③β内无数条直线与l的距离等于d；

④β内所有的直线与α的距离都等于D．

其中正确的命题的序号为________．

【解析】　由面面平行的性质可知③④正确．

【答案】　③④

7．设A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,7），D（－5，－4,8），则点D到平面ABC的距离为________．

【解析】　设平面ABC的法向量n＝（x，y，z），∵n·A＝0，n·A＝0，

∴即

⇒令z＝－2，则n＝（3,2，－2）．

又A＝（－7，－7,7），∴点D到平面ABC的距离为d＝|A·|＝||＝＝.

【答案】　

8．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．

【解析】　如图建立空间直角坐标系，则D1（0,0,2），A1（2,0,2），D（0,0,0），B（2,2,0），

∴＝（2,0,0），＝（2,0,2），＝（2,2,0），

设平面A1BD的法向量n＝（x，y，z），

则

令x＝1，则n＝（1，－1，－1），

∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.

【答案】　

三、解答题

9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点E是AD1的中点，求点E到直线BD的距离．

【解】　建立如图所示的空间直角坐标系．设EF⊥BD，F为垂足，由于F的位置未确定，设＝λ（λ∈R），则F（λ，λ，0）．

∵＝（，0，），

∴＝－＝（λ－，λ，－）．

∵⊥，＝（1,1,0），

∴·＝0，即（λ－）＋λ＝0.

∴λ＝.

∴＝（－，，－）．

∴||＝，故点E到直线BD的距离为.

10．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，试求点F到平面A1D1E的距离．

【解】　取AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．如图，则

A1（0,0,1），E（1,0，），

D（0,1,0），F（，1,0），

D1（0,1,1）．

∴＝（1,0，－），A1D1＝（0,1,0）．

设平面A1D1E的一个法向量为n＝（x，y，z）．

则，即

令z＝2，则x＝1.

∴n＝（1,0,2）．

又＝（，1，－1），

∴点F到平面A1D1E的距离

d＝＝＝.

11．如图2－6－6已知ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．

（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A－B1D1－A1的大小为β.求证：

tanβ＝tanα；

（2）若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高．

图2－6－6

【解】　设正四棱柱的高为h.

（1）证明：

连AO1，

∵AA1⊥底面A1B1C1D1，

∴∠AB1A1是AB1与底面A1B1C1D1所成角，

∴∠AB1A1＝α.

∵在等腰△AB1D1中，AO1⊥B1D1.

又A1C1⊥B1D1，

∴∠AO1A1是二面角A－B1D1－A1的一个平面角，

∴∠AO1A1＝β.

在Rt△AB1A1中，tanα＝＝h；

在Rt△AO1A1中，tanβ＝＝h.

∴tanβ＝tanα.

（2）如图建立空间直角坐标系，有A（0,0，h），B1（1,0,0），D1（0,1,0），C（1,1，h），则＝（1,0，－h），＝（0,1，－h），＝（1,1,0）．

设平面AB1D1的法向量为n＝（u，v，w）．

∵n⊥，n⊥，

∴n·＝0，n·＝0.

由

得u＝hw，v＝hw，∴n＝（hw，hw，w）．

令w＝1，得n＝（h，h,1）．

由点C到平面AB1D1的距离为

d＝＝＝，

解得高h＝2.

（教师用书独具）

在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点，求：

直线MN与平面OCD的距离，平面MNR与平面OCD的距离．

【思路探究】　由题意得到MN∥平面OCD，平面MNR∥平面OCD，将线面距离、面面距离转化为点到面的距离求解．

【自主解答】　因为M，R分别为AO，AD的中点，所以MR∥OD．

在正方形ABCD中，N，R分别为BC，AD的中点，所以NR∥CD．又MR∩NR＝R，所以平面MNR∥平面OCD．又MN平面MNR，所以MN∥平面OCD．

所以直线MN与平面OCD的距离，平面MNR与平面OCD的距离都等于点N到平面OCD的距离．

以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0,0,2），C（2,2,0），D（0，2,0），N（2,1,0）．

所以＝（0,1,0），＝（0,2，－2），＝（－2,0,0）．

设平面OCD的法向量为n＝（x，y，z），则，

令z＝1，得n＝（0,1,1）．

所以点N到平面OCD的距离d＝|·|＝.

所以直线MN与平面OCD的距离，平面MNR与平面OCD的距离都等于.

求线面距离或面面距离前，应先判断线面或面面的位置关系，只有直线（平面）与平面平行时，才能将线面（面面）距离转化为点到面的距离求解．

　如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，EB1＝1，D、F、G分别为CC1、B1C1、A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.

（1）求证：

B1D⊥平面ABD；

（2）求证：

平面EGF∥平面ABD；

（3）求平面EGF与平面ABD的距离．

【解】　

（1）证明：

如图所示，建立空间直角坐标系，设A1（a,0,0），则C1（0,2,0），F（0,1,0），E（0,0,1），A（a,0,4），B（0,0,4），D（0,2,2，），G（，1,0）．

∴＝（0,2,2），A＝（－a,0,0），B＝（0,2，－2），

∴·A＝0＋0＋0＝0，·B＝0＋4－4＝0.

∴B1D⊥AB，B1D⊥BD．

又AB∩BD＝B，∴B1D⊥平面ABD．

（2）证明：

∵A＝（－a,0,0），B＝（0,2，－2），

G＝（－，0,0），E＝（0,1，－1）．

∴GF∥AB，EF∥BD．又GF∩EF＝F，AB∩BD＝B，

∴平面EGF∥平面ABD．

（3）由

（1）、

（2）知DH为平面EFG与平面ABD的公垂线段．设＝λ＝（0,2λ，2λ），则E＝（0,2λ，2λ－1），E＝（0,1，－1）．

∵E与E共线，∴＝，即λ＝，

∴＝（0，，），∴H＝（0，，），

∴|H|＝.

因此，平面EGF与平面ABD的距离为.