相似三角形典型模型及其例题.docx

1、相似三角形典型模型及其例题1：相似三角形模型：相似三角形判定的基本模型三）母子型四）一线三等角型：腰三角三等角型相似三角形是以 等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形 为背景，一个与形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：五）一线三直角型：三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似， 这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化

2、。六）双垂型：相似三角形判定的变化模型一线三直角的变形2：相似三角形典型例题（1）母子型相似三角形例 1：如图，梯形 ABCD 中， AD BC，对角线 AC、BD 交于点 O， BE CD 交 CA 延长线于 E2求证： OC2 OA OE 例 2：已知：如图， ABC 中，点 E 在中线 AD 上 , DEB ABC 求证：（1） DB2 DE DA； （2） DCE DAC 例 3：已知：如图，等腰 ABC中， ABAC，ADBC于 D，CGAB，BG分别交 AD、AC于 E、F 求证： BE2 EF EG 21、如图，已知 AD 为ABC 的角平分线， EF 为 AD 的垂直平分线求证

3、： FD 2 FB FC 2、已知： AD 是RtABC 中A的平分线， C=90，EF是AD 的垂直平分线交 AD 于M，EF、BC的延长线交于一点 N。求证： (1) AME NMD; (2)ND 2 =NCNB3、已知：如图，在 ABC 中，ACB=90，CDAB 于D，E是AC上一点， CFBE于F。 求证： EBDF=AE DB4.在 ABC中， AB=AC ，高AD与BE交于H， EF BC ，垂足为 F，延长AD到G，使DG=EF ，M是AH的中 点。 求证： GBM 90G5 已知：如图，在 RtABC 中， C=90，BC=2，AC=4， P是斜边 AB 上的一个动点， PD

4、AB，交边 AC 于点 D（点 D 与点 A、C 都不重合），E 是射线 DC 上一点， 且 EPD = A设 A、P 两点的距离为 x，BEP 的面积为 y（ 1）求证： AE=2PE；（2）求 y关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（ 3）当BEP与ABC相似时，求 BEP的面积B2）双垂型1、如图，在 ABC 中， A=60， BD 、 CE 分别是 AC、AB 上的高 求证：（1）ABD ACE ；（ 2）ADE ABC ；（3）BC=2ED2、如图，已知锐角 ABC ，AD 、 CE分别是 BC、AB 边上的高， ABC 和BDE 的面积分别是 27和 3，DE=6 2 ，求：

5、点 B 到直线 AC 的距离。3）共享型相似三角形2、已知：如图，在 RtABC 中， AB=AC， DAE=45 （4） 一线三等角型相似三角形例 1：如图，等边 ABC 中，边长为 6，D是 BC上动点， EDF=60（1）求证： BDE CFD（2）当 BD =1， FC=3 时，求 BE例2：（1）在 ABC中， AB AC 5，BC 8，点 P、Q分别在射线点 B 重合），且保持 APQ ABC .若点 P在线段 CB上（如图），且 BP 6，求线段 CQ 的长；若 BP x，CQ y，求 y与 x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；2）正方形 ABCD的边长为 5（如下图），点P

6、 、 Q分别在直线CB 、 DC 上（点 P不与点 C、点 B重例 3：已知在梯形 ABCD 中， ADBC，ADBC ，且 AD 5，ABDC 2（1）如图 8， P 为 AD 上的一点，满足 BPC A求证； ABP DPC求 AP 的长2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P与点 A、D 不重合），且满足 BPE A，PE 交直线 BC 于点 E，同时交直线 DC 于点 Q ，那么当点 Q在 DC的延长线上时，设 APx，CQy，求 y关于 x的函数解析式，并写出函数的定义域；当 CE1 时，写出 AP 的长例 4：如图，在梯形 ABCD 中， AD BC ， AB CD BC 6 ，

7、 AD 3 点 M 为边 BC 的中点，以 M 为顶点作 EMF B ，射线 ME 交腰 AB 于点 E ，射线 MF 交腰 CD 于点 F ，联结 EF （ 1）求证： MEF BEM ；（ 2）若 BEM 是以 BM 为腰的等腰三角形，求 EF 的长；（3）若 EF CD ，求 BE的长ADE C (1) 求证： ABD DCE；（2） 如果 BD x， AE y，求 y 与 x的函数解析式，并写出自变量 x的定义域；(3)当点 D是BC的中点时，试说明 ADE 是什么三角形，并说明理由2、如图，已知在 ABC 中， AB=AC=6， BC=5，D 是 AB 上一点， BD=2，E 是 B

8、C 上一动点，联结 DE， 并作 DEF B，射线 EF交线段 AC于 F（1）求证： DBE ECF；（ 2）当 F 是线段 AC 中点时，求线段 BE 的长；（3）联结 DF ，如果 DEF 与DBE 相似，求 FC 的长3、已知在梯形 ABCD 中， AD BC， AD BC，且 BC =6，AB=DC=4，点 E是AB 的中点（ 1）如图， P 为 BC 上的一点，且 BP=2求证： BEP CPD ；（ 2）如果点 P在BC边上移动（点 P与点 B、C不重合），且满足 EPF=C，PF交直线 CD于点 F， 同时交直线 AD 于点 M，那么当点 F在线段 CD 的延长线上时，设 BP

9、=x，DF=y，求 y关于 x的函数解析式，并写出函数的 定义域；9S BEP 时，求 BP 的长44、如图，已知边长为 3的等边 ABC ，点 F 在边 BC 上，CF 1，点 E是射线 BA上一动点， 以线段 EF为边向右侧作等边 EFG ，直线 EG,FG 交直线 AC 于点 M,N ，1）写出图中与 BEF 相似的三角形；2）证明其中一对三角形相似；3）设 BE x,MN y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；（5） 一线三直角型相似三角形例 2、在 ABC 中，例 1、已知矩形 ABCD 中，CD=2 ，AD=3 ，点 P 是 AD 上的一个动点， 且和点

10、 A,D 不重合，过点 P 作 PE CP ， 交边 AB 于点 E,设 PD x,AE y ，求 y 关于 x的函数关系式，并写出 x 的取值范围。C 90o,AC 4,BC 3,O是 AB 上的一点，且AO 2AO 2 ，点 P是 AC 上的一个动点，AB 5与点 B,C 重合），设 AP x,CQ y ，试求 y关于 x 的函数关系，并写出 定义域。o31.在直角 ABC中， C 90o,AB 5, tan B ，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AB 边上的动点， DF DE4交射线 AC 于点 F（1）、（2）、（3）、求 AC 和 BC 的长当 EF / BC 时，求 BE 的长。连结 EF,当 DEF 和 ABC 相似时，求 BE 的长。一个动点 （不含点 B、C）,作PQ AP交CD于点 Q.（图1）(1)求 BC的长与梯形 ABCD的面积；(2)当PQ DQ时,求BP的长； (图 2)(3)设BP x,CQ y,试求 y关于 x的函数解析式 ,并写出定义域