相似三角形典型模型及其例题.docx
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相似三角形典型模型及其例题
1：
相似三角形模型
：
相似三角形判定的基本模型
三）母子型
四）一线三等角型：
腰三角
三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与
形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：
五）一线三直角型：
三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方
形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：
当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
六）双垂型：
：
相似三角形判定的变化模型
一线三直角的变形
2：
相似三角形典型例题
（1）母子型相似三角形
例1：
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．
2
求证：
OC2OAOE．
例2：
已知：
如图，△ABC中，点E在中线AD上,DEBABC．求证：
（1）DB2DEDA；
（2）DCEDAC．
例3：
已知：
如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：
BE2EFEG．
2
1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：
FD2FBFC．
2、已知：
AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延
长线交于一点N。
求证：
（1）△AME∽△NMD;
（2）ND2=NC·NB
3、已知：
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：
EB·DF=AE·DB
4.在ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EFBC，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。
求证：
GBM90
G
5已知：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
（1）求证：
AE=2PE；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．
B
2）双垂型
1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：
（1）△ABD∽△ACE；
（2）△ADE∽△ABC；（3）BC=2ED
2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，
DE=62，求：
点B到直线AC的距离。
3）共享型相似三角形
2、已知：
如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．
（4）一线三等角型相似三角形
例1：
如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°
（1）求证：
△BDE∽△CFD
（2）当BD=1，FC=3时，求BE
例2：
（1）在ABC中，ABAC5，BC8，点P、Q分别在射线
点B重合），且保持APQABC.
①若点P在线段CB上（如图），且BP6，求线段CQ的长；
②若BPx，CQy，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
2）正方形ABCD的边长为5（如下图），点P、Q分别在直．线．CB、DC上（点P不与点C、点B重
例3：
已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．
①求证；△ABP∽△DPC
②求AP的长．
2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，
同时交直线DC于点Q，那么
①当点Q在DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE＝1时，写出AP的长．
例4：
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCDBC6，AD3．点M为边BC的中点，以M为顶点作EMFB，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF．
（1）求证：
△MEF∽△BEM；
（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；
（3）若EFCD，求BE的长．
ADEC．
（1）求证：
△ABD∽△DCE；
（2）如果BDx，AEy，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域；
（3）
当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．
2、如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结DE，并作DEFB，射线EF交线段AC于F．
（1）求证：
△DBE∽△ECF；
（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；
（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．
3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：
△BEP∽△CPD；
（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么
①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
9
SBEP时，求BP的长．
4
4、如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，CF1，点E是射线BA上一动点，以线段EF
为边向右侧作等边EFG，直线EG,FG交直线AC于点M,N，
1）写出图中与BEF相似的三角形；
2）证明其中一对三角形相似；
3）设BEx,MNy，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（5）一线三直角型相似三角形
例2、在ABC中，
例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PECP，交边AB于点E,设PDx,AEy，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。
C90o,AC4,BC3,O是AB上的一点，且
AO2
AO2，点P是AC上的一个动点，
AB5
与点B,C重合），设APx,CQy，试求y关于x的函数关系，并写出定义域。
o3
1.在直角ABC中，C90o,AB5,tanB，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DFDE
4
交射线AC于点F
（1）、
（2）、
（3）、
求AC和BC的长
当EF//BC时，求BE的长。
连结EF,当DEF和ABC相似时，求BE的长。
一个动点（不含点B、C）,作PQAP交CD于点Q.（图1）
（1）求BC的长与梯形ABCD的面积；
（2）当PQDQ时,求BP的长；（图2）
（3）设BPx,CQy,试求y关于x的函数解析式,并写出定义域
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